符号“∑”和“Π”的用法

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符号“∑”和“Π”的用法

在数学中，符号“∑”和“Π”分别用来表示求和与求积。

首先是函数的累积求和，n取[m, k]中的连续整数值。

$$\sum_{n=m}^{k} f(n)=f(n)+f(n+1)+...+f(k)$$

这个变量n可以换成其他任意字母，比如x。我们把下面的“n=m”和上面的“k”称作这个和式的下标。在上下文明确的情况下，下标可以省略。

求和符号同样可以表示无穷级数。

$$\sum_{i=1}^{n}=x_1+x_2+...+x_n$$

$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} +...+\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$

求和与求积的用法是完全相同的。当下标不是连续整数时，下标也可以有不同的表达方式。

$$\prod_{p\in A} \frac{p^2}{p^2-1}=\frac{\pi^2}{6}$$ （A表示所有正素数构成的集合）

$$\sum_{d|10,d\in N}=1+2+5+10=18$$ （“a|b”表示b能整除a，该和式表示所有10的正因子的和）

最后附上一些常见的求和公式。

$$\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}2$$

$$\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$

$$\sum_{i=1}^{n}i^3=(\frac{n(n+1)}2)^2$$

$$\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=n^2$$

$$\sum_{i=0}^{n}x^i=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$$

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