Hall定理（二分图匹配问题，Hungary算法基础）

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

前言

hall定理是判定二分图是否存在完全匹配的定理。

完全匹配：是指最大匹配数为min(|X|,|Y|) 也就是X或Y集合其中一个集合所有点都被匹配了。

定理内容

设二分图中G=<V1,V2,E>中 |V1|=m<=|V2|=n,G中存在从V1到V2的完全匹配当且仅当V1中任意k(k=1,2,…,m)个顶点至少与V2中k个顶点是相邻的。

证明

必要性

因为是完全匹配，所以V1中任意k个点都是匹配的，显然至少与V2中k个点是相邻的。

充分性

反证法。设G中不存在完全匹配，取G的一个最大匹配M，则V1中至少有一个点不在M上，且该点必至少与一条不在M中的边相连，该边的另一个顶点若也为M-非饱和点，则与M为最大匹配矛盾，若另一个顶点为M-饱和点，则考察在M中与该顶点相邻的点，利用饱和点去考察在M中相邻的饱和点（交错地考察，即交错地通过M中的边和非M中的边），直至考察完毕，由相异性条件知，最后必考察至非饱和点，此时出现一条增广路，又与假设矛盾（M不是最大匹配），故充分性成立。

Hall定理的一个推论

设二分图中G=<V1,V2,E>中|V1|=m<=|V2|=n，V1中每个顶点至少关联正整数t条边，V2中每个顶点至多关联t条边（t条件），则G存在从V1到V2的完全匹配。

证明：因V1中任意k个顶点至少关联kt条边（kt条边至少关联V2中的k条边），故V1中任意k(k=1,2,…,m)个顶点至少与V2中k个顶点相邻，即得到相异性条件，得证。