电路分析第五章（动态元件及动态电路导论）

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一、电容元件

1、（理想）电容元件的定义

（1）电容器（简称电容）都是由间隔以介质（如云母、绝缘纸、空气等）的两块金属极板组成。

（2）电容器是一种能够存贮电场能量的器件。

（3）如果u-q平面上的特性曲线是一条通过原点的直线，且不随时间而变，则此电容元件称为线性非时变电容元件，有

式中C为正值常数，称为电容，在国际单位中，电容的单位为法拉（简称为法，符号为F），其它常用的电容单位有皮法（pF）和微法（uF），1F= $10^{6}$ uF= $10^{12}$ pF。

2、电容元件的伏安特性

（1）电容如上图所示，在关联参考方向下，设电流按图示方向注入极板，电荷量增加，有 $i(i)=\frac{dq}{dt}$ ，结合可得电容的伏安特性为

①电流与电压是微分关系，如果二者的参考方向不一致，则需要在上式右侧加一个负号。

②上式表面，在某一时刻，电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率，而非电压本身，换句话说，只有电容电压有变化才会有电流流过电容，因此电容有隔直流的作用（在直流稳态电路中，电容可视作开路），因为直流电压是不随时间变化的。

（2）可以把电容的电压表示为电流的函数，对上式积分可得

①如果只需要了解某一任意选定的初始时刻 $t_{0}$ 以后电容电压的情况，则可把上式写为

②上面两个式子都是关联参考方向下的结论，取非关联参考方向时在电流前加负号即可。

3、电容的功率和储能

（1）电流和电压取关联参考方向（在下面的介绍中基本都是取关联参考方向），电容的功率为 $p=u(t)i(t)=Cu(t)\frac{du(t)}{dt}$ ，p>0时电容吸收能量，p<0时电容放出能量。

（2）在 $t_{1}$ 到 $t_{2}$ 期间对电容C充电，电容电压为 u(t) ，电流为 i(t) ，则在此期间供给电容的能量为

①电容充电时，u(t_{1})”>，\frac{1}{2}Cu^{2}(t_{1})”>，元件吸收能量，元件在充电时吸收并存储起来的能量一定在放电完毕时全部释放，它不消耗能量，所以它是储能元件。

②电容放电时， $u(t_{2})<u(t_{1})$ ， $\frac{1}{2}Cu^{2}(t_{2})<\frac{1}{2}Cu^{2}(t_{1})$ ，元件释放能量，电容元件不会释放出多于它吸收或存储的能量，所以它又是一种无源元件。

③在 $t_{1}$ 到 $t_{2}$ 期间，供给电容的能量只与两个时间端点的电压值有关，与在此期间的其它电压值无关，若 $t_{1}$ 时刻电容尚未充电，则其电压和储能均为零，那么 $t_{2}$ 时刻电容储存的电能为 $E_{C}(t_{2})=\frac{1}{2}Cu^{2}(t_{2})$ ，电容储存的能量一定大于或等于零，电容在该时刻的储能只与该时刻的电压有关（电容电压不能跃变，反映了储能不能跃变）。

4、电容元件的串并联

（1）n个电容串联在一起，流过各电容的电流为同一电流i， $C_{eq}$ 为n个电容串联的等效电容。

（2）n个电容并联在一起，各电容的端电压是同一电压 u， $C_{eq}$ 为n个电容并联的等效电容。

二、电感元件

1、（理想）电感元件的定义

（1）一个二端元件，如果在任一时刻，它的电流 i(t) 同它的磁链 $\phi (t)$ 之间的关系可用i-φ平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电感元件（简称电感）。

（2）给电感通以变化电流，在电感两端将产生感应电压。

（3）如果i-φ平面上的特性曲线是一条通过原点的直线，且不随时间而变，则此电感元件称为线性非时变电感元件，有

式中L为正值常数，称为电感，在国际单位中，电感的单位为亨利（简称为亨，符号为H）。

（4）实际电感元件的线圈导线电阻的损耗不可忽略时，其电路模型由L、R串连组成。

2、电感元件的伏安特性

（1）电磁感应定律：感应电压等于磁链的变化率，当电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋法则时可得 $u=\frac{d\phi }{dt}$ 。

（2）电感如上图所示，在关联参考方向下，设电流按图示方向注入电感，结合 $\phi (t)=Li(t)$ 和 $u=\frac{d\phi }{dt}$ 可得电感的伏安特性为

①电流与电压是微分关系，如果二者的参考方向不一致，则需要在上式右侧加一个负号。

②上式表面，在某一时刻，电感的电压取决于该时刻电流的变化率，而非电流本身，换句话说，只有电感电流有变化才会有感应电压产生，因此电感对直流起着短路的作用（在直流稳态电路中，电感可视作短路），电感电流变化越快，感应电压就越大。

（3）可以把电感的电流表示为电压的函数，对上式积分可得

①如果只需要了解某一任意选定的初始时刻 $t_{0}$ 以后电感电流的情况，则可把上式写为

②上面两个式子都是关联参考方向下的结论，取非关联参考方向时在电压前加负号即可。

3、电感的功率和储能

（1）电流和电压取关联参考方向，电感的功率为 $p=u(t)i(t)=Li\frac{di}{dt}$ ，p>0时电感吸收能量，p<0时电感放出能量。

（2）在 $t_{1}$ 到 $t_{2}$ 期间对电感C充电，电感电流为 i(t) ，则在此期间供给电感的能量为

①电感充电时，i(t_{1})”>，\frac{1}{2}Li^{2}(t_{1})”>，元件吸收能量，电感元件不把吸收的能量消耗掉，而是以磁场能量的形式存储在磁场中，所以它是储能元件。

②电感放电时， $i(t_{2})<i(t_{1})$ ， $\frac{1}{2}Li^{2}(t_{2})<\frac{1}{2}Li^{2}(t_{1})$ ，元件释放能量，电感元件不会释放出多于它吸收或存储的能量，所以它又是一种无源元件。

③在 $t_{1}$ 到 $t_{2}$ 期间，供给电感的能量只与两个时间端点的电流值有关，与在此期间的其它电流值无关，若 $t_{1}$ 时刻电感尚未充电，则其电流和储能均为零，那么 $t_{2}$ 时刻电感储存的电能为 $E_{C}(t_{2})=\frac{1}{2}Li^{2}(t_{2})$ ，电感储存的能量一定大于或等于零，电感在该时刻的储能只与该时刻的电流有关（电感电流不能跃变，反映了储能不能跃变）。

4、电感元件的串并联

（1）n个电感串联在一起，流过各电感的电流为同一电流i， $L_{eq}$ 为n个电感串联的等效电感。

（2）n个电感并联在一起，各电感的端电压是同一电压 u， $L_{eq}$ 为n个电感并联的等效电感。

三、动态电路的方程及其初始条件

1、动态电路的基本概念

（1）动态电路是指包含至少一个动态元件（电容或电感）的电路。

①动态电路中若含有一个独立的动态元件，则称为一阶电路，表征该一阶动态电路的电路方程为一阶常系数微分方程。

②动态电路中若含有两个独立的动态元件，则称为二阶电路，表征该二阶动态电路的电路方程为二阶常系数微分方程。

③动态电路中若含有三个或三个以上独立的动态元件，则称为高阶电路，表征该高阶动态电路的电路方程为高阶常系数微分方程。

（2）动态电路的一个特征是当电路的结构或元件的参数发送改变时，如电路中的电源或者无源元件断开，可能使电路改变原来的工作状态而转变到另一个工作状态，这种转变往往需要经历一个过程，这个过程称为暂态（在工程上称为过渡过程）。当电路中各个元件的电压和电流都不随时间改变，或都是与电源同频率的正弦量时，称这时的电路状态为稳态。

（3）过渡过程产生的原因：

①外因：换路；电路结构、状态发生变化。

②内因：电路内部含有储能元件（电感、电容），电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。

（4）根据电路的激励不同，可分为直流稳态电路和正弦稳态电路两类。

①直流稳态电路：电路中电流电压均为恒定量。

②正弦稳态电路：电路中电流电压均为正弦交流量。

（5）把电路结构或者参数的改变所引起的电路变化统称为“换路”。

（6）动态电路的分析方法（经典法）：

①根据KCL、KVL和支路的VCR建立描述电路的方程，建立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程。

②求解常微分方程，得到电路所求变量（电压或电流）。

2、初始条件

（1）一阶电路列出的方程是一阶微分方程，那么求解的时候需要知道一阶微分方程的初始值（初始条件），也就是电路中的响应在换路后的最开始一瞬间的值。

（2）电路的初始条件：

① $t=0_{+}$ 和 $t=0_{-}$ 的概念：

②电容的初始条件：换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。

③电感的初始条件：换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁通链）换路前后保持不变。

3、换路定律

（1）换路前后瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压换路前后保持不变。

（2）换路前后瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流换路前后保持不变。

（3）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。

（4）换路定律反映了能量不能跃变。

4、初始值的计算

（1）根据换路前的电路求出 $u_{C}(0_{-})$ 和 $i_{L}(0_{-})$ ，依据换路定律确定 $u_{C}(0_{+})$ 和 $i_{L}(0_{+})$ 。

（2）画出 $t=0_{+}$ 时刻的等效电路，即将电感用电流源替换，其值为 $i_{L}(0_{+})$ ，将电容用电压源替换，其值为 $u_{C}(0_{+})$ ，电路中其它元件的参数取 $t=0_{+}$ 时刻的数值。

（3）求解 $t=0_{+}$ 时刻的等效电路即可得出所需要的初始电流和电压。（需要说明的是， $t=0_{+}$ 时刻的等效电路仅在时刻有效，也即仅仅为了求取非独立初始条件）

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