数学分析复习：不定积分表

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本文列举了计算不定积分的一些实用结论

定义

$$\csc x=\frac{1}{\sin x},\sec x=\frac{1}{\cos x},\cot x=\frac{\csc x}{\sec x}$$

$$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}$$

反三角函数的常用结论

以下每组等式最后两个等号只在 $x>0$ 时成立
$$\begin{array}{rl}\arcsin x& =-\arcsin (-x)\\ & =\frac{\pi }{2}-\arccos x\\ & =\arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\\ & =\arccos \sqrt{1-x^2}\\ & =\mathrm{arccot}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\arccos x& =\pi -\arccos -x\\ & =\frac{\pi }{2}-\arcsin x\\ & =\mathrm{arccot}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\\ & =\arcsin \sqrt{1-x^2}\\ & =\arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\arctan x& =-\arctan -x\\ & =\frac{\pi }{2}-\mathrm{arccot}x\\ & =\arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\ & =\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\ & =\mathrm{arccot}\frac{1}{x}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\mathrm{arccot}x& =\pi -\mathrm{arccot}-x\\ & =\frac{\pi }{2}-\arctan x\\ & =\arccos \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\ & =\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\ & =\arctan \frac{1}{x}\end{array}$$

初等函数

$$\int \ln x\mathrm{d}x=x\ln x-x+C$$

$$\int \csc x\mathrm{d}x=ln|\csc x-\cot x|+C,\int \sec x\mathrm{d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$$

$$\int \tan x\mathrm{d}x=-\ln |\cos x|+C,\int \cot x\mathrm{d}x=\ln |\sin x|+C$$

$$\int \arcsin x\mathrm{d}x=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$$

$$\int \arccos x\mathrm{d}x=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C$$

$$\int \arctan x\mathrm{d}x=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C$$

三角函数的平方

$$\int {\sec }^{2}x\mathrm{d}x=\tan x+C,\int {\csc }^{2}x\mathrm{d}x=-\cot x+C$$

$$\int {\tan }^{2}x\mathrm{d}x=\tan x-x+C,\int {\cot }^{2}x\mathrm{d}x=-\cot x-x+C$$

两个三角函数之积

$$\int \sin x\cdot \tan x\mathrm{d}x=\ln \left|\frac{\tan \frac{x}{2}+1}{\tan \frac{x}{2}-1}\right|-\sin x+C$$

$$\int \cos x\cdot \cot x\mathrm{d}x=\ln |\tan \frac{x}{2}|+\cos x+C$$

$$\int \tan x\cdot \csc x\mathrm{d}x=\cot x+C$$

$$\int \cot x\cdot \sec x\mathrm{d}x=\tan x+C$$

$$\int \sec x\cdot \csc x\mathrm{d}x=\ln |\tan x|+C$$

有理函数 $\frac{p(x)}{q(x)}$

有理函数即两个多项式 $p(x),q(x)$ 之比

首先总可以作带余除法使得分子的次数比分母小，故设 $\mathrm{deg}p(x)<\mathrm{deg}q(x)$

多项式函数 $q(x)$ 在数域 $\mathbb{R}$ 上总可以分解为
$$q(x)=(x-a_1{)}^{m_1}\cdots (x-a_r{)}^{m_r}(x^2+b_{1}x+c_1{)}^{n_1}\cdots (x^2+b_{s}x+c_s{)}^{n_s}$$

的形式，则 $\frac{p(x)}{q(x)}$ 可分解为
$$\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^{m_i}\frac{{\lambda }_i}{(x-a_i{)}^j}+\sum _{p=1}^s\sum _{q=1}^{n_p}\frac{k_{q}x+l_q}{(x^2+b_{p}x+c_p{)}^q}$$

则对 $\frac{p(x)}{q(x)}$ 进行积分，只会出现以下两种类型
$$\int \frac{\lambda }{(x-a)}\mathrm{d}x,\int \frac{kx+l}{x^2+bx+c}\mathrm{d}x$$

这两种容易积分

其他题型归纳

$\frac{0}{2}$ 型：（令 $a>0$）
$$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$$

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C$$

$\frac{0}{\sqrt{2}}$ 型：（令 $a>0$）
$$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C$$

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$$

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$$

$\sqrt{2}$ 型：
$$\int \sqrt{x^2+a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}[x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})]+C$$

$$\int \sqrt{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}[x\sqrt{x^2-a^2}-a^2\ln (x+\sqrt{x^2-a^2})]+C$$

可先算 $$\int \frac{\cos x}{\cos x+\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x+\sin x}\mathrm{d}x$$

和 $$\int \frac{\cos x}{\cos x+\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x+\sin x}\mathrm{d}x$$

参考书：

• 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路
• 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
• 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著