立体角总结

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一、立体角定义

以观测点为球心构造一个单位球（r = 1），任意物体投影到该球面上的投影面积（s），即为该物体对于该观测点的立体角。因此，立体角是单位球面上的一块面积。

二、立体角与圆心角

在二维平面上，圆心角$\theta =s/r$ ，($\theta$为圆心角，$s$为圆心角对应的弧长，$r$为圆的半径）。当公式中的弧长$s$等于对应圆的周长，根据公式可以得到此时对应的圆心角为：2π。
立体角和圆心角非常类似，立体角$\Omega =A/r^2$，（$\Omega$为立体角，$A$是这个立体角对应的球表面积，$r$为球的半径，立体角的单位：$sr$，叫球面度）。当公式中的面积为整个球的表面积，根据公式可以得到此时对应的立体角为：4π。

三、立体角在球坐标中的表示

四、投影立体角

面积为$A$的物体的相对于观测点的立体角为：
$$\Omega =\frac{A}{d^2}cos\alpha \text{\hspace{1em}(3)}$$
其中，$d$为物体到观测点的距离，$\alpha$为观测点的法线与物体和观测点连线的夹角。