热应力基础概念

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1.热应力概述

物体的变形不仅仅由外力作用引起，温度的变化也能够引起变形，称为热变形：如热胀冷缩。

但是单有温度的变化，不一定就在物体内部产生应力，只有当温度变化所引起的膨胀或收缩受到约束时，才会在物体内产生应力。这种无外力作用而是由于温度变化引起的热变形受到约束而产生的应力，称为热应力或温度应力。

• 外部变形约束：物体受到外部条件影响，不能自由伸缩，如两端固定等；
• 内部变形约束：物体内部温度分布不均匀，如物体内外、上下存在温差，导致零件翘曲；
• 相互变形约束：不同零件组合在一起，热膨胀系数不同，相互影响；

2.广义胡克定律

对于各向同性物体，在自由膨胀情况下，假设温度变化为 t，热膨胀率为 $\alpha$，则：
$$\begin{array}{rl}& {\epsilon }_x={\epsilon }_y={\epsilon }_z=\alpha t\\ & {\gamma }_{xy}={\gamma }_{yz}={\gamma }_{zx}=0\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

已知体积应力 $$\Theta ={\sigma }_x+{\sigma }_y+{\sigma }_z\text{\hspace{1em}(3)}$$，
剪切弹性模量$$G=\frac{E}{2(1+\mu )}\text{\hspace{1em}(4)}$$
式（2）中正应变可整理为：

$$\{\begin{array}{l}{\epsilon }_x=\frac{1}{2G}({\sigma }_x-\frac{\mu }{1+\mu }\Theta )+\alpha t\\ {\epsilon }_y=\frac{1}{2G}({\sigma }_y-\frac{\mu }{1+\mu }\Theta )+\alpha t\\ {\epsilon }_z=\frac{1}{2G}({\sigma }_z-\frac{\mu }{1+\mu }\Theta )+\alpha t\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

由式（5)，对于体积应变 $e$，
$$e={\epsilon }_x+{\epsilon }_y+{\epsilon }_z=\frac{1-2\mu }{1+\mu }\frac{\Theta }{2G}+3\alpha t\text{\hspace{1em}(7)}$$

根据式（6)、式 (7),将正应力公式整理为以下形式：

$$\{\begin{array}{l}{\sigma }_x=2G{\epsilon }_x+\lambda e-\beta t\\ {\sigma }_y=2G{\epsilon }_y+\lambda e-\beta t\\ {\sigma }_z=2G{\epsilon }_y+\lambda e-\beta t\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$

其中，$\lambda$ 为拉梅常数：

$$\lambda =\frac{E\mu }{(1+\mu )(1-2\mu )}\text{\hspace{1em}(10)}$$

$\beta$ 为热应力系数：
$$\beta =\alpha (3\lambda +2G)\text{\hspace{1em}(11)}$$

3.位移平衡方程

我们假设热应力为 $p$，则：
$$\nabla p=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial {\sigma }_x}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zx}}{\partial z}\\ \frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial x}+\frac{\sigma {\tau }_y}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zy}}{\partial z}\\ \frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_z}{\partial z}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(12)}$$

仅受应力影响的应变微分方程位移形式表述如下：

$$\epsilon =\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_x\\ {\epsilon }_y\\ {\epsilon }_z\\ {\gamma }_{xy}\\ {\gamma }_{yz}\\ {\gamma }_{zx}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial x}\\ \frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial w}{\partial z}\\ \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z}\\ \frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(13)}$$

结合式（6）、（9）、（12）、（13）可得：

$$\nabla p=\left[\begin{array}{c}(\lambda +G)\frac{\partial e}{\partial x}+G{\nabla }^{2}u-\beta \frac{\partial t}{\partial x}\\ (\lambda +G)\frac{\partial e}{\partial y}+G{\nabla }^{2}v-\beta \frac{\partial t}{\partial y}\\ (\lambda +G)\frac{\partial e}{\partial z}+G{\nabla }^{2}w-\beta \frac{\partial t}{\partial z}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(14)}$$

除了必须满足微分平衡方程外，也需要满足边界条件。当忽略表面力（即表面力为零）时：

$$\{\begin{array}{l}{\sigma }_{x}l+{\tau }_{yx}m+{\tau }_{zx}n=0\\ {\sigma }_{y}m+{\tau }_{yx}n+{\tau }_{zx}l=0\\ {\sigma }_{z}n+{\tau }_{yx}l+{\tau }_{zx}m=0\end{array}\text{\hspace{1em}(15)}$$

其中，l、m、n 分别为边界表面在x、y、z方向的法向余弦。