攻角、侧滑角、倾侧角与欧拉角的关系

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摘要 攻角与俯仰角对应，侧滑角与偏航角对应，倾侧角与横滚角对应，但它们并不完全一样。攻角、侧滑角、倾侧角好像没有统一的名字，本文为了方便起见称它们为气动角。欧拉角定义在世界坐标系上，气动角定义在速度坐标系上。除了坐标系定义的区别以外还有细节上的不同，假如世界系与速度系重合，两者也并不完全一样。

欧拉角和气动角定义

• 横滚角 $\varphi$ 定义为本体系x轴所在铅垂面和本体系纵向对称面之间的夹角，沿x轴看去逆时针为正，也就是左倾为正。
• 俯仰角 $\theta$ 定义为本体系x轴与世界系水平面（XOY平面）之间的夹角，沿y轴看去逆时针为正，也就是抬头为正。
• 偏航角 $\psi$ 定义为本体系x轴在世界系水平面上的投影与世界系x轴之间夹角，沿z轴看去逆时针为正，也就是左偏为正。

  再说气动角的定义，这里要引入跟速度相关的两个坐标系。半速度系和速度系的x轴都与飞行器速度方向相反，两个系的z轴分别位于世界系的铅垂面内朝上和本体系的纵向对称面内朝上，y轴都朝右。当飞行器速度方向始终朝前保持不变时，半速度系与世界系重合（只看方向不看原点坐标）。

• 攻角 $\alpha$ 定义为速度方向在本体系纵向对称面（XOZ平面）上的投影与速度方向之间的夹角；
• 侧滑角 $\beta$ 定义为速度方向与本体系纵向对称面之间的夹角；
• 倾侧角 $\sigma$ 定义为半速度系和速度系的z轴之间的夹角，又称为速度滚转角。
• 有些场景还有总攻角的概念，总攻角定义为本体系和速度系的两个x轴之间的夹角，两个x轴所在的平面称作总攻角平面。

  只从定义上难以看出欧拉角和气动角的区别，举个例子，当横滚角左偏90°的时候，此时飞机再抬头 $\alpha$，则此时的攻角就是 $\alpha$， 但因为机头仍然在水平面上，所以俯仰角仍然是0°。另一方面，侧滑角和和俯仰角都是向量和平面的夹角，而攻角和偏航角都有向量到平面的投影，只是向量和平面各不同。

欧拉角/气动角和旋转矩阵的转换

rol=arctan2(r32, r33); // 横滚角φ pit=arcsin(-r31); // 俯仰角θ yaw=arctan2(r21, r11); // 偏航角ψ 

已知本体系到半速度系的旋转矩阵，求气动角的公式为

bank = arctan2(r32,r22) // 倾侧角σ attack = arctan2(r13, r11) // 攻角α sideslip = -arcsin(r12) // 侧滑角β 

  气动角的旋转顺序是，先绕本体系z轴旋转侧滑角，再绕本体系y轴旋转攻角，再绕世界系x轴旋转倾侧角，所以 $R=R_x{R}_z{R}_y$。旋转顺序如图所示，图中3次旋转均为正角度。

补充一个特殊姿态的欧拉角

import numpy as np ry = np.array([0, np.cos(0.15), np.sin(0.15)]) # 让旋转矩阵中y轴的z坐标很小 rz = np.array([np.cos(0.15), 0, np.sin(0.15)]) # 让旋转矩阵中z轴的z坐标也很小 e0 = 0.1 R = np.array([ # 另外构造旋转矩阵来旋转z轴 [1, 0, 0], [0, np.cos(e0), -np.sin(e0)], [0, np.sin(e0), np.cos(e0)], ]) rz = R @ rz # 旋转z轴使其与y轴垂直 rx = np.cross(ry, rz) # 右手坐标系构造x轴 R = np.array([rx, ry, rz]).T # xyz三轴组合成姿态旋转矩阵 roll = np.arctan2(R[2,1], R[2,2]) # 横滚角 print(roll) 

这个姿态的横滚、俯仰、偏航角分别为 $[0.,1.,0.]$，但是直观上的欧拉角应该大致是 $[10^{\circ },80^{\circ },10^{\circ }]$。这也从侧面反映了欧拉角的万向节死锁现象。
再附一个纯坐标图，图中红绿蓝三条线分别代表本体系的XYZ轴。左边是欧拉角为0的参考姿态，右边是这个特殊姿态。