正项级数敛散性的判别

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（二）根据与找到的一个新级数的关系进行判别

🔑2.d’Alembert判别法（比值法）

🚀一、正项级数的定义

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 的各项都是非负实数，即 $x_{n}\geqslant 0,n=1,2,...,$ 则称此级数为正项级数.

🚀二、正项级数的收敛判别法

（一）根据目标级数的部分和数列进行判别

正项级数的收敛原理

正项级数收敛的充分必要条件条件是它的部分和数列有上界.

证明：反证：若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到 $+\infty$ .

（二）根据与找到的一个新级数的关系进行判别

🔑1.比较判别法

设 $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty } y_{n}$ 是两个正项级数，若存在常数0″>,使得 $x_{n}\leqslant Ay_{n}$ ,则

（1）当 $\sum_{n=1}^{\infty } y_{n}$ 收敛时， $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 也收敛；

（2）当 $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 发散时， $\sum_{n=1}^{\infty } y_{n}$ 也发散.

证明：设级数 $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 的部分和数列为 $\left \{ S_{n} \right \}$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty } y_{n}$ 的部分和数列为 $\left \{T _{n} \right \}$ ，则显然有 $S_{n}\leqslant AT_{n}$ ，于是当 $\left \{T _{n} \right \}$ 有上界时， $\left \{ S_{n} \right \}$ 也有上界，而当 $\left \{ S_{n} \right \}$ 无上界时， $\left \{T _{n} \right \}$ 必定无上界，由正项级数的收敛原理即得结论.

🍭注：由于改变级数有限个项的数值，并不会改变它的敛散性或发散性（虽然在收敛的情况下可能改变它的“和”），所以比较判别法的条件可放宽为：“存在正整数N与常数0″> ，使得

$x_{n}\leqslant Ay_{n}$ 对一切N”>成立”.

🔑2.比较判别法的极限形式

设 $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty } y_{n}$ 是两个正项级数, $\lim_{n\to\infty }\frac{x_{n}}{y_{n}}=l (0\leqslant l\leqslant +\infty ),$ 则

（1）若 $0\leqslant l<+\infty$ ,则当 $\sum_{n=1}^{\infty } y_{n}$ 收敛时， $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 也收敛；

（2）若 $0< l\leqslant +\infty$ ,则当 $\sum_{n=1}^{\infty } y_{n}$ 发散时， $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 也发散.

证明利用极限的定义和比较判别法，较容易，这里不给出具体的证明过程.

🍭说明：由比较判别法到比较判别法的极限形式，降低了找到合适级数的难度，即从“找到二者的大小关系”到“找到近似等价形式”（也就是从<到~），可操作性提高.

（三）根据自身元素进行判别

用比较判别法时，先要对所考虑的级数的收敛性有一个大致的估计，进而找到一个敛散性已知的合适级数与之相比较.但就绝大多数情况而言，这两个步骤都具有相当难度，因此，理想的判别方法应着眼于对级数自身元素的分析.

之前定义的上下极限派上了用场.

下面我们给出三种基于自身元素的敛散性判别法，它们是:Cauchy判别法、d’Alembert判别法和Raabe判别法.

🔑1.Cauchy判别法（根值法）

设 $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 是正项级数， $r=\overline{\underset{n\to\infty}{lim}}\sqrt[n]{x_{n}}$ （上极限，详见上一篇文章）,则

（1）当时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 收敛；

（2）当1″>时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 发散.

（3）当时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散.

证当时，取满足,由上极限的定义，可知存在正整数，取 $\varepsilon =q-r$ ，使得对一切N”>, 成立 $\sqrt[n]{x_{n}}<q$ ,

从而   $x_{n}<q^{n}$ ,,

由比较判别法可知 $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 收敛.

当1″>,由于r是数列 $\left \{ \sqrt[n]{x_{n}} \right \}$ 的极限点，可知存在无穷多个n满足1″>,这说明数列    $\left \{ x_{n} \right \}$ 不是无穷小量，从而 $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 发散.

  当,可以通过级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 知道判别法失效.（给出Raabe判别法的原因）

🔑2.d’Alembert判别法（比值法）

设 $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ $(x_{n}\neq 0)$ 是正项级数，则

（1）当 $\overline{\underset{n\to\infty }{lim}}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\overline{r}<1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 收敛；

（2）当1″>时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 发散;

（3）当 $\overline{r}\geqslant 1$ 或 $\underline{r}\geqslant 1$ 时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散.

证明包含在下述引理中.

$\underset{\overline{n\to\infty }}{lim}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\leqslant \underset{\overline{n\to\infty }}{lim}\sqrt[n]{x_{n}} \leqslant \overline{\underset{n\to\infty }{lim}}\sqrt[n]{x_{n}} \leqslant \overline{\underset{n\to\infty }{lim}}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}$

引理的证明思路如下：

从比值形式的上极限入手，记为r，利用定义去掉极限符号

$\rightarrow$ 比值形式，使用迭乘，将两个变量变成一个

$\rightarrow$ 加根后，对变量取极限

🔑3.Raabe判别法

设 $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ $(x_{n}\neq 0)$ 是正项级数， $\lim_{n\to\infty }n\left ( \frac{x_{n}}{x_{n+1}} -1\right )=r$ ，则

（1）当1″>时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 收敛;

（2）当时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 发散.

证明设t>1″>, $\mathbf{f\left ( x \right )=1+sx-\left ( 1+x \right )^{t}}$ ,由 $f\left ( 0 \right )=0$ 与 $f^{'}\left ( 0 \right )=s-t$ ,可知存在 0″>,当 $0<x<\delta$ 时，成立\left ( 1+x \right )^{t}.”>（*）

当1″>时，取满足s>t>1″>.

由 s>t”>与不等式（*），可知对于充分大的n，成立 1+\frac{s}{n}>\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{t}=\frac{\left ( n+1 \right )^{t}}{ n ^{t}}.” />

这说明正项数列 $\left \{n ^{t}x_{n} \right \}$ 从某一项开始单调减少，因而其必有上界，设 $n ^{t}x_{n} \leqslant A$

于是 $x_{n}\leqslant \frac{A}{n^{t}}.$

由于1,”>因而 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{t}}$ 收敛，根据比较判别法即得到 $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 收敛.

类似地，可以证明时， $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ 发散.

（四）积分判别法

🔑1.积分判别法

应用条件

设 $f\left ( x \right )$ 定义于 $[a,+\infty ),$ 并且 $f\left ( x \right )\geqslant 0,$ 进一步设 $f\left ( x \right )$ 在任意有限区间上Riemann可积.取一单调增加趋于 $+\infty$ 的数列 $\left \{ a_{n} \right \}$ ： $a=a_{1}<a_{2}<a_{3}<...<a_{n}<...,$

令 $u_{n}=\int_{a_{n}}^{a_{n+1}}f\left ( x \right )dx$ .

定理内容

反常积分 $\int_{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx$ 与正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 同时收敛或同时发散于 $+\infty$ ，且 $\int_{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx=\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}=\sum_{n=1}^{\infty }\int_{a_{n}}^{a_{n+1}}f\left ( x \right )dx$

🍭附加条件后，定理的特殊化:

特别地，当 $f\left ( x \right )$ 单调减少时，取 $a_{n}=n$ ，则反常积分 $\int_{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx$ 与正项级数 $\sum_{n=N}^{\infty }f\left ( n\right )(N=[a]+1)$ 同时收敛或同时发散.

证明设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 的部分和数列为 $\left \{ S_{n} \right \}$ ，则对任意a”>,存在正整数n，成立 $a_{n}\leqslant A<a_{n+1}$ ,于是 $S_{n-1}\leqslant \int_{a}^{A}f\left ( x \right )dx\leqslant S_{n}.$

当 $\left \{ S_{n} \right \}$ 有界，即 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 收敛时，则有 $\lim_{A\to\infty }\int_{a}^{A}f\left ( x \right )dx$ 收敛，且根据极限的夹逼性，它们收敛于相同的极限；当 $\left \{ S_{n} \right \}$ 无界，即 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 发散于 $+\infty$ 时，则同样有 $\lim_{A\to\infty }\int_{a}^{A}f\left ( x \right )dx=+\infty$ .

由此得到 $\int_{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx=\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}=\sum_{n=1}^{\infty }\int_{a_{n}}^{a_{n+1}}f\left ( x \right )dx$ .

🍭特别，当 $f\left ( x\right )$ 单调减少时，取 $a_{n}=n$ ，

则当 $n\geqslant N=[a]+1,$ $f\left ( n+1 \right )\leqslant u_{n}=\int_{n}^{n+1}f\left ( x \right )dx\leqslant f\left ( n \right )$ ,

由比较判别法可知 $\sum_{n=N}^{\infty }f\left ( n \right )$ 与 $\sum_{n=N}^{\infty }u_{n}$ 同时收敛或同时发散，从而与 $\int_{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx$ 同时收敛或同时发散.

2.反常积分与数项级数的关系

反常积分是连续形式的数项级数

🚀三、一些思考

判别法给出的顺序也是实际解题中可操作性提高的过程.

可以看出，比较判别法是后续判别法的证明依据

证明=定义+定理

🚀四、常用的放缩技巧

1″ />

\frac{2}{\pi}x” />

$\ln x<\sqrt{x}$

$xy^{\frac{1}{2}}<\frac{1}{2}(x+y)$

🚀五、注意事项

敛散性的判别法仅用于具体正项级数的敛散性判别，不用于与正项级数相关的证明题

证明题考察定义

比较判别法才是yyds

以人名命名的定理一般都不好证，技巧性太强

数列：通项，和，求和技巧（裂项，错位相减等），增减性，收敛性

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正项级数敛散性的判别

🚀一、正项级数的定义

🚀二、正项级数的收敛判别法

（一）根据目标级数的部分和数列进行判别

正项级数的收敛原理

（二）根据与找到的一个新级数的关系进行判别

🔑1.比较判别法

🔑2.比较判别法的极限形式

（三） 根据自身元素进行判别

🔑1.Cauchy判别法（根值法）

🔑2.d’Alembert判别法（比值法）

🔑3.Raabe判别法

（四）积分判别法

🔑1.积分判别法

2.反常积分与数项级数的关系

🚀三、一些思考

🚀四、常用的放缩技巧

🚀五、注意事项

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