什么是霍曼转移轨道？霍曼过渡推导

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根据两体运动方程，我们可以得到轨道方程为： \\r=\frac{h^2/\mu}{1+ecos\theta}=\frac{p}{1+ecos\theta}

两体运动方程的推导可以来看我这篇回答： https://www.zhihu.com/answer/

图1 圆锥曲线轨道图

在这里我们先省略推导，直接给出中心引力场中圆锥曲线运动能量方程的一般形式：

\\\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}=-\frac{\mu}{2a}

式中 \mu 为引力常数， v 为轨道上的速度，r为近心点高度，a为远心点高度。

那么为了推导霍曼(Hohmann)过渡，我们先来介绍一下圆轨道和椭圆轨道的一些特性：

那么e=0，也就是圆轨道的时候， r=\frac{h^2}{\mu}=p=a=const ,圆轨道的轨道参数p和a都等于轨道半径r，h为动量矩，那么航天器绕圆轨道的速度就为： v=\sqrt{\frac{\mu}{r}} ，这里代入地球半径和地球的引力常数就可以得到我们熟悉的第一宇宙速度。

当 0<e<1 时，轨道就是椭圆轨道，根据能量方程就有： v=\sqrt{\frac{2\mu}{r}-\frac{\mu}{a}} ，那么在远心点和近心点就有最大速度 v_p 和最小速度 v_a ,即：

\\v_p=\sqrt{\mu(\frac{2}{r_p}-\frac{1}{a})}=\sqrt{\frac{\mu}{r_p}(1+e)}=\sqrt{\frac{\mu}{a}\frac{1+e}{1-e}}=\sqrt{\frac{\mu}{r_p}\frac{2r_a}{r_a+r_p}}>\sqrt{\frac{\mu}{r_p}}

\\v_a=\sqrt{\mu(\frac{2}{r_a}-\frac{1}{a})}=\sqrt{\frac{\mu}{r_a}(1+e)}=\sqrt{\frac{\mu}{a}\frac{1-e}{1+e}}=\sqrt{\frac{\mu}{r_a}\frac{2r_p}{r_a+r_p}}<\sqrt{\frac{\mu}{r_a}}

做完了准备工作，我们来看，在同一轨道平面中，两不相交轨道之间的过渡，由于新旧轨道不相交，因此轨道过渡需要用一个以上的速度脉冲来实现，对于两个圆轨道之间的过渡最为简单，因为霍曼(Hohmann)提出了这种过渡的最佳方案，所以同平面两圆轨道间能量最佳的过渡就被称为霍曼(Hohmann)过渡。

图2 霍曼(Hohmann)过渡图

如图，霍曼(Hohmann)过渡轨道是一条外切与小圆轨道，内切与大圆轨道的椭圆轨道，过渡轨道的参数为： a=\frac{r_a+r_p}{2} , e=\frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}

\\v_p=\sqrt{\mu(\frac{2}{r_p}-\frac{1}{a})}=\sqrt{\frac{\mu}{r_p}(1+e)}=\sqrt{\frac{\mu}{a}\frac{1+e}{1-e}}=\sqrt{\frac{\mu}{r_p}\frac{2r_a}{r_a+r_p}}>\sqrt{\frac{\mu}{r_p}}=v_1

\\v_a=\sqrt{\mu(\frac{2}{r_a}-\frac{1}{a})}=\sqrt{\frac{\mu}{r_a}(1+e)}=\sqrt{\frac{\mu}{a}\frac{1-e}{1+e}}=\sqrt{\frac{\mu}{r_a}\frac{2r_p}{r_a+r_p}}<\sqrt{\frac{\mu}{r_a}}=v_2

v_1,v_2 分别为航天器在 r_p,r_a 圆轨道上的速度，那么机动的两个脉冲大小为：

\\\Delta v_1=v_p-v_1=\sqrt{\frac{\mu}{r_p}\frac{2r_a}{r_a+r_p}}-\sqrt{\frac{\mu}{r_p}}

\\\Delta v_2=v_2-v_a=\sqrt{\frac{\mu}{r_a}\frac{2r_p}{r_a+r_p}}-\sqrt{\frac{\mu}{r_a}}

那么总速度增量为：

\\\Delta v_T= \Delta v_1+\Delta v_2=\sqrt{\frac{\mu}{r_p}}\left [\sqrt{\frac{2r_a}{r_a+r_p}}(1-\frac{r_p}{r_a})+\sqrt{\frac{r_p}{r_a}-1} \right]

那么凭什么说霍曼(Hohmann)过渡的总能量是两圆轨道最小呢？来证明一下：

图3 证明图

现在条件和上面一样，设椭圆过渡轨道与小圆轨道交于b点，从小圆轨道变为椭圆轨道所需要的速度脉冲为 \Delta v_1^* 并不与小圆轨道相切，那么过渡椭圆轨道在b点的速度分量就分为径向分量 v_r 和横向分量 v_\theta ，那么根据几何关系就有：

\\{\Delta v_1^*}^2= v_r^2+(v_\theta-v_p)^2

其中， v_\theta=h/r_p , v_p=\sqrt{\frac{\mu}{r_p}} ,代入上式：

\\{\Delta v_1^*}^2= v_r^2+(\frac{h}{r_p}-\sqrt{\frac{\mu}{r_p}})^2

在椭圆轨道a，b两点上应该满足能量方程，两体系统仅有保守力做功，能量守恒，就有：

\\ \frac{1}{2}（v_r^2+\frac{h^2}{r_p^2})-\frac{\mu}{r_p}=\frac{h^2}{2r_a^2}-\frac{\mu}{r_a}

整理：

\\h^2=\frac{r_a^2r_p^2}{r_a^2-r_p^2}(2\mu\frac{r_a-r_p}{r_ar_p}-v_r^2)

h^2\geq0 ,显然有：

\\v_r\leq \sqrt{2\mu\frac{r_a-r_p}{r_ar_p}}=v_{rmax}

将 h^2 的表达式代入 {\Delta v_1^*}^2 式中，得到：

\\{\Delta v_1^*}^2= v_r^2+\frac{r_a}{\sqrt{r_a^2-r_p^2}}(\sqrt{2\mu\frac{r_a-r_p}{r_ar_p}-v_r^2}-\sqrt{\frac{\mu}{r_p}})^2

上式对 v_r 求导，并令导数为0，就可以得到 \Delta v_1^* 的最小值，即：

\\({\Delta v_1^*}^2)_{min}=(\sqrt{\frac{\mu}{r_p}\frac{2r_a}{r_a+r_p}}-\sqrt{\frac{\mu}{r_p}})^2

很明显，这与 \Delta v_1=v_p-v_1=\sqrt{\frac{\mu}{r_p}\frac{2r_a}{r_a+r_p}}-\sqrt{\frac{\mu}{r_p}} 结果一致，霍曼(Hohmann)过渡所花的能量最小。

同理可以去证明 \Delta v_2 ，那么霍曼(Hohmann)过渡就是两圆轨道间以两脉冲进行过渡能量最省的方法。当然如果速度脉冲允许使用两次以上，结论就会有所变化。

对于同轴向的椭圆轨道之间的过渡，其实也可以用类似的方法，有了上面的基础就很好推导了。