e的x的2次方的积分是什么

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那么是不是该函数不存在原函数呢？
根据原函数存在定理，不难发现 $e^{x^2}$ 在全区间上都是连续函数，因此它的原函数的一定是存在的。

但是，有原函数并不代表它能够用基本初等函数形式来表达。

故我们可以考虑，使用泰勒公式在0点处将$e^{x^2}$进行展开，计算其收敛域，在它的收敛域上计算不定积分。
①将$e^{x^2}$展开为幂级数。
$$e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots +\frac{x^{2n}}{n!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{n!}$$
②根据幂级数的收敛域求法：
若 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$ ，则 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛半径 $R$ 的表达式为
$$R=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\rho },& \rho \ne 0\\ +\infty ,& \rho =0\\ 0,& \rho =+\infty \end{array}$$
求①中所得幂级数的收敛半径R：
$$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n+1}=0\Rightarrow R=+\infty$$
则①中幂级数的收敛域为$I=(-\infty ,+\infty )$。

③根据幂级数求和函数的性质：
幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的和函数 $S(x)$ 在其收敛域 $I$ 上可积，且有逐项积分公式
$${\int }_0^{x}S(t)\mathrm{d}t={\int }_0^x\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^n\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{\int }_0^x{t}^n\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}(x\in I)$$
新的幂级数${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}$收敛域半径与原级数相同。

因此$e^{x^2}$的不定积分终于可以计算了：
$$\begin{array}{rl}\int e^{x^2}\mathrm{d}x& ={\int }_a^x{e}^{t^2}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_a^0{e}^{t^2}\mathrm{d}t+{\int }_0^x{e}^{t^2}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_a^0{e}^{t^2}\mathrm{d}t+{\int }_0^x\sum _{n=0}^{\infty }\frac{t^{2n}}{n!}\mathrm{d}t\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)n!}+C,x\in (-\infty ,+\infty )\end{array}$$
希望对读者有所帮助