SLAM 反对称矩阵

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1. 定义

2. 反对称矩阵与叉乘

设有向量$a=[a_1,a_2,a_3{]}^{\top }$和$b=[b_1,b_2,b_3]\top$，则叉乘和反对称化的关系如下：
$$a\times b=a^{\wedge }b\text{\hspace{1em}(2.1)}$$
以及反交换律：
$$a^{\wedge }b=-b^{\wedge }a\text{\hspace{1em}(2.2)}$$
$$a^{\top }{b}^{\wedge }=-b^{\top }{a}^{\wedge }\text{\hspace{1em}(2.3)}$$
同时有以下性质成立：
$$(a^{\wedge }b{)}^{\wedge }=(a\times b{)}^{\wedge }=a^{\wedge }{b}^{\wedge }-b^{\wedge }{a}^{\wedge }\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

3. 反对称矩阵的行列式

若A是$n\times n$的反对称矩阵，其行列式满足：
$$det(A)=det(A^{\top })=det(-A)=(-1{)}^{n}det(A)\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

• 如果n是奇数，行列式等于0。这个结果叫雅克比定理。
• 若n是偶数，行列式可以写成部分元素的多项式的平方，这个称为Pfaffian行列式。

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4. 反对称矩阵的乘法

4.1 反对称矩阵连乘

假设向量$a=[a_1,a_2,a_3{]}^{\top }$，其为单位向量，即$\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}=1$，则易推出：
$$a^{\wedge }{a}^{\wedge }=a{a}^{\top }-I\text{\hspace{1em}(4.1)}$$
继续连乘：
$$a^{\wedge }{a}^{\wedge }{a}^{\wedge }=-a^{\wedge }\text{\hspace{1em}(4.2)}$$
更多的连乘可以用以上规律进行推导。

4.2 反对称矩阵与矩阵相乘

定义向量$u=(u_1,u_2,u_3{)}^{\top }$和任意矩阵C，则有如下公式成立：
​$$(Cu{)}^{\wedge }=C{u}^{\wedge }{C}^{\top }\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

5. 反对称矩阵的加法

设有向量$a=[a_1,a_2,a_3{]}^{\top }$和$b=[b_1,b_2,b_3]\top$，则有运算：
$$a^{\wedge }+b^{\wedge }=(a+b{)}^{\wedge }\text{\hspace{1em}(5.1)}$$

6. 无穷小旋转

斜对称矩阵形成了正交群O(n)在单位矩阵的切空间。在某种意义上，斜对称矩阵可以视无穷小旋转。
另外一种说法是，斜对称矩阵的空间形成了李群O(n)的李代数o(n)。这个空间上的李括号由交换子给出：
​$$[A,B]=AB-BA\text{\hspace{1em}(6.1)}$$
很容易验证，两个斜对称矩阵的交换子也是斜对称的。
于是，斜对称矩阵A的矩阵指数，是正交矩阵R：
$$R=exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{A^n}{n!}\text{\hspace{1em}(6.2)}$$
李代数的指数映射的像总是位于含有单位元的李群的连通分支内。在李群O(n)的情况中，这个连通分支是特殊正交群SO(n)，由所有行列式为1的正交矩阵组成。因此_R_ = exp(A)的行列式为+1。于是，每一个行列式为1的正交矩阵都可以写成某个斜对称矩阵的指数。
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