无理数的认识

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无理数也是无穷无尽的，它们比起有理数来得多得多。

1. 从 $\sqrt 2$ 开始

我们从 $\sqrt 2$ 开始，就可以构造无穷多个无理数：

• $1+\sqrt 2$，$2+\sqrt 2$，$3+\sqrt 3$，$\ldots$，也都是无理数；
• $2\sqrt 2$，$3\sqrt 2$，$4\sqrt 2$，$\ldots$，也都是无理数；
• $\frac12+\sqrt 2$，$3-2\sqrt 2$，$\frac35-\frac74\sqrt2$，$\ldots$，仍是无理数；
• 如果 $r$ 和 $s$ 是有理数，$r\neq 0$，且 $a$ 是无理数，那么 $ra+s$ 必是无理数：

  证明：用反证法。若 $ra+s$ 是有理数，令 $ra+s=q$，则 $q-s$ 是有理数，$a=\frac1r(q-s)$ 也是有理数，与条件相悖。

• 若 $a$ 是无理数，$k$ 是正整数，则 $\sqrt[k]{a}$ 是无理数。

  证明，同理使用反证法，$\sqrt[k]{a}=q$ 是有理数，则 $a = q^k$

• $a$ 是无理数，$\frac1a$ 也是无理数

  证明，使用反证法。$\frac1a=q$，$a=\frac1q$ ;

• 两个无理数相加（差、积、商），可就不一定是无理数了，$3+\sqrt2$ 与 $3-\sqrt2$
• 若 $a,b$ 是正的有理数，$\sqrt a$ ，$\sqrt b$ 是无理数，则 $\sqrt a+\sqrt b$ 也是无理数。如果 $\sqrt a\neq \sqrt b$，$\sqrt a-\sqrt b$ 也是无理数。

  $\sqrt a\pm \sqrt b=q$ ⇒ $\sqrt a=\frac{b-a-q^2}{2q}$