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四种方法推导平方和公式
序言:
连续自然数的平方和, S n = ∑ k = 0 n k 2 = 1 2 + 2 2 + . . . + n 2 S_n = \sum_{k=0}^{n}{k^2} = 1^2 + 2^2 + … + n^2 Sn=∑k=0nk2=12+22+...+n2 是我们中学时期便接触到的一个重要公式,当时只要求记住其结论,即 S n = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} Sn=6n(n+1)(2n+1)。本文将讨论四种推导方案(参考《具体数学》2.5)。
我们首先列举几个小的情形备用
n n n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
n 2 n^2 n2 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
S n S_n Sn | 0 | 1 | 5 | 14 | 30 | 55 | 91 | 140 | 204 | 285 | 385 |
1. 数学归纳法
2. 扰动法(从立法差出发)
3. 利用积分逼近求和
利用数形结合的方式,往往能使复杂的问题变得直观。先解释一下上图,图中的曲线为 f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f(x)=x2,曲线与每个宽为1的矩形的交点横坐标恰好为自然数。以此,我们可以利用曲线 f ( x ) f(x) f(x)与横坐标围城的面积( ∫ 0 n x 2 d x \int_{0}^{n}{x^2}{\rm d}x ∫0nx2dx),去逼近各矩形面积之和( ∑ k = 0 n x 2 \sum_{k=0}^{n}{x^2} ∑k=0nx2),其中
∫ 0 n x 2 d x = n 3 3 \int_{0}^{n}{x^2}{\rm d}x = \frac{n^3}{3} ∫0nx2dx=3n3
这恰好与原和式的最高阶量一致。当然,我们需要进一步检查误差,命误差 E n = S n − n 3 3 E_n=S_n – \frac{n^3}{3} En=Sn−3n3(我们其实也应该猜到,这部分是个二阶量),我们可以发现
E n = S n − n 3 3 = S n − 1 + n 2 − n 3 3 = E n − 1 + 1 3 ( n − 1 ) 3 + n 2 − n 3 3 = E n − 1 + n − 1 3 \begin{aligned} E_n &= S_n – \frac{n^3}{3}\\ &= S_{n – 1} + n^2 – \frac{n^3}{3}\\ &=E_{n-1} + \frac{1}{3}(n-1)^3+n^2-\frac{n^3}{3}\\ &=E_{n-1} + n – \frac{1}{3} \end{aligned} En=Sn−3n3=Sn−1+n2−3n3=En−1+31(n−1)3+n2−3n3=En−1+n−31
很显然了, E n E_n En是个等差数列之和,通过移项累加得到
E n = E 0 + n ( n + 1 ) 2 − n 3 = 3 2 n 2 − 1 2 n 3 \begin{aligned} E_n &= E_0 + \frac{n(n+1)}{2} – \frac{n}{3}\\ &=\frac{\frac{3}{2}n^2-\frac{1}{2}n}{3} \end{aligned} En=E0+2n(n+1)−3n=323n2−21n
于是
S n = E n + n 3 3 = n ( n + 1 2 ) ( n + 1 ) 3 \begin{aligned} S_n &= E_n + \frac{n^3}{3}\\ &= \frac{n(n + \frac{1}{2})(n + 1)}{3} \end{aligned} Sn=En+3n3=3n(n+21)(n+1)
4. 化为二重和式
- 总结
平方和公式的推导方式极其繁多,《具体数学》中便给出了八种解法,这里选取了其中四种方法进行讨论。更多的细节可以参考原书,当然从网上也能查找许多衍生的解法。个人认为,其中涉及到的一些套路,对于启发我们的思维具有很大的帮助。
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