（六）速度梯度与加速度梯度

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1. 速度梯度、变形率张量与物质旋律张量

对于速度场 $\vec{v}=\vec{v}(\vec{x},t)=v^i{\vec{g}}_i$，其右梯度 (称作速度梯度) 可写作
$$\begin{array}{rl}& \vec{v}▽=\frac{\partial \vec{v}}{\partial x^j}\otimes \vec{g}{}^j=v^i{|}_j{\vec{g}}_i\otimes {\vec{g}}^j\triangleq \mathbf{L}\\ & \\ & =\frac{\partial \vec{v}}{\partial X^A}\frac{\partial X^A}{\partial x^j}\otimes \vec{g}{}^j=\frac{\partial \vec{v}}{\partial X^A}\otimes {\vec{C}}^A=v^B|{|}_A{\vec{C}}_B\otimes {\vec{C}}^A={\stackrel{\bullet }{\vec{C}}}_A\otimes {\vec{C}}^A\\ & \\ & =({\stackrel{\bullet }{\vec{C}}}_B\otimes {\vec{G}}^B)\cdot ({\vec{G}}_A\otimes {\vec{C}}^A)=\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}\cdot \stackrel{-1}{\mathbf{F}}\end{array}$$
将速度梯度的对称部分称作变形率张量：
$$\mathbf{D}=\frac{1}{2}(\mathbf{L}+{\mathbf{L}}^T)=\frac{1}{2}(\vec{v}▽+▽\vec{v})$$
将速度梯度的反对称部分称作物质旋率张量：
$$\mathbf{W}=\frac{1}{2}(\mathbf{L}-{\mathbf{L}}^T)=\frac{1}{2}(\vec{v}▽-▽\vec{v})$$
其轴向量为：
$$\vec{\omega }=\frac{1}{2}(▽\times \vec{v})$$
此外还可以表示为：
$$\vec{\omega }=-\frac{1}{4}ϵ:({\stackrel{\bullet }{\vec{C}}}_A\otimes {\vec{C}}^A-{\vec{C}}^A\otimes {\stackrel{\bullet }{\vec{C}}}_A)=\frac{1}{2}{\vec{C}}^A\times {\stackrel{\bullet }{\vec{C}}}_A$$
定义 处处满足 $\vec{w}=0$ 或 $\mathbf{W}=0$ 的运动称为无旋运动。

2. 加速度梯度

加速度的 (右) 梯度 定义为：
$$\begin{array}{rl}& \vec{a}▽=\frac{\partial \vec{a}}{\partial x^i}\otimes {\vec{g}}^i=\frac{\partial \vec{a}}{\partial X^A}\otimes {\vec{C}}^A=a^B|{|}_A{\vec{C}}_B\otimes {\vec{C}}^A\\ & \\ & ={\stackrel{\bullet \bullet }{\vec{C}}}_A\otimes {\vec{C}}^A=({\stackrel{\bullet \bullet }{\vec{C}}}_A\otimes {\vec{G}}^A)\cdot ({\vec{G}}_B\otimes {\vec{C}}^B)=\stackrel{\bullet \bullet }{\mathbf{F}}\cdot \stackrel{-1}{\mathbf{F}}\end{array}$$

继续讨论前，给出如下命题：

对于任意仿射量 $\Psi$，有：
$${\left(\stackrel{\bullet }{\Psi }\right)}^T=\stackrel{\bullet }{\left({\Psi }^T\right)}$$
证明：对任意向量 $\vec{a}，\vec{b}$ 满足：
$$\vec{a}\cdot \mathbf{\Psi }\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot {\mathbf{\Psi }}^T\cdot \vec{a}$$
那么，
$$\stackrel{\bullet }{\vec{a}}\cdot \mathbf{\Psi }\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \stackrel{\bullet }{\mathbf{\Psi }}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \mathbf{\Psi }\cdot \stackrel{\bullet }{\vec{b}}=\stackrel{\bullet }{\vec{b}}\cdot ({\mathbf{\Psi }}^T)\cdot \vec{a}+\vec{b}\cdot \stackrel{\bullet }{({\mathbf{\Psi }}^T)}\cdot \vec{a}+\vec{b}\cdot ({\mathbf{\Psi }}^T)\cdot \stackrel{\bullet }{\vec{a}}$$
则
$$\vec{a}\cdot \stackrel{\bullet }{\mathbf{\Psi }}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \stackrel{\bullet }{({\mathbf{\Psi }}^T)}\cdot \vec{a}⟹\vec{b}\cdot \left[{\left(\stackrel{\bullet }{\Psi }\right)}^T-\stackrel{\bullet }{({\mathbf{\Psi }}^T)}\right]\cdot \vec{a}=0$$
由 $\vec{a}，\vec{b}$ 的任意性可知命题成立。故此二者可以不加区分运算的先后次序。另外还表明：对称仿射量的物质导数是对称仿射量，反对称仿射量的物质导数为反对称仿射量。

加速度梯度的反对称部分记为：
$$\mathbf{J}=\frac{1}{2}(\vec{a}▽-▽\vec{a})$$

3. Lagrange-Cauchy 定理

[Lagrange-Cauchy 定理] \quad 对于加速度为势的梯度的运动，若某一时刻运动是无旋的，则运动始终是无旋的。

证明：由于加速度为势的梯度，则
$$\vec{a}=▽\alpha (\vec{x},t)$$
那么
$$\begin{array}{rl}& (▽\alpha )▽=\frac{\partial }{\partial x^j}\left(\frac{\partial \alpha }{\partial x^i}\right){\vec{g}}^i\otimes {\vec{g}}^j\\ & \\ & ▽(▽\alpha )=\frac{\partial }{\partial x^j}\left(\frac{\partial \alpha }{\partial x^i}\right){\vec{g}}^j\otimes {\vec{g}}^i=\frac{\partial }{\partial x^i}\left(\frac{\partial \alpha }{\partial x^j}\right){\vec{g}}^i\otimes {\vec{g}}^j\\ & \\ & (▽\alpha )▽=▽(▽\alpha )\end{array}$$
则，加速度梯度的反对称部分为
$$\mathbf{J}=\frac{(▽\alpha )▽-▽(▽\alpha )}{2}=0$$
那么
$$\frac{D}{Dt}({\mathbf{F}}^T\cdot \mathbf{W}\cdot \mathbf{F})={\mathbf{F}}^T\cdot (\mathbf{D}\cdot \mathbf{W}+\stackrel{\bullet }{\mathbf{W}}+\mathbf{W}\cdot \mathbf{D})\cdot \mathbf{F}={\mathbf{F}}^T\cdot \mathbf{J}\cdot \mathbf{F}=0$$
若运动某一时刻无旋，即某一时刻 $\mathbf{W}=0$，则运动过程中始终有：
$${\mathbf{F}}^T\cdot \mathbf{W}\cdot \mathbf{F}=0$$
由于 $\mathbf{F}$ 正则，故在运动过程中始终有：
$$\mathbf{W}=0$$
即，运动始终无旋。

命题 \quad 若速度场为势的梯度，则加速度场也为势的梯度。

证明：由于速度有势，则
$$\vec{v}=▽\phi (\vec{x},t)$$
那么
$$\vec{a}=\stackrel{\bullet }{\vec{v}}=\stackrel{\bullet }{▽\phi }=(▽\phi {)}^{\prime }+(\vec{v}▽)\cdot \vec{v}$$
由于
$$\begin{gathered} (▽\times \vec{v})\times \vec{v}=(\vec{v}▽-▽\vec{v})\cdot \vec{v}=\vec{v}▽\cdot \vec{v}-▽\vec{v}\cdot \vec{v} \\ ▽\vec{v}\cdot \vec{v}=▽\left(\frac{\vec{v}\cdot \vec{v}}{2}\right) \\ ▽\times \vec{v}=▽\times (▽\phi )=\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^i\partial x^j}{ϵ}^{ijk}{\vec{g}}_k=0 \end{gathered}$$
故
$$\vec{a}=▽\left({\phi }^{\prime }+\frac{\vec{v}\cdot \vec{v}}{2}\right)$$
证毕。

4. 涡旋传输定理

5. 变形率 $\mathbf{D}$ 与物质旋率 $\mathbf{W}$ 的几何意义

5.1. 线元的物质导数与相关的相对变化率

由于任意线元 $d\vec{x}$ 的物质导数为：
$$\frac{D}{Dt}(d\vec{x})=\frac{D}{Dt}(\mathbf{F}\cdot d\vec{X})=\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}\cdot \vec{X}=(\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}\cdot {\mathbf{F}}^{-1})\cdot (\mathbf{F}\cdot d\vec{X})=\mathbf{L}\cdot d\vec{x}$$

5.1.1. 线元长度的相对变化率

任意线元 $d\vec{x}$ 长度 $|d\vec{x}|$ 的物质导数为：
$$\begin{array}{rl}& \frac{D}{Dt}(|d\vec{x}|)=\frac{D}{Dt}\sqrt{d\vec{x}\cdot d\vec{x}}=\frac{1}{2|d\vec{x}|}\left[\frac{D}{Dt}(d\vec{x})\cdot d\vec{x}+d\vec{x}\cdot \frac{D}{Dt}(d\vec{x})\right]\\ & \\ & =\frac{1}{|d\vec{x}|}\left(d\vec{x}\cdot \frac{{\mathbf{L}}^T+\mathbf{L}}{2}\cdot d\vec{x}\right)=\frac{1}{|d\vec{x}|}\left(d\vec{x}\cdot \mathbf{D}\cdot d\vec{x}\right)=\vec{l}\cdot (\mathbf{D}\cdot d\vec{x})\end{array}$$
可理解为 $\mathbf{D}\cdot d\vec{x}$ 在 $\vec{l}$ 上的投影。故沿单位切向量 $\vec{l}$ 的线元 $d\vec{x}$ 的长度的相对变化率 $d_l$ 为：
$$d_{\vec{l}}\triangleq \frac{\stackrel{\bullet }{|d\vec{x}|}}{|d\vec{x}|}=\frac{d\vec{x}}{|d\vec{x}|}\cdot \mathbf{D}\cdot \frac{d\vec{x}}{|d\vec{x}|}=\vec{l}\cdot \mathbf{D}\cdot \vec{l}$$

上述讨论实际上说明：在各时刻，线元长度的相对变化率取极值（驻值）的方向为伸长率张量的主方向，长度相对变化率的大小为伸长率张量的对应的驻值。

5.1.2. 线元方向的变化率 (与 W 相关)

考虑线元 $d\vec{x}$ 单位切向量 $\vec{l}$ 的物质导数：
$$\begin{array}{rl}& \frac{D\vec{l}}{Dt}=\frac{D}{Dt}\left(\frac{d\vec{x}}{|d\vec{x}|}\right)=\frac{1}{|d\vec{x}|}\frac{D}{Dt}(d\vec{x})-\frac{d\vec{x}}{|d\vec{x}{|}^2}\frac{D}{Dt}(|d\vec{x}|)\\ & \\ & =\mathbf{L}\cdot \frac{d\vec{x}}{|d\vec{x}|}-\frac{d\vec{x}}{|d\vec{x}|}(\vec{l}\cdot \mathbf{D}\cdot \vec{l})\\ & \\ & =(\mathbf{L}-d_{\vec{l}}\mathbf{I})\cdot \vec{l}\end{array}$$
其中，$d_{\vec{l}}$ 为 $\vec{l}$ 方向线元长度的相对变化率。又
$$\frac{D\vec{l}}{Dt}\cdot \vec{l}=\vec{l}\cdot (\mathbf{L}-d_{\vec{l}}\mathbf{I})\cdot \vec{l}=\vec{l}\cdot (\mathbf{L}-\mathbf{D})\cdot \vec{l}=\vec{l}\cdot \mathbf{W}\cdot \vec{l}=0$$
由于物质旋率张量是反对称张量。这也说明了单位切向量的物质导数与自身垂直的几何含义。

5.1.3. 线元夹角余弦的变化率

在当前时刻，存在两线元 $d{\vec{x}}_{(1)}$ 与 $d{\vec{x}}_{(2)}$，其单位切向量分别为：${\vec{l}}_{(1)}、{\vec{l}}_{(2)}$，夹角为：$\theta$。那么
$$\begin{array}{rl}& \frac{D}{Dt}(cos\theta )=\frac{D}{Dt}({\vec{l}}_{(1)}\cdot {\vec{l}}_{(2)})\\ & \\ & ={\vec{l}}_{(1)}\cdot \frac{D{\vec{l}}_{(2)}}{Dt}+\frac{D{\vec{l}}_{(1)}}{Dt}\cdot {\vec{l}}_{(2)}\\ & \\ & ={\vec{l}}_{(1)}\cdot \left(\mathbf{L}-d_{{\vec{l}}_{(2)}}\mathbf{I}\right)\cdot {\vec{l}}_{(2)}+\left(\mathbf{L}-d_{{\vec{l}}_{(1)}}\mathbf{I}\right)\cdot {\vec{l}}_{(1)}\cdot {\vec{l}}_{(2)}\\ & \\ & ={\vec{l}}_{(1)}\cdot \left(\mathbf{L}-d_{{\vec{l}}_{(2)}}\mathbf{I}\right)\cdot {\vec{l}}_{(2)}+{\vec{l}}_{(1)}\cdot \left({\mathbf{L}}^T-d_{{\vec{l}}_{(1)}}\mathbf{I}\right)\cdot {\vec{l}}_{(2)}\\ & \\ & =2{\vec{l}}_{(1)}\cdot \mathbf{D}\cdot {\vec{l}}_{(2)}-\left(d_{{\vec{l}}_{(1)}}+d_{{\vec{l}}_{(1)}}\right){\vec{l}}_{(1)}\cdot {\vec{l}}_{(2)}\end{array}$$
特别地，若考虑 $\theta =90°$，则
$${\frac{D}{Dt}(cos\theta )|}_{\theta =90°}=-{\frac{D\theta }{Dt}|}_{\theta =90°}=2{\vec{l}}_{(1)}\cdot \mathbf{D}\cdot {\vec{l}}_{(2)}$$

5.2. 体元的物质导数与与其相对变化率

5.2.1. 体元的物质导数与与其相对变化率

5.2.2 体元物质导数的另一种表达

对任意仿射量 $\mathbf{F}、\mathbf{B}$ 与 实数 $\delta$, 记
$$\hat{\mathbf{F}}=\mathbf{F}+\delta \mathbf{B}$$
则
$$\hat{\mathcal{J}}\triangleq det(\hat{\mathbf{F}})=det(\mathbf{F}+\delta \mathbf{B})=det(\mathbf{F})det(\mathbf{I}+\delta \mathbf{B}{\mathbf{F}}^{-1})$$
进一步有：
$${\frac{D\hat{\mathcal{J}}}{D\delta }|}_{\delta =0}=det(\mathbf{F})tr(\mathbf{B}{\mathbf{F}}^{-1})$$
上式运用了特征多项式展开的相关性质。得到上述结论后，令上式中 $\mathbf{F}$ 代表变形梯度，且
$$\delta =t，\mathbf{B}=\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}$$
则有：
$${\frac{Ddet(\mathbf{F}+t\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}})}{Dt}|}_{t=0}=\mathcal{J}tr\mathbf{L}=\mathcal{J}tr\mathbf{D}$$
则
$$\left[{\frac{Ddet(\mathbf{F}+t\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}})}{Dt}|}_{t=0}\right]d{v}_0=tr(\mathbf{D})dv=\stackrel{\bullet }{\mathrm{dv}}$$

5.3. 有向面元的物质导数与其面积的相对变化率

5.4. 物质旋率张量 W 的几何意义

当前时刻，伸长率张量 $\mathbf{D}$ 的单位特征向量为： ${\vec{v}}_{\alpha }(\alpha =1,2,3)$ ，对应的特征值分别为：$d_{\alpha }(\alpha =1,2,3)$，考虑沿当前 ${\vec{v}}_{\alpha }$ 方向的线元的方向变化率：
$$\stackrel{\bullet }{\vec{l}}({\vec{v}}_{\alpha })=\stackrel{\bullet }{\vec{l}}{|}_{\vec{l}={\vec{v}}_{\alpha }}$$
需要注意的是：
$$\stackrel{\bullet }{\vec{l}}({\vec{v}}_{\alpha })\ne \stackrel{\bullet }{{\vec{v}}_{\alpha }}$$
因为对线元的单位方向的物质导数表示研究的始终是同一线元，但前一时刻与下一时刻伸长率张量的特征向量可能与不同线元相重合。
$$\stackrel{\bullet }{\vec{l}}({\vec{v}}_{\alpha })=(\mathbf{L}-d_{\alpha }\mathbf{I})\cdot {\vec{v}}_{\alpha }=(\mathbf{L}-\mathbf{D})\cdot {\vec{v}}_{\alpha }=\mathbf{W}\cdot {\vec{v}}_{\alpha }=\vec{\omega }\times {\vec{v}}_{\alpha }$$
这表明：物质旋率张量是当前时刻与伸长率张量特征方向相重合的物质线元的转动速率张量。另外
$$\frac{D}{Dt}(d\vec{x})=\mathbf{L}\cdot d\vec{x}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial x^i}d{x}^i=d\vec{v}=\mathbf{D}\cdot d\vec{x}+\mathbf{W}\cdot d\vec{x}$$