【集合论】关系性质 ( 对称性 | 对称性示例 | 对称性相关定理 | 反对称性 | 反对称性示例 | 反对称性定理 )

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一、对称性

对称性 描述 :

$R\subseteq A\times A$

$R$ 是对称的

$\iff$

$\forall x\forall y(x\in A\wedge y\in A\wedge xRy\to yRx)$

$\iff$

$(\forall x\in A)(\forall y\in A)[xRy\to yRx]$

$R$ 是非对称的

$\iff$

$\exists x\exists y(x\in A\wedge y\in A\wedge xRy\wedge \neg yRx)$

对称性描述 : 任选两个元素 $x,y$ , 如果 $x$ 与 $y$ 有关系 $R$ 即 $xRy$ , 那么 $y$ 与 $x$ 也有关系 $R$ 即 $yRx$ ;

非对称性描述 : 只要存在一个 $x,y$ 组合 , $x$ 与 $y$ 有关系 $R$ , 但是 $y$ 与 $x$ 没有关系 $R$ , 那么该关系 $R$ 就是非对称的 ;

二、对称性示例

对称性示例 :

关系图中 , 不考虑环 , 只看两点之间的关系 , 两个顶点之间的关系都是往返箭头 , 那么就是对称的 , 有一个单向箭头 , 就不是对称的 ;

上述关系图中 , 顶点之间的箭头都是双向的 , 该关系是对称的 ;

上述关系图中 , 都是单向箭头 , 有一个箭头是单向的 , 就不是对称的 ;

三、对称性定理

对称性定理 :

$R$ 是对称的

$\iff$

$R^{-1}=R$

$\iff$

$R^{-1}$ 是对称的

$\iff$

$M(R)$ 关系矩阵是对称的

$\iff$

$G(R)$ 的任意两个顶点之间如果有边 , 必定是两条边 ( 正向反向各一条 )

对称性 两个顶点之间 有 $0$ 条或 $2$ 条边 ;

四、反对称性

反对称性 :

$R\subseteq A\times A$

$R$ 是反对称的

$\iff$

$\forall x\forall y(x\in A\wedge y\in A\wedge xRy\wedge yRx\to x=y)$

$\iff$

$(\forall x\in A)(\forall y\in A)[xRy\wedge yRx\to x=y]$

非反对称性 :

$R$ 是非反对称的

$\iff$

$\exists x\exists y(x\in A\wedge y\in A\wedge xRy\wedge yRx\wedge x\ne y)$

反对称就是 防止两个顶点之间有两条边 , 两个顶点之间要么有 $0$ 条边 , 要么有 $1$ 条边 ;

对称是 任何两个顶点之间 , 要么有 $0$ 条边 , 要么有 $2$ 条边 ;

如果关系图中 , 两个顶点之间没有边 , 那么该关系 既是对称的 , 又是反对称的 ; ( 环不影响对称与反对称定义 )

五、反对称性示例

反对称性 : 顶点之间没有两条边的 , 只有 $0$ 条边 或 $1$ 条边

对称性 : 顶点之间只有 $0$ 条边 , 或 $1$ 条边

上图是反对称的 , 有两个 $1$ 条边 , 一个 $0$ 条边 ;

上图是非反对称的 , 有 $0$ 条边 , $1$ 条边 , $2$ 条边的情况 , 是非反对称的 ;

六、反对称性定理

反对称性定理 :

$R$ 是反对称的

$\iff$

$R^{-1}\cap R\subseteq I_A$

$\iff$

$R^{-1}$ 是反对称的

$\iff$

$M(R)$ 关系矩阵中 , $\forall i\forall j(i\ne j\wedge r_{ij}=1\to r_{ji}=0)$

$\iff$

$G(R)$ 关系图中 , $\forall a_i\forall a_j(i\ne j)$ , 如果存在有向边 $<a_i,a_j>$ , 则一定不存在 $<a_j,a_i>$

$R^{-1}\cap R\subseteq I_A$ 说明 :

$R$ 关系 与 $R^{-1}$ 关系 ( $R$ 的逆关系 ) 的交集 , 包含在 恒等关系中 ;

如果两个顶点之间有两条边 , 求逆之后 , 两个顶点的两个的两条边分别反向 , 还是相同的两条边 , 如果二者求交集 , 还是存在两条边 , 肯定不是恒等关系 , 恒等关系都是环 ; ( 不符合反对称 )

如果两个顶点之间有 $1$ 条边 , 求逆之后 , 两个顶点之间是反向的一条边 , 两个关系的交集肯定为空 , 剩下的只有环 ; ( 反对称 )

如果两个顶点之间有 $0$ 条边 , 求逆之后 , 两个顶点之间是 $0$ 条边 , 两个关系的交集肯定为空 , 剩下的只有环 ; (反对称)

关系矩阵 : $M(R)$ 中 , $\forall i\forall j(i\ne j\wedge r_{ij}=1\to r_{ji}=0)$

对角线以外的不能有对称的位置都是 $1$ 的情况 , 如 $r_{ij}=1$ , 其对称的元素 $r_{ji}$ 一定不能是 $1$ , 必须是 $0$ ;

关系图 : $G(R)$ 中 , 如果 $\forall a_i\forall a_j(i\ne j)$ , 如果有有向边 $<a_i,a_j>$ , 则必须没有 $<a_j,a_i>$ ;

关系图中 两个顶点 只存在单向边 , 或没有边 , 不存在两个方向的边 ;

七、对称性与反对称性示例

上述关系图中 , 两个顶点之间存在 $0$ 条边 , $2$ 条边 , 是对称的 ;

自反的 , 所有的顶点都有环 , 是自反的 ;

上述关系图是反对称的 , 都有 一条有向边 ;

所有的顶点 都没有环 是 反自反的 ;

上述图中 , 有的顶点之间有 $1$ 条边 , 有的顶点之间有 $2$ 条边 , 既不是对称的 , 又不是反对称的 ;

有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 既不是 自反的 , 又不是反自反的 ;

上述关系图中 , 顶点之间都是 $0$ 条边 ;

顶点之间是 $0$ 条边 / $2$ 条边 是对称的 ;

顶点之间是 $0$ 条边 / $1$ 条边 是反对称的 ;

上述关系图 既是 对称的 , 又是反对称的 ;

有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 既不是 自反的 , 又不是反自反的 ;