【面试】解释一下什么是欧拉图，如何判定欧拉图

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面试模拟场景

面试官: 你能解释一下什么是欧拉图，以及如何判定欧拉图吗？

参考回答示例

1. 欧拉图的定义

欧拉图（Eulerian Graph）指的是可以找到一条经过每条边且仅经过一次的闭合路径的无向图或有向图。这样的路径称为欧拉回路（Eulerian Circuit）。

如果存在一条通过图中每条边且仅经过一次的路径，但不一定回到起点，这样的图称为半欧拉图，路径称为欧拉路径（Eulerian Path）。

2. 判定无向图是否为欧拉图

2.1 欧拉图的判定条件：

• 对于一个无向图，以下条件必须同时满足才能判定其为欧拉图：
  1. 图是连通的： 图中任意两个顶点之间必须连通，也就是说，图的所有顶点都在同一个连通分量中。
  2. 所有顶点的度数均为偶数： 图中每个顶点的度数（与该顶点相连的边的数量）必须是偶数。

2.2 半欧拉图的判定条件：

• 对于一个无向图，以下条件必须同时满足才能判定其为半欧拉图：
  1. 图是连通的： 图中任意两个顶点之间必须连通。
  2. 恰有两个顶点的度数为奇数： 图中恰好有两个顶点的度数为奇数，其余顶点的度数均为偶数。

判定过程：

• 通过计算图中每个顶点的度数来检查其是否符合上述条件。如果所有顶点度数为偶数且图是连通的，则图是欧拉图。如果恰有两个顶点的度数为奇数且图是连通的，则图是半欧拉图。

3. 判定有向图是否为欧拉图

3.1 有向欧拉图的判定条件：

• 对于一个有向图，以下条件必须同时满足才能判定其为有向欧拉图：
  1. 图是连通的： 在有向图中，必须保证弱连通性，即无视边的方向，所有顶点之间都有路径连通。
  2. 每个顶点的入度等于出度： 对于图中每个顶点，入度（指向该顶点的边的数量）必须等于出度（从该顶点出发的边的数量）。

3.2 半欧拉图的判定条件：

• 对于一个有向图，以下条件必须同时满足才能判定其为半欧拉图：
  1. 图是连通的： 在有向图中，必须保证弱连通性。
  2. 恰有一个顶点的入度比出度大1，恰有一个顶点的出度比入度大1，其他顶点的入度等于出度。

判定过程：

• 通过计算图中每个顶点的入度和出度，并检查其是否符合上述条件。如果所有顶点的入度等于出度且图是连通的，则图是有向欧拉图。如果恰有一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的出度比入度大1，且图是连通的，则图是有向半欧拉图。

4. 举例说明

例子1（无向欧拉图）：

• 考虑一个无向图，图中的顶点和边如下：
  • 顶点：$A,B,C,D$
  • 边：$(A-B),(B-C),(C-D),(D-A),(A-C)$

  判定：

  • 顶点 $A$ 的度数为3（奇数）。
  • 顶点 $B$ 的度数为2（偶数）。
  • 顶点 $C$ 的度数为3（奇数）。
  • 顶点 $D$ 的度数为2（偶数）。

  此图不符合所有顶点度数均为偶数的条件，因此不是欧拉图。但是它有两个顶点（A和C）度数为奇数，因此这是一个半欧拉图。

例子2（有向欧拉图）：

• 考虑一个有向图，图中的顶点和有向边如下：
  • 顶点：$A,B,C,D$
  • 有向边：$A\to B,B\to C,C\to D,D\to A,A\to C,C\to A$

  判定：

  • 顶点 $A$ 的入度和出度都是2。
  • 顶点 $B$ 的入度和出度都是1。
  • 顶点 $C$ 的入度和出度都是2。
  • 顶点 $D$ 的入度和出度都是1。

  此图中，所有顶点的入度等于出度，并且图是连通的，因此这是一个有向欧拉图。

5. 总结

• 欧拉图（Eulerian Graph）： 是指可以找到一条经过每条边且仅经过一次的闭合路径的图。无向欧拉图要求所有顶点的度数均为偶数且图是连通的。有向欧拉图要求每个顶点的入度等于出度且图是连通的。
• 判定方法： 通过计算顶点的度数或入度、出度，并检查图的连通性，可以判定一个图是否为欧拉图或半欧拉图。