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单位冲激函数不是传统意义上的能用图像描述的函数，它是为了所需要的一些性质而人为定义的函数。它是数学抽象的结果。
1. 定义
满足
（ 1 ） 当 t ≠ 0 时 ， δ ( t ) = 0 （1）当t≠0时，\delta(t) = 0 （1）当t=0时，δ(t)=0
（ 2 ） ∫ − ∞ ∞ δ ( t ) d t = 1 （2）\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1 （2）∫−∞∞δ(t)dt=1
的函数。
2. 性质
（1）性质1
设 f ( t ) 是 定 义 在 实 数 域 R 上 的 有 界 函 数 ， 且 在 t = 0 处 连 续 ， 则 设f(t)是定义在实数域R上的有界函数，且在t=0处连续，则 设f(t)是定义在实数域R上的有界函数，且在t=0处连续，则
∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) f ( t ) d t = f ( 0 ) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)dt = f(0) ∫−∞+∞δ(t)f(t)dt=f(0)
一 般 地 ， 若 f ( t ) 在 t = t 0 点 连 续 ， 则 一般地，若f(t)在t=t_0点连续，则 一般地，若f(t)在t=t0点连续，则
∫ − ∞ + ∞ δ ( t − t 0 ) f ( t ) d t = f ( t 0 ) . \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt = f(t_0). ∫−∞+∞δ(t−t0)f(t)dt=f(t0).
（2）性质2
δ \delta δ函数为偶函数，即
δ ( t ) = δ ( − t ) . \delta(t) = \delta(-t). δ(t)=δ(−t).
3. 定理
设f(t)是以T为周期的实值函数，且在 [ − T 2 , T 2 ] [-\frac{T}{2},\frac{T}{2}] [−2T,2T]上满足狄氏条件，则f(t)和 F ( ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ 2 π F ( n ω 0 ) δ ( ω − n ω 0 ) F(\omega) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}2\pi F(n\omega_0)\delta(\omega – n\omega_0) F(ω)=∑n=−∞+∞2πF(nω0)δ(ω−nω0)是一对复氏变换。
4. δ \delta δ函数与复氏变换
F [ δ ( t ) ] = 1 \mathscr{F}[\delta(t)] = 1 F[δ(t)]=1
F − 1 [ 1 ] = δ ( t ) \mathscr{F}^{-1}[1] = \delta(t) F−1[1]=δ(t)
单位冲激函数与1构成一组复氏变换对
ω \omega ω可用其他不含t量替代。
常将三角函数通过欧拉公式转换成指数函数，再利用上述公式进行复氏变换。
c o s θ = e i θ + e − i θ 2 cos~\theta= \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} cos θ=2eiθ+e−iθ
s i n θ = e i θ − e − i θ 2 sin~\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2} sin θ=2eiθ−e−iθ
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