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正交投影算子

考虑线性算子 $T:R^{2} \mapsto R^{2}$ ,它将平面上的向量x映射为y轴上的正交投影w。这一线性算子称为正交投影算子。

可以得出与 w=T(x) 的分量相关方程为：

$w_{2}=y=0x+1y$

或写成矩阵形式：

$\begin{bmatrix} w_{1}\\ w_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$

由于是线性方程，所以正交投影算子 T(x) 为线性变换，相应的标准矩阵为：

$A=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}$

令和是两个向量空间， $T:V \mapsto W$ 为一线性变换。

（1）若是的线性子空间，则 T(M) 是的线性子空间。

（2）若是的线性子空间，则线性反变换 $T^{-1}(N)$ 是的线性子空间。

概率密度函数

在概率论中，常称 $\omega$ 为基本事件， $A(\in F)$ 为事件，是事件的全体，而 P(A) 称为事件的概率。

考虑概率空间 $(\Omega ,F,P)$ ,用 $L_{p}=L_{p}((\Omega ,F,P))$ 表示随机变量 $\xi =\xi (\omega )$ 的空间。

1.实随机变量的概率密度函数

一个含有m个随机变量的实值向量

$x(\xi )=[x_{1}( \xi ),x_{2}( \xi ), .. ., x_{m}( \xi )]^{T}$

称为m*1实随机向量，或简称随机向量（当维数无关紧要时）。其中， $\xi$ 表示样本点，例如可以是时间t，位置s等。

一个随机向量所有元素的联合累积分布函数常用符号 $F_{x}(x_{1},x_{2}, .. .,x_{m})$ 表示, 联合概率密度函数常用 $f_{x}(x_{1},x_{2}, .. .,x_{m})$ 做符号。

为了简化，令为 $F_{x}=F_{x}(x_{1},x_{2}, .. .,x_{m})$ 和 $f_{x}=f_{x}(x_{1},x_{2}, .. .,x_{m})$ ，一个随机向量由它的联合累积分布函数或联合概率密度函数描述。

一组概率的集合函数

$F(x)=P\left \{ \xi:x_{1}(\xi)\leqslant x_{1},x_{2}(\xi)\leqslant x_{2}, .. .,x_{m}(\xi)\leqslant x_{m}\right \}$

定义为向量 $x(\xi)$ 的联合累积分布函数，简称分布函数。其中 $x_{I}$ 为实数。

随机向量 $x_{\xi}$ 的联合概率密度函数定义为： $f(x)=\lim_{\triangle x_{1}\rightarrow 0,.. .,\triangle x_{m}\rightarrow 0}\frac{P\left \{ \xi:x_{1}< x_{1}(\xi)\leqslant x_{1}+\triangle x_{1}, .. .,x_{m}< x_{m}(\xi)\leqslant x_{m}+\triangle x_{m}\right \}}{\triangle x_{1}.. .\triangle x_{m}}=\frac{\partial^{m} }{\partial x_{1}\partial x_{2}.. .\partial x_{m}}F_{x}(x_{1},x_{2}, .. .,x_{m})$

联合概率密度函数的m-1重积分:

$f(x_{i})=\int_{-\infty }^{\infty}.. .\int_{-\infty }^{\infty}f(x_{1},x_{2},.. .,x_{m})dx_{1}.. .dx_{i-1}dx_{i+1}.. .dx_{m}$

称为随机向量 $x_{i}$ 的边缘密度函数。

且通过上述公式易得随机向量的联合分布函数等于其联合概率函数的积分。

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矩阵分析与应用

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