线性约束方程及求解

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线性约束方程

概述

定义线性约束方程

• 方程包含的项目数，N；
• 节点P，以及自由度i，相应地自由度上的数值为$u_i^P$;
• 系数$A_n$

线性约束方程的求解

解决多点约束问题可采用的方法

• 罚函数法
• 拉格朗日乘子法
• 从自由度消去法

从自由度消去方法的列式

将所有自由度分为主自由度$u_m$，从自由度$u_s$，单点约束自由度$u_d$，按照主自由度、从自由度和单点约束自由度顺序排序所有自由度。
计算模型自由度记为 u = { u m , u s , u d } u=\{u_m,u_s,u_d\} u={
um​,us​,ud​}
线性约束关系描述为
$$u_s=T_1{u}_m+T_2{u}_d$$
其中$T_1$，$T_2$分别描述从自由度和主自由度、从自由度和单点约束自由度之间的线性关系矩阵，即主从关系的矩阵。那么整体位移向量可以表示为：
$$u=\left\{\begin{array}{c}{u}_m\\ u_s\\ u_d\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{ccc}{I}_m& & 0\\ T_1& & T_2\\ 0& & I_d\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}{u}_m\\ u_d\end{array}\right\}=C\left\{\begin{array}{c}{u}_m\\ u_d\end{array}\right\}$$
代入$Ku=f$，左乘$\left\{\begin{array}{ccccc}{I}_m& & T_1^T& & 0\\ 0& & T_2^T& & I_d\end{array}\right\}$，得到
$$\left\{\begin{array}{ccccc}{I}_m& & T_1^T& & 0\\ 0& & T_2^T& & I_d\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{ccccc}{K}_{mm}& & K_{ms}& & K_{md}\\ K_{sm}& & K_{ss}& & K_{sd}\\ K_{dm}& & K_{ds}& & K_{dd}\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{ccc}{I}_m& & 0\\ T_1& & T_2\\ 0& & I_d\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}{u}_m\\ u_d\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{ccccc}{I}_m& & T_1^T& & 0\\ 0& & T_2^T& & I_d\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}{f}_m\\ f_s\\ f_d\end{array}\right\}$$
将此式展开，注意到 $u_d$ 的位移已经指定，只有关于 $u_m$ 的方程的是需要求解的，即：
$$(K_{mm}+K_{ms}{T}_1+T_1^T{K}_{sm}+T_1^T{K}_{ss}{T}_1)u_m=I_m{f}_m+T_1^T{f}_s-(K_{md}+K_{ms}{T}_2+T_2^T{K}_{sm}+T_1^T{K}_{ss}{T}_2)u_d$$

基于拉格朗日乘子法的列示

基于罚函数的列示