节点分析法

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节点分析法

节点分析法

引言

节点分析法的基础是KCL，由于KCL同样适用于相量，因此可以利用节点分析法求解交流电路

列

利用节点法计算响应电流

• 利用节点分析法求电路中的$i_x$

首先将该电路转换到频域：

$$\begin{array}{rlr}20\cos 4t& \Rightarrow 20\angle 0^{\circ }& \omega =4\text{ rad/s}\end{array}$$

$$1\text{ H }\Rightarrow j\omega L=j4$$

$$\begin{array}{r}0.5\mathrm{H}\Rightarrow j\omega L=j2\end{array}$$

$$0.1\mathrm{F}\Rightarrow \frac{1}{j\omega C}=-j2.5$$

于是，得到频域中的等效电路：

在节点1处应用KCL得到：

$$\frac{20-{\mathbf{V}}_1}{10}=\frac{{\mathbf{V}}_1}{-j2.5}+\frac{{\mathbf{V}}_1-{\mathbf{V}}_2}{j4}$$

$$(1+j1.5){\mathbf{V}}_1+j2.5{\mathbf{V}}_2=20$$

在节点2处有：

$$2{\mathbf{I}}_x+\frac{{\mathbf{V}}_1-{\mathbf{V}}_2}{j4}=\frac{{\mathbf{V}}_2}{j2}$$

将$I_x=V_1/-j2.5$带入后：

$$\frac{2{\mathbf{V}}_1}{-j2.5}+\frac{{\mathbf{V}}_1-{\mathbf{V}}_2}{j4}=\frac{{\mathbf{V}}_2}{j2}$$

$$11{\mathbf{V}}_1+15{\mathbf{V}}_2=0$$

联立矩阵形式为：

$$\left[\begin{array}{cc}1+j1.5& j2.5\\ 11& 15\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{V}}_1\\ {\mathbf{V}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}20\\ 0\end{array}\right]$$

相关的行列式为：

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}1+j1.5& j2.5\\ 11& 15\end{array}\right|=15-j5$$

$${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}20& j2.5\\ 0& 15\end{array}\right|=300{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}1+j1.5& 20\\ 11& 0\end{array}\right|=-220$$

$${\mathbf{V}}_1=\frac{{\Delta }_1}{\Delta }=\frac{300}{15-j5}=18.97\angle 18.43^{\circ }\mathrm{V}$$

$${\mathbf{V}}_2=\frac{{\Delta }_2}{\Delta }=\frac{-220}{15-j5}=13.91\angle 198.3^{\circ }\mathrm{V}$$

于是，电流为：

$${\mathbf{I}}_x=\frac{{\mathbf{V}}_1}{-j2.5}=\frac{18.97\angle 18.43^{\circ }}{2.5\angle -90^{\circ }}=7.59\angle 108.4^{\circ }\text{ A}$$

转换到时域，可得：

$$i_x=7.\text{ 59}\cos (4t+108.4°)\text{A}$$

计算电路的电压响应

• 计算电路中的V1与V2

节点1与节点2组成一个超节点。在该超节点处应用KCL，得到：

$$3=\frac{{\mathbf{V}}_1}{-j3}+\frac{{\mathbf{V}}_2}{j6}+\frac{{\mathbf{V}}_2}{12}$$

$$36=j4{\mathbf{V}}_1+(1-j2){\mathbf{V}}_2$$

电压源连接在节点1与节点2之间，所以：

$${\mathbf{V}}_1={\mathbf{V}}_2+10\angle 45^{\circ }$$

联立：

$$36-40\angle 135^{\circ }=(1+j2){\mathbf{V}}_2\Rightarrow {\mathbf{V}}_2=31.41\angle -87.18^{\circ }\mathbf{V}$$

即：

$${\mathbf{V}}_1={\mathbf{V}}_2+10\angle 45^{\circ }=25.78\angle -70.48^{\circ }\text{V}$$