非线性方程解法

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          背景：一般线性方程如,给出某个便可得到某个·确定的数值,给出某个也可轻松得到，但是对于非线性方程来说则较为麻烦。（线性方程就是最高次数为1的方程，图像是一条直线一样，非线性就是曲线，最高次数大于1）

         如,给出,想求出就比较麻烦了。但我们有计算机，可以借助计算机来求解。

定理1：根的存在性定理：若函数在区间上连续，且异号(一正一负），则存在一个,.

   方法1：以为例，若,即求的解。

  调整一下方程，即求的解，设,也就说我们要求的解。

 简单带入,那么根据定理，在区间上，就有一个点可以使得,这个点也就是我们要求的点。

  首先我们可以遍历区间中的所有数，试一下看看哪个数可以达到我们的要求。(假设取三位有效小数，误差小于0.003）,

伪代码：for(t=1; 0.003″>;t++);

找到合适的t,满足即可，那么这个就是我们要找的解。

方法2；二分法：相当于方法1，若这个解在比较后的位置，那么需要运算的步骤会比较多，所以可用二分法来查找这个解。

二分法简要叙述：例题还是如上，我们要找在1到2之间的那个答案，那我们算一下发现，而,那么异号，1.5和2之间有我们需要的解，那我们可以在1.5到2之间去找了，继续下来，1.5和2的中间是1.75，算一下发现,那么解又可以确定在1.5到1.75之间，一直这样进行下去，就可以找到某个点m,满足,那这里m就是我们要找的点。

伪代码：

a=1,b=2,m=(a+b)/2

while(0.003″>)

{ if(  f(m)<0 )  a=m;

else b=m;      //f(m)<0说明和区间左边值是同号，那么变为新的区间的左边，否则 f(m)>0,那么说明和右边同号，m变为新的右边，，，没有等于0的情况，等于0已经在判断时结束了。

m=(a+b)/2;}

            后续未完，敬请期待，如有错误，烦请指教。

定义1：若数列有极限，收敛于a,则对任意的0″>,存在,使得当N”>时，有

（简单来说就是n非常大的时候，和a非常接近，几乎相等，那么和a也非常接近，几乎相等,那么和也非常接近，几乎相等）

  方法3：迭代法：假设有个方程需要我们求解,若我们把它变成数列的递推公式，变成,那我们由此就可以得到一个数列,如果这个数列收敛于某个数a,那么和就会接近于a,那么有就相当于有成立，那么这个a就是我们方程的解。

    所以我们要求出方程的解就是求a,而a是数列的极限，那我们就变成要求数列的极限，而求数列的极限， 我们这里用我们刚才定义里面内容，n非常大时，和非常接近，且他们两个和a也非常接近。而我们是知道数列的递推公式是,那么我们就可以求出数列的每一项，直到当某两项非常接近的时候，我们就知道这两项应该就是我们要找的和,他们的值就是我们要找的极限。

同样的， 以为例，若,求,即求的解。即求的解。

          把方程变换为,那么,,那我们就有递推公式.

 由上面我们也知道这个解大概在1.5到1.75之间，那么我们迭代不妨从1.5开始.

伪代码：xn=1.5, xm=g(xn);

 while(  |xn-xm|>0.001 )

   {  xn=xm; xm=g(xn);}  //那么当xn和xm的差的绝对值小于0.001时，我们就可以认为这时候他两这个就是极限。（差值小于0.001只是本次举例，不代表实际要求，这时候取xn是极限或者xm是极限或者他们的平均是极限都可以，看情况决定）

   有人可能会把上述例题方程变换为,从而得到递推公式,这样去试发现似乎得不到我们想要的结果。那是因为我们是去求数列的极限，那前提数列就是数列要有极限，也就说我们的数列要收敛才会有极限，才能解出来。这就于我们构造这个递推公式相关了。

     那也就是说我们需要让递推公式推出的数列收敛才行。那什么样的递推公式才能让数列收敛呢？

    定理2：在区间上，满足以下两个条件：

      1,对任意的,有.

       2,存在一个正常数,使得对任意的

                      有

满足这样条件的,就能在区间上构造出收敛的数列。（在区间a到b是因为初始数据对递推也有影响，影响他的递推快慢，同时，递推数列性质在不满足条件的区间，性质就不一样了，数列就一定不收敛了。感兴趣更进一步可以自主学习数值分析内容，也可与博主交流，互相学习。）

  牛顿迭代法：由泰勒公式我们知道在某一个点展开,假设在这个点展开,可以得到. 若我们要求方程的解，就相当于我们要求的解。

整理式子可得  

那么我们可以得到递推公式,这就是牛顿递推公式，牛顿迭代法就是按照此公式来递推计算极限。

 后续未完，敬请期待，如有错误，烦请指教。