单位冲激函数

单位冲激函数共形映射的概念共形映射的基本问题分式线性映射几个初等函数构成的共形映射 单位冲激函数

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单位冲激函数不是传统意义上的能用图像描述的函数,它是为了所需要的一些性质而人为定义的函数。它是数学抽象的结果。

1. 定义

满足

( 1 ) 当 t ≠ 0 时 , δ ( t ) = 0 (1)当t≠0时,\delta(t) = 0 1t=0δ(t)=0

( 2 ) ∫ − ∞ ∞ δ ( t ) d t = 1 (2)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1 2δ(t)dt=1

的函数。

2. 性质

(1)性质1

设 f ( t ) 是 定 义 在 实 数 域 R 上 的 有 界 函 数 , 且 在 t = 0 处 连 续 , 则 设f(t)是定义在实数域R上的有界函数,且在t=0处连续,则 f(t)Rt=0
∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) f ( t ) d t = f ( 0 ) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)dt = f(0) +δ(t)f(t)dt=f(0)

一 般 地 , 若 f ( t ) 在 t = t 0 点 连 续 , 则 一般地,若f(t)在t=t_0点连续,则 f(t)t=t0
∫ − ∞ + ∞ δ ( t − t 0 ) f ( t ) d t = f ( t 0 ) . \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt = f(t_0). +δ(tt0)f(t)dt=f(t0).

(2)性质2

δ \delta δ函数为偶函数,即
δ ( t ) = δ ( − t ) . \delta(t) = \delta(-t). δ(t)=δ(t).

3. 定理

设f(t)是以T为周期的实值函数,且在 [ − T 2 , T 2 ] [-\frac{T}{2},\frac{T}{2}] [2T,2T]上满足狄氏条件,则f(t)和 F ( ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ 2 π F ( n ω 0 ) δ ( ω − n ω 0 ) F(\omega) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}2\pi F(n\omega_0)\delta(\omega – n\omega_0) F(ω)=n=+2πF(nω0)δ(ωnω0)是一对复氏变换。

4. δ \delta δ函数与复氏变换

F [ δ ( t ) ] = 1 \mathscr{F}[\delta(t)] = 1 F[δ(t)]=1
F − 1 [ 1 ] = δ ( t ) \mathscr{F}^{-1}[1] = \delta(t) F1[1]=δ(t)

单位冲激函数与1构成一组复氏变换对

ω \omega ω可用其他不含t量替代。

常将三角函数通过欧拉公式转换成指数函数,再利用上述公式进行复氏变换。

c o s   θ = e i θ + e − i θ 2 cos~\theta= \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} cos θ=2eiθ+eiθ

s i n   θ = e i θ − e − i θ 2 sin~\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2} sin θ=2eiθeiθ

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