一阶导数概念

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定义

一般定义

设有定义域和取值都在实数域中的函数y=f(x)。若f(x) 在点

的某个邻域内有定义，则当自变量x在x0处取得增量

（点

仍在该邻域内）时，相应地y取得增量

；如果

与

之比当

时的极限存在，则称函数y=f(x) 在点

处可导，并称这个极限为函数 y=f(x)在点

处的导数，记为

，即： [3] 

对于一般的函数，如果不使用增量的概念，函数f(x)在点x0处的导数也可以定义为：当定义域内的变量x趋近于x0 时，也可记作

或者

的极限。也就是说，

几何意义

当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。如右图所示，设P0为曲线上的一个定点，P为曲线上的一个动点。当P沿曲线逐渐趋向于点P0时，并且割线PP0的极限位置P0T存在，则称P0T为曲线在P0处的切线。[1] 

若曲线为一函数y=f(x)的图像，那么割线PP0的斜率为：

当P0处的切线P0T，即PP0的极限位置存在时，此时

，则P0T的斜率

为：

上式与一般定义中的导数定义完全相同，也就是说

，因此，导数的几何意义即曲线y=f(x)在点

处切线的斜率。

图1.几何意义

性质

单调性

一阶导数表示的是函数的变化率，最直观的表现就在于函数的单调性

图2.单调性

定理：设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶导数，那么：

（1）若在(a,b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递增；

（2）若在(a,b)内f’(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递减；

（3）若在(a,b)内f'(x)=0,则f(x)在[a,b]上的图形是平行（或重合）于x轴的直线，即在[a,b]上为常数。 [3] 

在右图可以直观的看出：函数的导数就是一点上的切线的斜率。当函数单调递增时，斜率为正，函数单调递减时，斜率为负。

导数与微分

微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分dx，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。 [3] 

可导的条件

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在实数域上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件。首先，要使函数f在一点可导，那么函数一定要在这一点处连续。换言之，函数若在某点可导，则必然在该点处连续。

可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。

例子

欲求函数

在x=3处的导数。可以先求出其导函数：

其中第二项使用了复合函数的求导法则，而第三项则使用了乘积的求导法则。求出导函数后，再将x=3代入，得到导数为：