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2.1、概述
- 信号传输的实质：信息传输的过程就是信号变换和处理的过程。
- 如何观察信息传输过程中信号发生了什么变化？
一种方法是在时域 观察信号波形的变化，另一种方法是在频域观察信号频谱的变化。 - 最常见的基本信号：正弦信号。
2.2、正弦信号
- 正弦信号与余弦信号只是在相位上相差pi/2，因此都被统称为正弦信号。
2.2.1、正弦信号的波形
- 正弦信号
正弦信号的函数表达式为：s(t)=Asin(2πft+φ)，其中A是幅度，f是频率，φ是初相，如下图所示。
假设上图中的A=1，f=1Hz，φ=0，对应的正弦信号函数是s(t)=sin2πft，波形如下图所示。
- 余弦信号
余弦信号的函数为s(t)=Acos(2πft+φ)，其中A是幅度，f是频率，φ是初相，如下图所示。
假设上图中的A=1，f=1Hz，φ=0，则余弦函数为s(t)=cos2πft，波形如下图所示。
2.2.2、正弦信号的特性
- 正弦信号的积分特性
对一个正弦信号做积分，当积分区间取正弦信号周期的整数倍时， 积分结果为零。
假设正弦信号的函数是s(t)=Asin(2πf0t+φ)，那么下图中的在正弦函数周期内的积分是等于0的。
上图中的式子中n是整数，T0是正弦信号的周期。
根据积分的几何意义：信号波形与时间轴的积分区间部分围出一个 封闭图形，对信号求积分就是求这个封闭图形面积的代数和。上述结论 显然是成立的，由正弦信号的周期性和对称性直接就可以得到，如下图所示。
- 什么是基波，什么是谐波？
基波是指在复杂的周期性振荡中与该振荡最长周期相等的正弦波分量，相应于这个周期的频率称为基波频率。即一个正弦信号集合中频率最小的正弦信号集合称为基波。
频率等于基波频率的整数倍的正弦波分量称为谐波。 - 正弦信号的正交特性
假设正弦信号集合 {sin2πf0t，cos2πf0t，sin4πf0t，cos4πf0t，sin6πf0t， cos6πf0t，…}由基波{sin2πf0t，cos2πf0t}和二次谐波{sin4πf0t， cos4πf0t}等各次谐波组成。在这个正弦信号集合中：
任意2个正弦信号的乘积在基波周期内的积分结果都为0，如下图所示。
上图中的式子的证明非常简单，可以直接使用三角函数的积化和差公式进行证明。
任意1个正弦信号与自身的乘积在基波周期内的积分结果都为T0/2，如下图所示。
2.3、复指数信号
- 为什么复指数信号可以代替正弦信号作为基本信号？
使用正弦信号作为基本信号进行频谱分析时会涉及三角函数运算， 比较烦琐。欧拉发现欧拉公式之后，人们开始注意到复指数信号。复指数信号 作为基本信号进行频谱分析时使用复指数运算，比较简洁，很快取代了 正弦信号的基本信号地位。
2.3.1、欧拉公式
- 复数的三种表示方法和复数的部分运算的说明。
复数【z=x+iy】与有序实数对【(x, y)】一一对应，在平面上建立直角坐标系后，平面上的点也可以用有序实数对【(x, y)】来表示，所以一个以y为虚轴，x为实轴的直角坐标系可以用来表示一个复数z。这种用来表示复数的平面称为复平面，在复平面中，复数z也可以称为点z。在直角坐标系中使用z=x+iy来表示一个复数，称为复数的代数表示法，除此之外还有三角表示法和指数表示法，分别在如下进行介绍。
直角坐标系的复平面中，复数z与原点指向点z（z=x+iy）的向量一一对应，因此，复数z=x+iy也可以用向量oz来表示，如下图所示。
复数z的位置也可以用点z的极坐标r和θ来表示，当用向量oz表示复数z=x+iy时，向量oz的长度称为复数z的模或者绝对值，记做|z|或者r，即如下图中的等式。
在z≠0的情况下，以正实轴为始边，以表示点z（或者说是复数z）的向量oz为终边的角的弧度数θ称为z的辐角，记做【Arg z=θ】。
注意，任一非零复数z有无穷多个辐角，如果θ是其其中一个辐角，那么z的全部辐角为【Arg z = θ + 2kπ】
复数的三角不等式如下图。
上图中的z1和z2都是复数。
两个复数对应的直角坐标系上的两个点z1和z2的距离公式，如下图所示。
上图中的距离公式是在欧式空间（欧几里得距离）中得出的。
利用直角坐标系与极坐标系的关系，x=rcosθ，y=rsinθ，非零复数z可以表示成z=r ( cosθ + isinθ )，特别的，当点z的模为1时，即r=1，z=cosθ+isinθ为单位复数。这称为极坐标系下复数z的三角表示。
利用欧拉公式可以将指数与极坐标系下点z的三角表示进行联系，可以得到极坐标系下复数z的指数表示。如下图。
直角坐标系下复数z的代数表示、极坐标系下复数z的三角表示和极坐标系下复数z的指数表示可以相互转化。可以根据实际的问题选择合适的复数表示法进行计算。
复数的乘积和商，以极坐标系下的指数表示法进行说明，如下图。
上图中的【Arg(z1z2)】指的是复数z1和复数z2乘积之后的复数的辐角。对于上面的两个复数进行乘商运算的几何意义如下图所示。
上图中复数z1z2相较于复数z1逆时针旋转，那么复数z2的辐角为正，如果顺时针旋转z2的辐角为负。
复数的幂与方根，以极坐标系下的指数表示和三角表示来说明，如下图所示。
从上图中可以总结，复数z^n的模等于复数z模的n次方，复数z^n的辐角等于复数z的辐角的n倍。上图最后一个圈起来的等式是通过极坐标系下的三角表示和欧拉公式共同的得到的。复数的方根如下图所示。
上图的w0好像是写错了，感觉根号里面的e的指数应该没有【1/n】。上图是利用了极坐标系下复数的指数表示乘积的几何意义得到的结论，一个复数乘一个模为1的复数相当于是复数辐角的变化。图像如下所示。
上图中的w=e^(i*2kπ/n)。w的性质如下。
- 欧拉公式的几何意义
欧拉公式如下图所示。
cosθ + jsinθ是一个复数，实部为cosθ，虚部为sinθ，在复平 面上对应单位圆上的一个点（因为sin^2+cos^2=1，所以坐标为(cos, sin)对应的点是单位圆上的点）。根据欧拉公式，这个点可以用复指数e^jθ 表示，如下图所示。
- 欧拉公式的证明
下面利用泰勒级数展开对欧拉公式进行证明。
上图中函数【e^z】的泰勒级数是在0处进行展开的。
之后令z=jx，则可以变形出下图中的式子。
上图中的式子在变换过程中的最后两步要用到下图中的式子。
这样就证明完毕了。
2.3.2、如何理解复数
- 复数的几何意义
为了便于理解，通常用复平面上的向量来表示复数。复指数ejθ对应的向量：始端为原点，长度为1，辐角为θ，如下图所示。
引入向量之后，一个复数既可以用一个点的形式，即(x, y)的形式来表示，也可以用一个起始点是原点的向量来表示，复数与复指数e^jθ相乘就可以用向量旋转来理解，比如复数【z=r(cos φ+jsin φ)】，如果直接套用欧拉公式可得z=re^jφ，将复数z与复指数ejθ相乘可得：ze^jθ=re^jφ×e^jθ=re^j(φ+θ)，如下图所示。
从上图可以看出复数与复指数e^jθ相乘，相当于复数对应的向量旋转角度θ： θ>0逆时针旋转，θ<0顺时针旋转。 - 利用欧拉公式来说明虚数j的本质
在欧拉公式中，令θ=pi/2 ，得出下图中的式。
通过对上图中的式子化简可得下图中的式子。
于是可以通过上图中的式子知道复数与j相乘，就是与复指数e^jpi/2相乘，相当于复数对应的向量逆时针旋转90°。也就是说，复数与j相乘的过程，也就是向量所代表的复数旋转的过程，旋转如下图所示。
根据上图以及前面的分析可得：实数1对应的向量逆时针旋转90°，得到虚数j，即：1×j=j，虚数j对应的向量再逆时针旋转90°，得到实数-1，即： j×j=j2=-1。
2.3.3、如何理解复信号
- 复信号的函数表达式。
当θ以角速度ω0随时间变化时，复指数e^jθ就成了复指数信号。 复指数信号的表达式如下图。
上图中的A是幅度，ω0是角速度，φ是初相。 - 复信号的几何意义
假设，复平面上的一个长度为A的旋转向量，始端位于原点，从角度φ开 始，以角速度ω0围绕原点旋转，其末端在复平面上的轨迹就是复指数信号，其函数表达式为下图所示。
0时刻：复指数信号s(0)，对应的向量如下图所示。
t时刻：复指数信号s(t)，对应的向量如下图所示。
假定：A=1，ω0=2π，φ=0，则s(t)=e^j2πt，这个复指数信号随时间变化的轨迹如下图。
上图的这个复指数信号在复平面上的投影是个单位圆，如下图。
这个复指数信号在实轴（x轴）上的投影随时间变化的曲线，如下图所示。
这个复指数信号在虚轴（y轴）上的投影随时间变化的曲线，如下图所示。
- 复信号的实质
复信号的本质就是并行传输的2路实信号。之所以被称为复信 号，只是因为这个信号可以用复数来表示而已。
假定：x(t)和y(t)是并行传输的2路实信号。 这两路实信号用一个复信号来表示就是：f(t)=x(t)+jy(t)
需要注意的是：引入复信号只是为了便于描述和处理信号而已，实际通信系统中 都是并行传输2路实信号，并没有传输虚数j。
复信号传输的模型如下图所示。
2.3.4、复指数信号的特性
- 复指数信号的积分特性
对一个复指数信号做积分，当积分区间取复指数信号周期的整数倍时，积分结果为零。
假设复指数信号为下图中的表达式。
对上图中的式子在整个周期内做积分，过程如下图。
根据正弦信号的积分特性，上图中的式子的积分结果为0，即如下图所示。
其中上图中的n是整数，T0是复指数信号的周期，其值为2pi/w。 - 复指数信号的正交特性
假设复指数信号集合{e^jω0t，e^j2ω0t，e^j3ω0t，…}由基波e^jω0t和二次谐波 e^j2ω0t等各次谐波组成。
在这个复指数信号集合中任意1个复指数信号与另1个复指数信号共轭（共轭就是虚部取相反数）的乘积在基波周期内的积分结果都为0。如下图所示。
任意1个复指数信号与自身共轭的乘积在基波周期内的积分结 果都为T0。
上面两幅图中的式子的推导如下图所示。
2.4、信号的相和相位
2.4.1、概述
- 正弦波表达式的相和相位
正弦波的的表达式为【s(t)=Asin(2πft+φ)】，那么正弦波的初相为φ，在t时刻的相位是如下图所示的式子。
2.4.2、什么是Phase（大概了解即可）
- Phase在物理学中的第一个意思。
相，有规律的循环变化周期中的一个特定现象或状态。 - Phase在物理学中的第二个意思。
相位，从指定参考点开始测量的完整周期已经过去的部 分，通常用角表示，所以又被称为相角。
2.4.3、月亮的相和相位（大概了解即可）
- 月相的概述。
月相是天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼。月球绕地球运动，使太阳、地球、月球三者的相对位置在一个月中有规律 地周期变动，因此月相也就有了周期性的变化，月相如下图所示。
- 月亮的相位的概述
根据单词Phase的第二个物理解释可知相位是从指定参考点开始测量的完整周期已经过去的部分。月相周期为30天，特定位置月亮的相位可以用月历来表示。我国古 代把月亮称为太阴，因此月历又被称为阴历。阴历初一到三十的月相图如下图所示。
以阴历十五为例。月相为满月，刚好位于月相周期（30天）一半的位置，该月相对应的相位为阴历十五。
2.4.4、什么是相
- 正弦波的相的简述。
通信系统中使用“相”来描述正弦波的状态：随着时间的推移，正弦波的幅值从零变到最大值，从最大值变到零，又从零变 到负的最大值，从负的最大值变到零……不断循环，如下图所示。
上图中的正弦波在特定时刻所处的特定状态，例如：幅值是正的还是负的， 是在增大的过程中还是在减小的过程中，等等，就是正弦波在这一时刻的“相”。
以下图中A、B两点来进行举例说明。
上图中的A、B两点的状态是不同的A点幅值为正，B点幅值为负； A点处在增大过程中，B点处在减小过程中。因此，A点和B点对应的“相”是不同的。
2.4.5、什么是相位
- 正弦波相位的简述
正弦波的相位：是指对于一个正弦波，特定的时刻在它循环中的位置，比如波峰、波谷或它们之间的某点。相位通常用角表示，因此也称作相角。一 个循环是360°。
以下图中的正弦波为例，来说明正弦波在特定的时刻的相位。
从上图中的正弦波形可以看出，某时刻相位为90°就意味着该时刻正弦波处于波峰位置，270°就意味着处于波谷位置，450°就意味着处于波峰位置。 - 如何确定正弦波的零相位？
零相位的规定：起始点离t=0时刻最近的那个完整周期的起始点相位为零。 - 频率大于0的正弦波的零相位
频率大于0的正弦波的零相位如下图所示。
- 频率小于0的正弦波的零相位
频率小于0的正弦波的零相位如下图所示。
之所以正弦波的零相位要分频率大于0和频率小于0来进行区别是因为正弦函数不关于y轴对称，所以将频率大于0的正弦波图像与其绕y轴旋转180°之后的图像不是同一个图像，故零相位的分析要分开讨论，余弦函数是关于y轴对称的所以，余弦函数的零相位不管频率是正是负都是一样的。 - 余弦波的零相位。
余弦波的零相位如下图所示。
- 如何判断正相位和负相位
零相位点确定之后，波形上其他点的相位就确定了，相位的正负规定如下所述：
f>0：沿时间轴正方向，相位逐渐增大，即零相位点右侧波形上各点的相位为正，零相位点左侧波形上各点的相位为负，如下图所示。
f<0：沿时间轴正方向，相位逐渐减小，零相位点左侧波形上各点的相位为正，零相位点右侧波形上各点的相位为负，如下图所示。
- 相位的取值
相位的值取决于该点和零相位点之间的距离，距离为1个周期时，相位为360°；距离为n个周期时，相位为360n°；距离为1/2个周期时，相位为180°；距离为1/4个周期时，相位为90°。
比如，对于频率大于0的正弦波距离零相位点半个周期 的右侧那个点的相位是180°，距离零相位点半个周期的左侧那个点的相位是-180°。如下图所示。
再比如，对于频率小于0的正弦波距离零相位点半个周期 的右侧那个点的相位是-180°，距离零相位点半个周期的左侧那个点的 相位是180°，如下图所示。
- 什么是初始相位？
初始相位：初始相位就是指t=0时刻的相位。
由于选取零相位点时，选择了离t=0时刻最近的那个完整周期的起始点作为零相位点，因此t=0时刻的相位绝对值不会大于180°，即：|φ|≤180°。如下图所示的频率大于0的正弦波的初始相位。
上图中的正弦波的初始相位是45°。
再如下图中的频率小于0的正弦波初始相位。
上图中的正弦波的初始相位是135°。 - 利用旋转向量来理解相位
假设，正弦波的函数为【s(t)=Asin(2πft+φ)】，可以将该正弦波看成是一个长度为A、角速度为ω=2πf、围绕原点旋 转的向量在虚轴上的投影。
正弦波的相位和初相可以分为以下四种情况。
第一种，频率大于零且初相大于等于零的正弦波，如下图所示。
上图中的正弦波ω>0，旋转向量逆时针旋转。 在0时刻，旋转向量所在位置如上图虚线向量所示，φ就是其初相【0≤φ≤π】。在t0时刻，旋转向量所在位置如上图实线向量所示，ωt0+φ就是t0时刻的相位。
第二种，频率大于零且初相小于零的正弦波，如下图所示。
上图中的正弦波ω>0，旋转向量逆时针旋转。在0时刻，旋转向量所在位置如上图虚线向量所示，φ就是初相【- π<φ<0】。 在t0时刻，旋转向量所在位置如上图实线向量所示，ωt0+φ就是t0时刻的相位。
第三种，频率小于零且初相大于等于零的正弦波，图像如下图所示。
上图中的正弦波ω<0，旋转向量顺时针旋转。 0时刻，旋转向量所在位置如虚线向量所示，φ就是初相【0≤φ≤π】。 t0时刻，旋转向量所在位置如实线向量所示，ωt0+φ就是t0时刻的相位。
第四种，频率小于零且初相小于零的正弦波，如下图所示。
上图中的正弦波ω<0，旋转向量顺时针旋转。 0时刻，旋转向量所在位置如虚线向量所示，φ就是初相【- π<φ<0】。 t0时刻，旋转向量所在位置如实线向量所示，ωt0+φ就是t0时刻的相位。
2.4.6、什么是相位差
- 相位差的定义：两个同频信号的相位之差就是相位差。
注意：当我们说相位差的时候，已经隐含了两个信号频率相同的意思。
假设两个同频信号的函数表达式分别为：
s1(t)=A1sin(2πft+φ1)
s2(t)=A2sin(2πft+φ2)
那么他们的相位差就是：∆φ=(2πft+φ1)-(2πft+φ2)=φ1-φ2。也就是说，两个同频信号的相位差就等于初相之差，如下图所示。
- 以三相交流电为例，说明正弦波的相位差，如下图所示。
上图中的实线波形、虚线波形和点划线波形都是频率为正的正弦波，虚线波形的初相为2π/3，实线波形初相为0，点划线波形初相 为-2π/3。虚线波形和实线波形的相位差为：2π/3-0=2π/3。 实线波形和点划线波形的相位差为：0-(-2π/3)=2π/3。 虚线波形和点划线波形的相位差为：2π/3-(-2π/3)=4π/3。 - 相位差为0的两个同频信号
当两个同频信号之间的相位差为0时，这两个信号对应的旋转向量每时每刻方向都相同，同相信号对应的旋转向量如下图所示。
上图中的两个信号每时每刻的“相”都相同，因此我们称 这两个信号“同相”，两个同相信号的波形如下图所示。
所谓“相”相同，就是指任意时刻两个信号的状态都是相同的：一个取值为正，另一个取值也为正；一个取值为负，另一个取 值也为负。一个处在增大过程中，另一个也处在增大过程中；一个处在减 小过程中，另一个也处在减小过程中。 - 相位差为±π的两个同频信号
当两个信号之间的相位差为±π时，这两个信号对应的旋转向量每 时每刻方向都相反，反相信号对应的旋转向量如下图所示。
上图中的两个同频信号每时每刻的“相”都相反，因此我们称 这两个信号“反相”，信号波形如下图所示。
而所谓“相”相反，就是指任意时刻两个信号的状态都是相反的：一个取值为正，另一个取值必为负；一个取值为负，另一个取值必为正。一个处在增大过程中，另一个必处在减小过程中；一个处在减 小过程中，另一个必处在增大过程中。 - 相位差为±π/2的两个同频信号
当两个信号之间的相位差为±π/2时，对应的两个旋转向量每时每 刻方向都垂直，因此我们称这两个信号“正交”，对应的旋转向量如下图所示。
上图中的两个信号对应的波形如下图所示。
从上图的波形可以看出正交信号波形具有如下规律：当一个取值达到正的最大值或负的最大值时，另一个取值必为零。 - 相位差绝对值小于π的两个同频信号
若两个同频信号相位差绝对值小于π，旋转向量如下图所示。
上图中是两个同频信号对应的旋转向量在0时刻的位置，信号S1超前信号S2，或者说是信号S2滞后信号S1，这两个信号对应的波形如下图所示。
- 相位差绝对值大于π的两个同频信号
若两个同频信号相位差绝对值大于π，旋转向量如下图所示。
上图中是两个同频信号对应的旋转向量在0时刻的位置，信号S2超前信号S1，或者说是信号S1滞后信号S2，这两个信号对应的波形如下图所示。
总结：从复平面的旋转向量的角度看两个同频向量，不管这两个向量的相位差是大于pi还是小于pi，先找到两个向量夹角小于pi的那个扇区，位于扇区左边的向量超前于位于扇区右边的向量。
2.4.7、波的干涉
- 波的干涉的概述
假设位于A点和B点的波源同时发出同频同相的正弦波：s(t)=Asin(2πft+φ)，如下图所示。
由于各个位置的点到两个波源的距离不同，接收到的来自两个波源 的信号存在相位差。上图中的P点到A点的距离为d1，到B点的距离为d2。P点接收到的来自2个波源的信号如下图中的式子。
上图中的【d/λ】表示，长度为d的距离可以容纳多少个波长为λ的正弦波，之后在乘以【2pi】表示波传播过程会经过多少个周期。于是可以求出两个同频信号的相位差为下图中的式子。
根据上图中的式子，可以改写两个同频信号到达P点的函数表达式为：
s1(t)=A1sin(2πft+φ1)
s2(t)=A2sin(2πft+φ1+∆φ)
从上图中的式子可以看出两个到达P点的信号具有恒定的相位差，如下图所示。
将两个到达P点的正弦波进行叠加形成的合成向量如下图所示。
根据上面相位差的式子所示，合成向量的长度与P点到两个波源的距离差和信号频率（也可以说和信号的波长有关）有关。因此对于不同的位置，合成信号的幅度各不相同，在某些位置合成信号幅度大，在另一些位置合成信号幅度小甚至幅度为0，而且合成信号幅度大 的区域和幅度小的区域相互隔开，这种现象称为波的干涉，如下图所示。
- 什么是相干波？
相干波定义：产生相干现象（即相互干涉的现象）的波叫相干波。
波相干的条件：频率相同，相位差恒定，振动方向相同。 - 相长干涉
假设，P1点到A点的距离：d1=8λ，到B点的距 离：d2=6λ，如下图所示。
上图中从A，B点发出同频同相的两个正弦波到达P1点时，刚好同相，正弦函数分别如下图所示：
那么P1点的正弦波由上图中的两个式子进行叠加，波形函数为：s(t)=s1(t)+s2(t)=(A1+A2)sin(2πft+φ)。正弦波的幅度是来自两个波源的正弦波的幅度之和。接收到的两个波源信号正好同相，合成信号幅度等于二者幅度之 和，这种情况被称为相长干涉。 - 相消干涉
假设P2点到A点的距离：d1=6.5λ，到B点的距 离：d2=2λ，如下图所示。
上图中从A，B点发出同频同相的两个正弦波到达P1点时，刚好反相，正弦函数分别如下图所示：
那么P1点的正弦波由上图中的两个式子进行叠加，波形函数为：s(t)=s1(t)+s2(t)=(A2-A1)sin(2πft+φ)，正弦波的幅度是来自2个波源的正弦波的幅度之差。 接收到的两个波源信号正好反相，合成信号幅度等于二者幅度之差，这种情况被称为相消干涉。
2.5、信号的分解与合成
2.5.1、正弦信号作为基本信号
- 使用一系列正弦信号合成方波信号。
假设，待合成的方波信号周期为1s，如下图所示。
用来合成的第一种波：如果要合成上图中的方波信号，首先需要一个幅度为0.5的直流信号，如下图所示。
用来合成的第二种波：1个幅度为0.637、频率为1Hz的余弦信号，如下图所示。
将上图中的余弦信号与之前的波进行合成，可以得到如下图所示的余弦波。
用来合成的第三种波：叠加一个幅度为-0.212、频率为3Hz的余弦信号，如下图所示。
将上图中的余弦信号与之前的波进行合成，可以得到如下图所示的余弦波。
可以发现将前三种信号进行叠加所得到的信号已经有点儿方了。
用来合成的第四种波：叠加一个幅度为0.127、频率为5Hz的余弦信号，如下图所示。
将上图中的余弦信号与之前的波进行合成，可以得到如下图所示的余弦波。
相较于之前的叠加信号，上图中的信号更加的贴近于方波。
总结：随着叠加的信号的增加，合成的波会越来越接近于我们所需要的方波。
2.5.2、复指数信号作为基本信号
- 使用一系列复指数信号合成方波
用来合成的第一种波： 幅度为0.5的直流信号，如下图所示。
用来合成的第二种波和第三种波： 叠加一个幅度为0.318、频率为1Hz的复指数信号，如下图所示。
幅度为0.318、频率为-1Hz的复指数信号，如下图所示。
将两个幅度为0.318的复指数信号进行合成，可以得到如下图所示的信号。
之后再将上图中的信号与前面已经进行合成的信号进行合成，可以得到下图中的信号。
用来合成的第四种波和第五种波： 叠加一个幅度为-0.106、频率为3Hz的复指数信号，如下图所示。
之后再叠加一个幅度为-0.106、频率为-3Hz的复指数信号，如下图所示。
将两个幅度为-0.106的复指数信号合成结果如下图所示。
再将上图中的信号与之前已经合成的信号进行叠加，合成的新信号如下图所示。
用来合成的第六种波和第七种波： 叠加一个幅度为0.063、频率为5Hz的复指数信号，如下图所示。
之后再叠加一个幅度为0.063、频率为-5Hz的复指数信号，如下图所示。
将上面两个幅度为0.063的复指数信号进行合成可以得到下图中的图形。
之后再将上图中的合成信号与之前已经进行合成的信号进行合成，可以得到下图中的信号。
总结：可以想象，随着叠加的复指数信号越来越多，波形越来越逼近一个 方波，这从一个侧面说明：可以将方波信号分解成一个直流分量和一系 列复指数信号分量之和。
2.6、周期信号的傅里叶级数展开
2.6.1、傅里叶级数展开的定义
- 关于傅里叶级数的解释说明。
首先来谈谈三角级数。三角级数的表达式如下图所示。
上图中三角级数的和函数的近似逼近的函数【f(x)】是一个周期为2π的周期函数。三角级数的收敛域为[-π, π]。
关于三角级数的正交特性的说明与系数公式推导如下图。
上面三个式子的推导需要用到积化和差公式的变换。
上图中的a0、an和bn的推导如下图所示。
以上推导都需要用到三角函数的正交特性。
傅里叶级系数与傅里叶级数的概念。
函数【f(x)】是偶函数bk等于0。函数【f(x)】是奇函数ak等于0。
傅里叶级数由三角形式转变为复指数形式。变换过程如下图所示如下图所示。
上图中F(nw1)、F(nw1)和F(0)是可以合并的，n从1到正无穷上的F(nw1)的表达式和n从正无穷到-1上的F(-nw1)的表达式是一样的，所以当n等于0时，两者也都相等，因此可以直接合并就得到了傅里叶级数的指数形式的式子。 - 傅里叶级数展开的定义。
将一个周期信号分解为一个直流分量和一系列复指数信号分量之和 的过程被称为傅里叶级数展开。周期信号f(t)的傅里叶级数展开式为下图中的式子。
其中，ω0：2pi/T，周期T确定了ω0就确定了。 ck：就是傅里叶系数，c0是直流分量。
2.6.2、傅里叶级数展开的几何意义
- 傅里叶级数从几何的角度分析其本质是什么？
傅里叶级数展开的本质就是用一系列角速度为ω=kω0的旋转向量【ck*e^(jkω0t)】来合成周期信号。旋转向量在t=0时刻对应的向量就是傅里叶系数ck，如下图所示。
上图中的ck通常是一个复数。
2.6.3、傅里叶系数计算公式
- 傅里叶系数ck的计算公式
ck的计算公式推导公式如下所示。
（1）将傅里叶级数展开式中k=m那一项单独列出来，如下图：
（2）两端乘以 【e^(-jmw0t)】：
（3）在基波周期内对两端进行积分： 可得下图中的式子：
根据复指数信号的正交性，上式中求和项的积分为0，因此可得下图中的式子：
（4）求出cm： 如下图所示。
将上图中的m更换为k，即得傅里叶系数的计算公式。
2.6.4、方波信号的傅里叶系数
- 求方波信号的傅里叶系数
方波信号x(t)的波形如下图所示
上图中的方波周期为T，幅度为1，脉宽为 τ。对方波来讲，占空比为1/2，因此：T=2τ。
第一步，先求c0
这说明幅度为1的方波信号的直流分量为0.5。
第二步，求ck
由：ω0=2π/T，得：ω0T=2π，又因为：T=2τ，所以：ω02τ=2π，得到：ω0τ=π，并将【ω0τ=π】带入到上式中的结果中，可以得出下图中的式子。
- 关于sinc函数的说明
sinc函数的定义如下图所示：
sin(πx)是个等幅振荡信号，sin(πx)/πx是个振荡衰减信号，图像如下图所示。
因为：sin(πx)在x=±1，±2，±3…时的值为0，所以：
sinc(x)=0（当x=±1，±2，±3…时）
因为：当x→0时，sin(πx)→πx，sinc(x)→1 所以：
sinc(x)=1（当x=0时）
2.6.5、周期矩形信号的傅里叶系数
- 求周期矩形信号的傅里叶系数
方波信号是周期矩形信号的一个特例，方波信号属于周期矩形信号。根据之前的推导，方波信号的傅里叶系数表达式如下图所示。
其中上图中的τ表示脉冲的宽度， 用T表示脉冲的周期。可以发现将上图中的式子进行一定的变形就可以推广到幅度为1、脉宽为τ、周期为T的周期矩形信号。由ω0=2π/T，可得ω0T=2π，假定周期矩形信号的占空比为1/n，即：T=nτ，所以：ω0nτ=2π，得到： ω0τ=2π/n，代入上面的傅里叶系数表达式，得下图所示的式子。
上图中式子最后的结果就是幅度为1、脉宽为τ、占空比为1/n的周期矩形信号的傅里叶系数，从上图中式子可以发现幅度为1的周期矩形信号的傅里叶系数只与占空比有关，当占空比为1/2，也就是n=2时，代入得到的就是幅度为1的方波信号的傅里叶系数。
2.7、周期信号的离散谱
2.7.1、两类频谱
- 关于三维频谱的说明。
三维频谱是以频率为横轴，将所有ck画到ω=kω0处与横轴垂直的复平面上，就得到了三维频谱，如下图所示。
上图中的横轴ω是角频率。xoy平面是复平面。
周期为1s的方波信号的三维频谱图如下图所示。
上图中的ck是一个复数，是根据下图中的式子进行计算的。横轴的单位既可以是角频率也可以是频率。
虽然三维频谱非常直观，但绘制起来不方便，很多书中都是使用幅度频 谱和相位频谱来进行频谱分析。 - 用幅度频谱来描述周期信号的傅里叶系数ck
以频率为横轴，以幅度为纵轴，将所有ck的幅度（也就是模）画到 一张图中，这就是幅度谱。
比如周期为1s的方波信号幅度谱如下图。
- 用相位频谱来描述周期信号的傅里叶系数ck
以频率为横轴，以初相为纵轴，将所有ck的初相画到一张图中，这 就是相位谱。
比如周期为1s的方波信号相位谱如下图所示。
上图中的相位谱可以通过三维频谱图来进行理解，如下图。
从上图可以看出，当频率等于1的时候，ck处于实轴正方向，对应的的初相等于0，当频率等于3的时候，ck处于实轴负方向，对应的的初相等于pi。
2.7.2、常用周期信号的频谱（离散谱）
- 余弦信号的频谱分析
余弦信号可以用复指数信号进行表示，假设要讨论的余弦信号为下图所示。
那么上图中的余弦信号的三维频谱（离散谱）如下图所示。
余弦信号的幅度谱（离散谱）如下图所示。
余弦信号的相位谱如下图所示。
- 正弦信号的频谱分析
正弦信号可以用复指数信号进行表示，假设要讨论的正弦信号为下图所示。
上图中的正弦函数的三维频谱图如下图所示。
上图中的正弦函数的幅度谱如下图所示。
上图中的正弦函数的相位谱如下图所示。
- 方波信号的频谱分析
周期为1s，周期T=1，脉冲宽度τ=0.5，占空比1/n=τ/T=1/2的方波信号如下图所示。
根据下图中周期矩形信号傅里叶系数表达式。
因为方波信号占空比为【1/n=τ/T=1/2】，将n=2带入到上图中的式子中去可得下图。
以频率为横轴，傅里叶系数ck为纵轴，画出其三维频谱，如下图所示。
上图的横轴的单位可以是ω0或者f0，也就是说坐标轴上的k对应的频率为kω0，k和 k+1对应的频率间隔为基波频率ω0。换句话说，谱线之间的频率间隔就是基波频率。其中【ω0=2pi/T】，T是周期信号的周期，只有在ck为实数的时候才能够省略虚轴。仔细观察可以发现：对于幅度为1、周期为1s的方波信号，其离散 谱就是对 的采样，采样间隔为f0。 - 周期矩形信号的频谱分析
一般周期矩形信号的傅里叶系数如下图所示。
将上图中的式子根据占空比进行变形可得下图。
分析上图的式子可以发现幅度为1、脉宽为τ、占空比为1/n的周期矩形信号的离散谱就是对上式的采样，采样间隔为f0。
接下来分析不同占空比的周期矩形信号的离散谱。
占空比为1/4的周期矩形信号分析如下。
假设周期矩形信号周期：T=2，脉冲宽度：τ=0.5，占空比：1/n=τ/T=1/4，根据周期矩形信号傅里叶系数表达式，将【n=4】代入，可以得出下图所示的式子。
上式对应的图像如下图所示。
对应的三维频谱如下图所示。
由于周期增大一倍，基波频率减小一半，谱线间隔也随之减小一 半。
占空比为1/8的周期矩形信号分析如下。
保持脉宽不变，周期相对于占空比为1/4的周期矩形信号再增大一倍，得到占空比为1/8的周期矩形信 号，其周期T=4，脉冲宽度τ=0.5，占空比1/n=τ/T=1/8如下图所示。
上图周期矩形波对应的傅里叶系数表达式如下图所示。
对应的三维频谱图如下所示。
由于周期又增大一倍，基波频率又减小一半，谱线间隔也随之减小 一半。
将不同占空比的周期矩形信号频谱进行集中对比
占空比分别为【1/2】、【1/4】和【1/8】的周期矩形信号的波形如下图所示。
上图中的三种周期矩形波对应的三维频谱图如下图所示。
周期每扩大一倍，谱线的数量也扩大一倍，谱线间隔和谱 线长度都会减小一半。随着周期的不断增大，谱线间隔越来越小，谱线 长度也越来越短。虽然三个频谱图横轴的刻度不同，但是坐标轴相同位置对应的 频率是相同的。
2.8、非周期信号的连续谱
2.8.1、非周期矩形脉冲信号的离散谱（随便看一看就行）
- 关于非周期矩形脉冲信号的离散谱说明
对于周期矩形信号，保持脉宽τ不变，当周期T趋于无穷大时，周期矩形信号将变成非周期矩形脉冲信号，即非周期矩形脉冲信号可以看成是周期矩形信号的周期趋于无穷大得到的，波形如下图所示。
根据周期矩形信号傅里叶系数表达式，T趋于无穷大时，n也趋于无穷大，因此频谱的谱线间隔和长度都将趋近于零，波形如下图所示。
由于频谱的谱线间隔和长度都将趋近于零，所以这给非周期信号的频谱分析带来了很大麻烦。所以非周期信号不用离散谱来进行研究，而是用连续谱来研究。
2.8.2、非周期矩形脉冲信号的连续谱
- 关于非周期矩形脉冲信号的连续谱说明
对于周期矩形信号来讲，谱线的长度等于ck，谱线的间隔等于基波 频率f0，二者的商就等于：ck/f0。如果以kf0~(k+1)f0为底边，画一个宽 为f0、面积为ck的矩形，ck/f0就是该矩形的高，如下图所示。
如果把周期矩形信号所有的ck都用矩形面积表示出来，并将所有矩形顶端连接起来，将得到一条阶梯状折线，在画阶梯折线图之前，先推导一下ck/f0的表达式。
之前推到过，周期矩形信号的傅里叶系数表达式为下图中的式子。
由上图的周期矩形信号的傅里叶系数表达式的等式两边同时除以f0，即可得出下图【ck/f0】的表达式。
将式子【n=1/τf0】带入上图中的式子中可以得到如下图。
从上图的式子可以看出ck/f0的取值就是对τ sinc(τf)的平顶采样，采样间隔 为f0。将幅度为1、脉宽τ=0.5、周期分别为1、2、4的周期矩形信号的 ck/f0阶梯状折线和离散谱画在一起，如下图所示。
很明显，随着周期的增大，阶梯状折线逐渐逼近τ sinc(τf)这条 曲线。可以想象：当T→∞时，周期矩形信号演变为非周期矩形脉冲信 号，二者将完全重合。由此引出定义：幅度为1、脉宽为τ的非周期矩形脉冲信号的连续频谱 是：X(f)=τ sinc(τf)。
举例，幅度为1、脉宽τ=0.5的非周期矩形脉冲信号的连续谱如下图所示。
2.9、傅里叶变换
2.9.1、傅里叶正变换
- 一般非周期信号函数连续谱的推导过程说明。
推导一般非周期信号的过程示意图如下图的所示。
总的来说：
第一步，将非周期信号【x(t)】按照周期【T】进行延拓，从而将其变为周期信号【xT(t)】。
第二步，求出周期信号【xT(t)】的傅里叶系数ck，式子如下图所示。
将T=1/f0，ω0=2πf0代入上图中的式子可得下图。
第三步，求出【ck/f0】：
第四步，令周期T趋向于无穷，ck/f0演变为X(f)，xT(t)演变 为x(t)，kf0演变为f，即可得到非周期信号的连续谱【x(f)】了。如下图所示。
上图中的式子就是傅立叶正变换。
2.9.2、傅里叶逆变换
- 关于傅里叶逆变换的说明
傅里叶逆变换就是将连续谱【X(f)】，还原成非周期信号【x(t)】。具体过程如下图所示。
第一步，根据连续谱X(f)的含义，只要以f0为间隔对X(f)进行采样， 采样结果乘以f0，即可得到一个周期信号的傅里叶系数ck，该周期信号的周期T=1/f0，求得的ck的式子为【ck=f0X(kf0)】。
第二步，已知ck，利用傅里叶级数展开式，就可以求得周期信号 xT(t)，如下图中的式子。
将ck=f0X(kf0)代入上图中的式子可得下式：
第三步，令周期T趋于无穷大，即可得到非周期信号x(t)。 T趋于无穷大，也就意味着f0趋于0，kf0趋于f，可得下式。
整理一下，傅里叶逆变换的公式如下图。
2.9.3、傅里叶变换
- 什么是傅里叶变换？
将傅立叶正变换和傅里叶逆变换统称为傅里叶变换。
傅立叶正变换为下图的式子。
傅里叶逆变换为下图中的式子。
上面的傅里叶变换是使用频率f的表达式，也可以改写成使用角频率w0的表达式。
傅立叶正变换使用角频率的表达式如下图的式子。
2.9.4、非周期信号的傅里叶变换
- 矩形脉冲信号的傅里叶变换。
矩形脉冲信号的傅里叶变换是sinc函数。
假设矩形脉冲幅度为1、脉冲宽度为τ，其对应的脉冲波形及其傅里叶变换如下图所示。
上图左边的波形纵轴是x(t)，上图右边的波形纵轴是X(f)。 - sinc脉冲信号的傅里叶变换
sinc脉冲信号τsinc(τt)的傅里叶变换是矩形函数，如下图所示。
上左图是时域下的图，上右图是频域下的图。 - 单位冲激信号
什么是单位冲激信号？
一个矩形脉冲，持续时长为Δ，幅度为1/Δ，面积为1。当Δ趋于0时，矩形脉冲将演变为一个单位冲激信号δ(t)，如下图所示。
单位冲激信号满足如下图中的两个条件：
从上面的定义可以看出，单位冲激信号有下图3个特点：
单位冲激信号除了可以由矩形脉冲信号演变而来，也可以由其他 脉冲信号演变而来，例如sinc脉冲信号τsinc(τt)，如下图所示。
下面来讨论单位冲激信号的傅里叶变换。
之前介绍了sinc脉冲信号τsinc(τt)的傅里叶变换，只要令脉冲幅度τ趋于无穷大，就可以得到单位冲激信号的傅里叶变换。当τ趋于无穷大时，幅度为τ的sinc脉冲信号将演变成单位冲激信号，如下图所示。
其频谱（即傅里叶变换）将演变成一个常数，如下图所示。
有上两图就可以得出单位冲激信号及其傅里叶变换，如下图所示。
总结：单位冲激信号的傅里叶变换为下图的式子。
单位冲激信号的傅里叶变换公式推导如下（看看就行）：
将x(t)=δ(t)代入傅里叶变换公式，如下图：
根据单位冲激函数的定义，只有t=0时，δ(t)才不为0，而t=0时，e^(−j2πft)=e^0=1，代入上式后得到下图：
2.9.5、周期信号的傅里叶变换
- 为什么要引入周期信号的傅里叶变换？
之前在讨论傅里叶级数的时候曾分析到，周期信号的频谱是离散谱，而非周期信号的频谱是连续谱，为了能够统一的处理这两类信号，就需要使用傅里叶变换将两者都转换为连续谱来分析。 - 直流信号的傅里叶变换
前面介绍了矩形脉冲信号的傅里叶变换，只要令脉宽τ趋于无穷 大，就可以得到直流信号的傅里叶变换。
假设矩形脉冲信号幅度为1、脉宽为τ，当τ趋于无穷大时，将演变成直流信号1，如下图所示。
其傅里叶变换X(f)=τ sinc(τf)将演变为一个单位冲激函数： δ(f)，图像如下图。
从而可以总结直流信号及其傅里叶变换如下图所示。
在此省略直流信号的傅里叶变换的推导，直接给出直流信号的傅里叶变换如下图所示。
上图是直流信号幅度为1的情况，如果直流信号幅度为a，那么冲激函数在区间负无穷到正无穷上的积分为a。 - 复指数信号的傅里叶变换
复指数信号e^(j2πf0t)的傅里叶变换是位于f=f0的单位冲激函数δ(f-f0)，如下图所示。
复指数信号的傅里叶变换如下图所示。
复指数傅里叶变换的推导过程如下。
首先，根据之前的讲解可知下图中的式子。
将f替换为f-f0，得下图。
从而可以得到复指数信号e^(j2πf0t)的傅里叶变换为下图所示：
- 余弦信号的傅里叶变换
假设余弦函数为【cos(2pif0t)】。由欧拉公式可以得出下式。
其中要注意，两个函数和的傅里叶变换等于两个函数傅里叶变换的和。于是余弦信号的傅里叶变换如下图所示。
上式对应的图像如下图所示。
- 正弦信号的傅里叶变换
假设正弦函数为【sin(2pif0t)】。由欧拉公式可以得出下式。
由上图中的式子可知，正弦函数的傅里叶变换如下图所示。
正弦信号及其傅里叶变换如下图所示。
- 一般周期信号的傅里叶变换
一般周期信号的傅里叶变换如下式所示。
从上图中可以看出周期信号的傅里叶变换是由一系列的冲激函数构成，这些冲激位 于信号的基波和各谐波频率处，冲激的强度是傅里叶系数ck。
推导如下所示。
根据傅里叶级数展开，周期信号可以分解为一系列复指数信号【e^(jk2pif0t)】之和，如下图。
根据傅里叶变换的定义（如下图）：
将x(t)的傅里叶级数带入上式，得（下图）：
上图中积分部分就是求复指数信号【e^(jk2pif0t)】傅里叶变换。复指数信号【e^(j2pif0t)】的傅里叶变换在前面介绍过，为下图所示：
用kf0替换f0，即可得到【e^(jk2pif0*t)】的傅里叶变换，如下图：
将上图复指数信号的傅里叶变换代回周期信号的傅里叶级数中，就可以得到下图中的周期信号的傅里叶变换了。
上式对应的图像如下图。
2.9.6、傅里叶变换的对称性
- 关于原来的函数与经过傅里叶变换之后的函数对称性的说明
如果函数x(t)的傅里叶变换是y(f)，则y(t)的傅里叶变换是x(- f)。换句话说就是，傅里叶变换满足如下图中的式子。
若：
则：
如果函数x(t)是个偶函数，其傅里叶变换是y(f)，则y(t)的傅里叶变换是x(f)。
举例，矩形脉冲信号的傅里叶变换是sinc脉冲信号，sinc脉冲信号的傅里叶变换是矩形脉冲信号。如下图所示。
2.9.7、延迟信号的傅里叶变换
- 关于傅里叶变换时移特性的说明
信号x(t-t0)由x(t)延迟t0时间得到。
若：
则：
也就是说：信号x(t)在时域中延迟t0等价于在频域中乘以因子【e^(-j2pif*t0)】。这就是傅里叶变换的时移特性。简单讲就是：时域延迟等价于频域旋转。如果f>0部分，顺时针旋转；f<0部分，逆时针旋转，旋转的角度大小为|2πft0|，与频率f成正比。 - 矩形脉冲延迟信号的傅里叶变换举例
矩形脉冲信号x(t)及其延迟信号x(t-t0)的波形如下图所示。
上图中的矩形信号脉冲宽度τ=1，时间延迟t0=0.1。
矩形脉冲信号x(t)的傅里叶变换为下图所示。
上式对应的频谱如下图所示。
矩形脉冲延迟信号x(t-t0)的傅里叶变换为下式：
上式对应的频谱如下图所示。
从上图可以看出正频率部分频谱发生了顺时针旋转（f>0，-2*pi*f*t0<0），负频率部分频谱发生 了逆时针旋转（f<0，-2*pi*f*t0>0），频率越高旋转的角度越大。注意sinc函数乘的复指数信号中的频率f与sinc函数中的频率f是同一个f，所以正频率部分的函数图像和负频率部分的函数图像旋转方向不同。
2.9.8、信号乘积的傅里叶变换
- 卷积的计算过程
多项式的计算过程一般都是通过先逐项相乘再合并同类项的方法得到的， 要得到结果多项式中的某个系数，需要两步操作才行，如下图所示。
卷积的计算过程：
反褶：一般多项式都是按x的降幂排列，这里将其中一个多项式的 各项按x的升幂排列。
平移：将按x的升幂排列的多项式每次向右平移一个项。
相乘：垂直对齐的项分别相乘。
求和：相乘的各结果相加。
反褶、平移、相乘、求和，这就是通信原理中卷积的计算过程。 - 2个周期信号的傅里叶系数与其乘积的傅里叶系数之间的关系是什么？
假定有2个周期信号：
f(t)=e^j2ωt+5e^jωt+6，其傅里叶系数为：[1,5,6]
g(t)=3e^jωt+2，其傅里叶系数为：[3,2]。
将这两个信号相乘可以得到：y(t)=f(t)g(t)=3e^j3ωt+17e^j2ωt+28e^jωt+12。
这个乘积信号的傅里叶系数不需要先在时域做相乘运算，再求傅里 叶系数，可以直接用2个周期信号的傅里叶系数的卷积计算出来：[3,17,28,12]=[1,5,6]*[3,2]，其中【*】表示卷积。
换句话说：对于两个周期信号，时域相乘相当于频域卷积。 - 离散序列的卷积
任意两个序列x[n]和y[n]的卷积为下图中的式子。
两个离散序列的卷积的计算过程举例如下：
假设两个序列x[n]和y[n]如下图所示。
反褶：对y[k]进行反褶得到y[-k]，这就是“卷积”中所谓 的“卷”。x[k]和y[-k]如下图所示。
平移0：n=0，y[-k]平移0得到y[0-k]，与x[k]相乘（k=0~n），再求和得到z[0]=x[0]y[0]，如下图所示。
平移1：n=1，y[-k]向右平移1得到y[1-k]，与x[k]相乘 （k=0~n），再求和得到z[1]=x[0]y[1]+x[1]y[0]，如下图所示。
平移2：n=2，y[-k]向右平移2得到y[2-k]，与x[k]相乘 （k=0~n），再求和得到z[2]=x[0]y[2]+x[1]y[1]+x[2]y[0]，如下图所示。
平移3：n=3，y[-k]向右平移3得到y[3-k]，与x[k]相乘 （k=0~n），再求和得到z[3]=x[0]y[3]+x[1]y[2]+x[2]y[1]+x[3]y[0]，如下图所示。
以此类推，中间过程略。
平移9：n=9，y[-k]向右平移9得到y[9-k]，与x[k]相乘 （k=0~n），再求和得到z[9]=x[0]y[9]+x[1]y[8]+x[2]y[7]+… +x[8]y[1]+x[9]y[0]，如下图所示。
至此我们得到了z[n]=x[n]*y[n]，如下图所示。
- 频域卷积定理
时域相乘相当于频域卷积，对两个频谱为连续谱的信号也是适用的，只是卷积要由两个离散序列的卷积改为两个连续函数的卷积。频域卷积定理可以用下面的式子进行表示。
- 连续函数的卷积。
为了便于区分，一般将两个离散序列的卷积称为“卷积和”，将两个连续函数的卷积称为“卷积积分”。卷积和的计算过程为：反褶—平移—相乘—求和。卷积积分的计算 过程与其类似：反褶—平移—相乘—积分，只是要将最后一步“求 和”改为“积分”。
任意两个连续函数X(f)和Y(f)的卷积如下图所示。
举例：下面以矩形函数和锯齿函数的卷积为例，看一下两个连续函数卷积积分的计算。
假设两个连续函数X(f)和Y(f)如下图所示。
上图中的函数对应的图像如下图所示。
那么待求的卷积积分如下图中的式子所示。
第一步：反褶，将Y(τ)反褶，得到Y(-τ)，如下图所示。
第二步：平移，将Y(-τ)平移f，得到Y(f-τ)。
下面挑几个典型的f取值画一下Y(f-τ)的图。
当f=0时，Y(f-τ)=Y(-τ)，如上图所示。
当f=1时，Y(-τ)从原来的位置向右平移1，得到Y(1-τ)，如下图所示。
当f=2时，Y(-τ)从原来的位置向右平移2，得到Y(2-τ)，如下图所示。
当f=3时，Y(-τ)从原来的位置向右平移3，得到Y(3-τ)，如下图所示。
当f=4时，Y(-τ)从原来的位置向右平移4，得到Y(4-τ)，如下图所示。
当f=5时，Y(-τ)从原来的位置向右平移5，得到Y(5-τ)，如下图所示。
第三步：相乘，X(τ)Y(f-τ)。在特定的几个f取值情况下，X(τ)Y(f-τ)结果如下图所示。
从上图中可以很容易看出：
当f≤1时，X(τ)Y(f-τ)=0。
当1≤f≤5时，X(τ)Y(f-τ)是一条直线，斜率为-1/2，经过 （f,0）这一点，X(τ)Y(f-τ)的结果如下图中的式子所示。
当f≥5时，X(τ)Y(f-τ)=0
第四步：对X(τ)Y(f-τ)做积分，即对下式进行运算。
当f≤1时，积分如下图所示。
当1≤f≤3时，积分如下图所示。
当3≤f≤5时，积分如下图所示。
当f≥5时，积分如下图所示。
将X(f)、Y(f)和X(f)*Y(f)画到一张图中，如下图所示。
- 与单位冲激函数做卷积
通过前面矩形函数和锯齿函数的卷积积分计算过程可以发现：卷积 积分的计算很麻烦。值得庆幸的是：通信系统中很少用到这样的卷积积 分，有一类卷积积分倒是很常用，那就是：与单位冲激函数做卷积。下面看一下函数X(f)与单位冲激函数δ(f)的卷积积分，即X(f)*δ(f)。
根据连续函数卷积的定义，如下图所示。
根据单位冲激函数的性质可知，δ(f-τ)只有在τ=f时才不为0，所以可以得出下图中的式子。
将X(f)从积分符号内提取到前面，得下式。
其中上图中对单位冲激函数的积分是等于1的。由此得到：X(f)*δ(f)=X(f)。也就是说：一个函数与单位冲激函数的卷积结果为函数本身，如下图所示。
下面再来看一下函数X(f)与δ(f-f0)的卷积积分：X(f)*δ(f-f0)。
根据卷积的定义有下图中的式子。
因为δ(f−f0−τ)只有在τ=f−f0时才不为0，所以可以得出下式。
由上面的计算过程可以得出：X(f)*δ(f-f0)=X(f-f0)。
如果X(f)和δ(f-f0)是两个信号的频谱，则这两个频谱做卷积的结果就是将X(f)的频谱搬移到单位冲激函数δ(f-f0)所在位置（f=f0），如下图所示。
- 频域卷积定理在调制中的应用。
信号只有在经过调制之后才能够由天线发射出去，即将低频信号搭载带高频载波上进行传输，需要使用到频域卷积定理。
举例：假设要将信号x(t)调制到载波cos 2πf0t上，如下图所示。
其中上图中的y(t)是x(t)和cos 2πf0t的乘积：y(t)=x(t)cos 2πf0t，x(t)、cos 2πf0t、y(t)的波形如下图所示。
信号x(t)的频谱为X(f)，载波cos 2πf0t的频谱为下图中的式子。
根据频域卷积定理，y(t)的频谱为下式。
将上式进行简化即可得到下式。
也就是说：将信号x(t)调制到载波cos 2πf0t上的过程，就是将信 号x(t)的频谱X(f)一分为二分别向左和向右搬移f0的过程，如下图所示。
- 频域卷积定理在采样中的应用。
除了调制中会用到频域卷积定理以外，采样中也会用到频域卷积定理。采样就是模拟信号和抽样脉冲相乘得到抽样信号的过程，如下图所示。
其中上图中的x(t)是模拟信号。 p(t)是抽样脉冲，采样周期为Ts。
y(t)是x(t)和p(t)的乘积：y(t)=x(t)p(t)，被称为抽样信号。x(t)、p(t)和y(t)信号如下图所示。
在分析抽样信号的频谱之前，先来看一下抽样脉冲信号的频谱。抽样脉冲信号p(t)是一个周期信号，周期为Ts，代入前面所讲的一 般周期信号的傅里叶变换计算公式，可以得到下式。
其中上图中的ck是抽样脉冲信号p(t)的傅里叶系数，如下式。fs=f0=1/Ts，为采样频率。
2.9.9、信号卷积的傅里叶变换
- 什么是单位冲激序列？
δ[n]的定义为下式。
单位冲激序列的图像如下图所示。
如果把δ[n]作为输入信号输入离散系统，则对应的输出被称为单 位冲激响应序列，一般用符号h[n]来表示，如下图所示。
有了h[n]后，离散系统输入任何序列都可以得到对应 的输出序列，因此常常用单位冲激响应序列h[n]来描述一个离散系统， 如下图所示。
- 离散系统中输入序列x[n]、单位冲激响应序列h[n]和输出序列y[n]三者的联系是什么？
考虑到系统输入δ[n]时对应的输出为h[n]，输入δ[n-k]时对应的 输出为h[n-k]，可以将x[n]分解为一系列δ[n-k]之和，如下式。
其中为什么可以将x[n]分解成由单位冲激序列累和而成，可以按照如下图中的解释来理解。
x[k]δ[n-k]对应的输出为：x[k]h[n-k]。将所有输出叠加，即可得下式。
从上式中可以看出离散系统的输出等于输入序列和单位冲激响应序列的卷积。y[n]=x[n]*h[n]，其中【*】表示卷积。
举例：假定离散系统的输入序列x[n]和单位冲激响应序列h[n]如下图所示。
先对x[n]进行分解，如下图所示。
x[0]δ[n]及其对应的输出x[0]h[n]，如下图所示。
x[1]δ[n-1]及其对应的输出x[1]h[n-1]，如下图所示。
x[2]δ[n-2]及其对应的输出x[2]h[n-2]，如下图所示。
x[3]δ[n-3]及其对应的输出x[3]h[n-3]，如下图所示。
x[4]δ[n-4]及其对应的输出x[4]h[n-4]，如下图所示。
x[5]δ[n-5]及其对应的输出x[5]h[n-5]，如下图所示。
将所有的输出叠加（即将上面所有的x[k]h[n-k]进行叠加），得到下式：
上式中的x[n]和y[n]如下图所示。
- 连续系统中输入信号、单位冲激响应和输出序列三者的关系是什么？
如果把单位冲激信号δ(t)作为输入信号输入连续系统，则对应的 输出被称为单位冲激响应，一般用符号h(t)来表示，如下图所示。
有了h(t)后，连续系统输入任何信号都可以得到对应 的输出信号，因此常常用单位冲激响应h(t)来描述一个连续系统，如下图所示。
与离散系统类似，连续系统的输出也是等于输入信号和单位冲激响 应的卷积：y(t)=x(t)*h(t)。
举例：以利用理想低通滤波器从抽样信号中重建模拟信号为例，看一 下输出信号与输入信号、单位冲激响应的关系，如下图所示。
将单位冲激信号输入理想低通滤波器时，输出的单位冲激响应是一 个sinc信号，即δ(t)对应的h(t)为sinc函数，如下图所示。
将抽样信号输入理想低通滤波器时，输出的是原始模拟信号，如下图所示。
上图中的抽样信号是由一系列的单位冲激序列叠加而成的。
思考：为什么通过理想低通滤波器可以重建原始模拟信号呢？
将抽样信号分解成一系列冲激信号之和，每个冲激信号会在理想低 通滤波器的输出端产生一个冲激响应，只要将所有冲激响应叠加起来就 可以得到输出信号。所有冲激信号及其对应的冲激响应如下图所示。
很明显，将上图中所有冲激响应的叠加结果就是原始模拟信号，如下图所示。
- 时域卷积定理
时域卷积定理：两个信号做卷积，相当于在频域做乘法。即，若：y(t)=x(t)*h(t)，则：Y(f)=X(f)H(f)，其中Y(f)、X(f)和H(f)分别是y(t)、x(t)和h(t)的傅里叶变换。 - 时域卷积定理在滤波中的应用。
根据时域卷积定理，滤波器输出信号的频谱等于输入信号的频谱和 滤波器频率响应的乘积。接着前面利用理想低通滤波器从输入抽样信号 重建模拟信号的例子。
抽样信号的频谱是由原始模拟信号频谱以采样频率为间隔进行周期性拓展得到的，如下图所示。
理想低通滤波器的频率响应如下图所示。
二者相乘就可以得到输出信号的频谱，如下图所示。
很明显， 上图正是原始模拟信号的频谱。
2.10、离散傅里叶变换
- 为什么要引入离散傅里叶变换？
虽然傅里叶变换统一了周期信号和非周期信号的频谱分析方法，但 由于其输入和输出都是连续信号，不方便在计算机和数字信号处理器中 进行处理，于是离散傅里叶变换应运而生。离散傅里叶变换的输入和输 出都是离散的数字信号。
2.10.1、离散傅里叶正变换
- 离散傅里叶正变换
离散傅里叶正变换的输入是N个时域样点数据x(n)，输出是N个频域样点数据X(k)，如下图所示。
x(n)到X(k)的变换关系如下式所示。
- 复指数信号的离散傅里叶变换
假设复指数信号为频率为1Hz的复指数信号e^j2πt，如下图所示。
截取上图中的复指数信号的一个周期，并以8Hz采样频率对其进行采样，可以得到1Hz复指数信号的一个周期采样，如下图。
对上图中的采样数据进行离散傅里叶变换，如下图所示。
上图可以根据离散傅里叶正变换表达式展开得到。频率为1Hz的复指数信号的离散傅里叶变换只在k=1处有值。
再来看一下频率为-1Hz的复指数信号e^-j2πt，如下图所示。
截取上述复指数信号的一个周期，并以8Hz采样频率对其进行采 样，如下图所示。
对采样数据进行离散傅里叶变换，如下图所示。
频率为-1Hz的复指数信号的离散傅里叶变换只在k=7处有值，这如何理解呢？
由于离散傅里叶正变换的表达式中限定了k的取值范围为：0~N-1，现在放开限制，看看DFT的结果会是什么样？接着前面这个例子，放开k的取 值范围限制，结果如下图所示。
从上图中可以很明显的看出，放开对k的取值范围的限制后，离散傅里叶变换的结果 X(k)成为一个周期函数，以N为周期无限循环。
实际上这个结论可以直接从傅里叶正变换的表达式推导出来。
由下式：
从而可得：
即：X(k+N)=X(k)。
下面再来看一下X(k)的取值。从前面频率为1Hz的复指数信号一个周期采样数据的8点DFT来 看，k=1时X(k)的取值为8。对比一下频率为1Hz的复指数信号的傅里叶系数，其取值为1，如下图所示。
从上图中可以看出，用N去除复指数信号一个周期采样数据的DFT结果，刚好与复指数信号的傅里叶系数相等，如下图所示。
- 余弦信号的离散傅里叶变换。
对一个频率为1Hz的余弦信号的一个周期进行采样，采样数据及其8点DFT如下图所示。
从上图中可以看出DFT结果仅在k=1（对应频率1Hz）和k=7（对应频率-1Hz）处有值：X(1)=X(7)=4，用N=8去除4，刚好得到0.5，与余弦信号的傅里叶系数是完全相等的，如下图所示。
- 离散傅里叶正变换的本质。
回顾前面的分析过程可以发现：对余弦信号的一个周期进行周期拓 展，得到一个周期信号，求这个周期信号的傅里叶系数并乘以N得到的 结果，与直接对余弦信号的一个周期进行采样再做N点离散傅里叶变换 的结果，二者是完全等价的，如下图所示。
这揭示了离散傅里叶正变换的本质：表面上看是对时域采样数据进行N点离散傅里叶正变换，实质上 求的是被采样信号周期性拓展得到的周期信号的傅里叶系数再乘以点数N。
2.10.2、离散傅里叶逆变换
- 离散傅里叶逆变换的定义
离散傅里叶逆变换正好相反，输入是N个频域的样点数据：X(k)， 输出是N个时域的样点数据：x(n)，如下图所示。
X(k)到x(n)的变换关系如下图中的式子所示。
上图中的就是离散傅里叶逆变换表达式。 - 如何理解离散傅里叶逆变换表达式。
由离散傅里叶逆变换表达式可以看出：离散傅里叶逆变换就是将时域样点序列x(n)分解成一系列加权的复指数序列之和，加权系数就是X(k)/N，复指数序列如下图所示。
具体来说可以将离散傅里叶逆变换分解成如下序列。
直流样点序列，如下图所示。
逆时针旋转的复指数序列：旋转圈数为1圈。如下图所示。
逆时针旋转的复指数序列：旋转圈数为2圈。如下图所示。
……
逆时针旋转的复指数序列：旋转圈数为N/2圈，如下图所示。
顺时针旋转的复指数序列：旋转圈数为N/2-1圈，如下图所示。
顺时针旋转的复指数序列，旋转圈数为N/2-2圈，如下图所示。
……
顺时针旋转的复指数序列：旋转圈数为1圈，如下图所示。
其中要注意下图中的式子，此式子是上所有图中变换的基础。
综上所述，时域样点序列x(n)可以用N个复指数序列来合成：
直流序列：1个，相当于旋转圈数为0圈。
逆时针旋转的复指数序列：N/2个，旋转圈数分别为1~N/2圈。
顺时针旋转的复指数序列：N/2-1个，旋转圈数分别为N/2-1~1圈。
下面看一下N=8情况下用到的8个复指数序列，如下图所示。
上图是N=8的情况，可以将时域样点序列x(n)用N个复指数序列来合成：
1个直流序列：k=0，x0=1(n=0,1,2,…,7)。
4个逆时针旋转的复指数序列，如下图所示。
3个顺时针旋转的复指数序列如下图所示。
- 离散傅里叶逆变换的本质。
表面上看是对频域采样数据X(k)进行N点离散傅里叶逆变换，实质上是用X(k)/N作为傅里叶系数对复指数信号进行加权合成一个周期信号，再对一个周期进行采样得到N个时域采样数据。 这就是离散傅里叶变换的本质。
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