线性代数笔记五——列空间和零空间

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矩阵的列空间

矩阵的零空间

子空间: 2个子空间，一个平面P,一个直线L。

$PUL=$所有在$P$或者$L$或者两者的向量，这些不属于子空间。

$PnL=$即在$P$又在$L$上的向量集合，该属于子空间。

子空间条件：

1. 向量加法，$V+M$
2. 向量数乘，$CV$
3. 合起来构成线性组合
4. 必须封闭的运算

__列空间：__记作$C(A)$

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]$$

$C(A)\in R^4$ ，向量列一，向量列二，向量列三，三个向量构不成向量空间，需要进行扩充成子空间，取线性组合即可。

三个四维向量的线性组合不等于整个四维空间，它只是一个较小的空间，这空间有多少？

需要同线性方程组联系起来。

抽象的定义背后，有实际目的， 是为了深刻认识$AX=b$

$AX=b$对任意右侧向量是否都有解？NO.

什么样的b使方程组有解？

只有b是各列的线性组合时$AX=b$才有解，这时b在列空间内。

列三=列一+列二，在列一与列二构成的平面上，没有任何__贡献__，可以说这是__“线性相关”，因此列三可以去掉，因此__矩阵$A$的列空间__可以描述为$R^4$中的__二维子空间。

$A$的零空间，$A_{m\ast n}$记作$N(A)$

$$AX=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

$X$向量包含三个分量，因此零空间是$R^3$的子空间，列空间是$R^4$的子空间

求列空间和零空间的一般方法是消元。

如何知道零空间是向量空间的？为什么它能称作“空间”？

检验：$AX=0$的解构成一个子空间。（构筑子空间的两种方法）

如果$AX=0且AX=0;AV=0且AW=0$ 所以$A(V+W)=0$

$V$在零空间，$W$在零空间，那么$V+W$也在零空间。

$$AV+AW=0;AV=0;A(12V)=12A(V)=0$$

如果

$$AX=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}\right]$$

所有解$X$是否还构成子空间？NO

因为0不是$X$的解，所以$X$构不成子空间，解是不经过原点的平面或直线