2024.10.14线性代数学习笔记

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

矩阵的幂

矩阵的幂是指将一个矩阵自身相乘多次的操作。具体来说，如果 A 是一个 n×n 的方阵，那么 A 的 k 次幂 A^k 定义为 A 自身相乘 k 次的结

果。

定义

设 A 是一个 n×n 的方阵，那么 A 的 k 次幂 A^k 定义为：

其中 k 是一个正整数。

性质

矩阵幂具有以下性质：

结合律：对于任意正整数 k 和 l，
分配律：对于任意正整数 k 和 l，

（除非 AA 和 BB 是可交换的）例如A+B的平方：

如果A和B可交换，则AB=BA，所以

如果A和B不可交换，则AB与BA不等，则上述公式不能合并为2AB。
单位矩阵：对于任意方阵A，A^0=E，其中 E 是单位矩阵。

矩阵的转置

矩阵的转置（Transpose）是矩阵操作中的一种基本运算。它通过交换矩阵的行和列来生成一个新的矩阵。具体来说，如果 A 是一个m×n 的矩阵，那么它的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其中 A^T 的第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 j 行第i 列的元素。

定义

设 A 是一个 m×n 的矩阵，其元素为 aij，那么 A 的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其元素为 aji。

性质

矩阵转置具有以下性质：

(A^T)^T = A：一个矩阵的转置的转置等于原矩阵。
(A + B)^T = A^T + B^T：两个矩阵和的转置等于它们各自转置的和。
(kA)^T = kA^T：一个矩阵乘以一个标量的转置等于该矩阵的转置乘以该标量。
(AB)^T = B^T A^T：两个矩阵乘积的转置等于它们各自转置的乘积，但顺序相反。

特殊矩阵

对称矩阵：如果一个矩阵 A 满足 A^T=A，那么 A 是对称矩阵。对称矩阵的元素关于主对角线对称。
反对称矩阵：如果一个矩阵 A 满足 A^T=−A，那么 A 是反对称矩阵。反对称矩阵的主对角线元素必须为零，且关于主对角线对称的元素互为相反数。

方阵的行列式

要计算行列式的前提为矩阵A为方阵。

性质：A为n阶的方阵

伴随矩阵

设 A 是一个 n×n 的方阵，其元素为 aij。伴随矩阵 adj(A)或A* 是一个 n×n的矩阵，其第 i 行第 j 列的元素是 A 的余子式 Mji 的代数余子式 Cji，即：

其中 Mji是 A 的第j 行第i 列元素的余子式，即去掉第 j 行和第 i 列后剩下的 (n−1)×(n−1) 矩阵的行列式。

简单理解：

1.先按行求出每个元素的代数余子式

2.将每行元素的代数余子式按列组成一个矩阵，该矩阵就是伴随矩阵。

逆矩阵

对于一个 n×n 的方阵 A，如果存在另一个 n×n的方阵 B，使得 AB=BA=E，其中 E 是 n×n 的单位矩阵，那么 B 称为 A 的逆矩阵，记作

$A^{-1}$

逆矩阵的存在条件

一个矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的，即 det⁡(A)≠0。如果 det⁡(A)=0，则 A 是奇异矩阵，没有逆矩阵。

初等变换

变换一般可以分为两种类型：行变换、列变换。

初等行变换：

交换两行：将矩阵的第 i 行和第 j 行交换位置
某一行乘以非零常数：将矩阵的第i 行乘以一个非零常数 k
某一行加上另一行的倍数：将矩阵的第 i行加上第 j 行的 k 倍

初等列变换

交换两列：将矩阵的第 i 列和第 j 列交换位置
某一列乘以非零常数：将矩阵的第 i 列乘以一个非零常数 k
某一列加上另一列的倍数：将矩阵的第 i 列加上第 j 列的 k 倍

矩阵的标准形

常见的矩阵标准形包括行阶梯形矩阵、简化行阶梯形矩阵等。

行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵是一种特殊的矩阵形式，具有以下特征：

非零行在零行之上：所有非零行都在零行之上。
主元：每一行的第一个非零元素（主元）在上一行主元的右边。
主元下方元素为零：每一行的主元下方元素都为零。

向量

定义

向量可以用多种方式定义，以下是几种常见的定义：

几何定义：向量是一个有方向和大小的量，通常用箭头表示。向量的起点称为原点，终点称为向量的端点。
代数定义：向量是一个有序的数组，通常表示为列向量或行向量。

向量的表示

向量可以用多种方式表示，以下是几种常见的表示方法：

几何表示：在二维或三维空间中，向量通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
代数表示：向量可以用列向量或行向量表示，如上所述。
坐标表示：在二维或三维空间中，向量可以用坐标表示。例如，二维向量 v=(v1,v2)v=(v1,v2) 表示在 xx 轴和 yy 轴上的分量。

向量的运算

向量有几种基本的运算，包括加法、数乘、点积和叉积。

向量加法

向量加法是将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

向量数乘

向量数乘是将一个向量的每个分量乘以一个标量，得到一个新的向量。

向量点积

向量点积（内积）是将两个向量的对应分量相乘，然后将结果相加，得到一个标量。

矩阵的特征值和特征向量

定义

设 A 是一个 n×n 的方阵。如果存在一个非零列向量 v 和一个标量 λ，使得：

$Av=\lambda v$

那么 λ 称为矩阵 A的特征值，v 称为对应于特征值 λ 的特征向量。

注：λ可以为0，而v不能为0，并且v是列向量。因为A是n维矩阵，如果v是行向量，则维数是1xn，不满足矩阵相乘。

将定义中的等式移项，得到：

$(A-\lambda E)v=0$

由于v是非零列向量，相当于求上述方程的非零解，由方程有非零解的充要条件是行列式为0的定理可知：

说明：(A-λE)：特征矩阵；|A-λE|：特征行列式或特征多项式；|A-λE|=0：特征方程

结论：

1.λ是A的特征值，v是对应λ的一个特征向量，则cv也是λ的一个特征向量，c为不等于0的标量。

根据定义：

$Av=\lambda v$

等式两边同乘以c

$cAv=c\lambda v\geq A(cv)=\lambda (cv)$

所以cv也是λ的一个特征向量。

向量的模

定义

向量 v 的模记作 ∥v∥，计算公式为：

几何解释

在二维空间中，向量 v=(v1,v2)的模表示从原点到点 (v1,v2)的距离。在三维空间中，向量 v=(v1,v2,v3)的模表示从原点到点 (v1,v2,v3)的距离。

||v||=1，叫做单位向量的模。如：v=(1,0,0)

性质

非负性：∥v∥≥0，并且 ∥v∥=0 当且仅当 v=0（零向量）。
齐次性：对于任意标量 k，∥kv∥=∣k∣∥v∥。
三角不等式：对于任意向量 u 和 v，∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥。

向量的内积

定义

对于两个 n 维向量 a=(a1,a2,…,an) 和 b=(b1,b2,…,bn)，它们的内积（点积）表示为 a⋅b，计算公式为：