大家好，欢迎来到IT知识分享网。
量子力学
第一章——波函数与定态薛定谔方程
1.1波函数的统计诠释
波函数满足波恩的统计诠释，该诠释指出波函数的模方 ∣ Ψ ( r , t ) ∣ 2 \left | \Psi(r,t) \right | ^{2} ∣Ψ(r,t)∣2表示为概率密度函数。而 ∣ Ψ ( r , t ) ∣ 2 d x d y d z \left | \Psi(r,t) \right | ^{2} dxdydz ∣Ψ(r,t)∣2dxdydz表示 t t t时刻在 r r r附近的体积微元找到粒子的概率。我们下面以一维情况来讨论，根据波函数统计诠释可以得到：
∫ a b ∣ Ψ ( x , t ) ∣ 2 d x \int_{a}^{b} \left | \Psi(x,t) \right |^{2} dx ∫ab∣Ψ(x,t)∣2dx
这里再解释一下波函数的模方，波函数模方等于波函数的复共轭乘波函数，也就是波函数模方等于 Ψ ∗ Ψ \Psi ^{*} \Psi Ψ∗Ψ,那么上面的积分中被积函数就可以被等价替换。波函数如果前面加了一个 e i φ e^{i\varphi } eiφ得到新的波函数，根据上面可知粒子的概率密度函数不会变，新的波函数仍然能描述粒子。
表示粒子在区间 a b ab ab之间出现的概率，三维情况类似后面讲到中心力场再叙述，这里以一维情况为参考。除此之外波函数还要满足归一化：
∫ 全空间 ∣ Ψ ( x , t ) ∣ 2 d x = 1 \int_{全空间}^{} \left | \Psi(x,t) \right |^{2} dx=1 ∫全空间∣Ψ(x,t)∣2dx=1
这里全空间指的是波函数存在范围，例如一维无限深势阱全空间就是势阱区域，一维谐振子全空间就是$-\infty 到 到 到+\infty $区域。为了方便引入如下式子
( Ψ , Ψ ) = ∫ 全空间 ∣ Ψ ∣ 2 d x = ∫ 全空间 Ψ ∗ Ψ d x (\Psi ,\Psi )=\int_{全空间}^{} \left | \Psi \right |^{2} dx=\int_{全空间}^{} \Psi ^{*}\Psi dx (Ψ,Ψ)=∫全空间∣Ψ∣2dx=∫全空间Ψ∗Ψdx
下面进行习题训练
1.2期望
在量子力学中有离散谱与连续谱之分，下面分别介绍。
假如有一群人人数是固定的，设人的身高为 x x x，人的身高为 x x x的概率为 P ( x ) P(x) P(x)，那么根据数学可以求得其身高平均值，身高平方的平均值，身高的标准差，当然也可以得到方差。
身高平均值 ⟨ x ⟩ = x ˉ = ∑ x = 0 ∞ x P ( x ) 身高平均值 \left \langle x \right \rangle = \bar{x} =\sum_{x=0}^{\infty } xP(x) 身高平均值⟨x⟩=xˉ=x=0∑∞xP(x)
身高平方的平均值 ⟨ x 2 ⟩ = x 2 ˉ = ∑ x = 0 ∞ x 2 P ( x ) 身高平方的平均值\left \langle x ^{2} \right \rangle =\bar{x^{2} } =\sum_{x=0}^{\infty } x^{2} P(x) 身高平方的平均值⟨x2⟩=x2ˉ=x=0∑∞x2P(x)
σ 2 = ⟨ ( x − x ˉ ) 2 ⟩ = ∑ ( x − x ˉ ) 2 P ( x ) = ∑ ( x 2 − 2 x x ˉ + x ˉ 2 ) P ( x ) = ⟨ x 2 ⟩ − 2 ⟨ x ⟩ ⟨ x ⟩ + ⟨ x ⟩ 2 = ⟨ x 2 ⟩ − ⟨ x ⟩ 2 \sigma ^{2} =\left \langle (x-\bar{x} ) ^{2} \right \rangle =\sum (x-\bar{x} )^{2} P(x)=\sum (x^{2} -2x\bar{x}+\bar{x} ^{2} )P(x)=\left \langle x^{2} \right \rangle -2\left \langle x \right \rangle \left \langle x \right \rangle +\left \langle x \right \rangle ^{^{2} } =\left \langle x^{2}\right \rangle -\left \langle x \right \rangle ^{2} σ2=⟨(x−xˉ)2⟩=∑(x−xˉ)2P(x)=∑(x2−2xxˉ+xˉ2)P(x)=⟨x2⟩−2⟨x⟩⟨x⟩+⟨x⟩2=⟨x2⟩−⟨x⟩2
⟨ x 2 ⟩ = x 2 ˉ = ∫ a b x 2 ρ ( x ) d x \left \langle x^{2} \right \rangle =\bar{x^{2} }=\int_{a}^{b} x^{2} \rho (x)dx ⟨x2⟩=x2ˉ=∫abx2ρ(x)dx
1.3归一化
对于归一化问题，如果在 t = 0 t=0 t=0时刻是归一化的那么随着时间的演化任何时间段都是归一化的，下面主要来证明这个结论。
1.4动量
根据上面我们知道，对于处在态 Ψ \Psi Ψ的粒子其坐标 x x x的期望值为
⟨ x ⟩ = x ˉ = ∫ a b x ∣ Ψ ( x , t ) ∣ 2 d x \left \langle x \right \rangle =\bar{x}=\int_{a}^{b} x\left | \Psi (x,t) \right |^{2} dx ⟨x⟩=xˉ=∫abx∣Ψ(x,t)∣2dx
根据上面1.25可以得到
d ⟨ x ˉ ⟩ d t = ∫ x ∂ ∣ Ψ ∣ 2 ∂ t d x = i ℏ 2 m ∫ x ∂ ( Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ x − ∂ Ψ ∗ ∂ x Ψ ) ∂ x d x \frac{d\left \langle \bar{x} \right \rangle }{dt} =\int x\frac{\partial \left | \Psi \right |^{2} }{\partial t} dx=\frac{i\hbar }{2m} \int x\frac{\partial (\Psi ^{*} \frac{\partial \Psi }{\partial x} -\frac{\partial \Psi ^{*} }{\partial x} \Psi )}{\partial x}dx dtd⟨xˉ⟩=∫x∂t∂∣Ψ∣2dx=2miℏ∫x∂x∂(Ψ∗∂x∂Ψ−∂x∂Ψ∗Ψ)dx
将上述式子转化为
1.5定态薛定谔方程
称②为定态薛定谔方程，称求解得到的波函数为定态，我们可以看出定态可以与时间有关，但是定态的概率密度函数与时间无关。此外我们可以知道定态下 ⟨ x ⟩ \left \langle x \right \rangle ⟨x⟩是常数，那么 ⟨ p ⟩ \left \langle p \right \rangle ⟨p⟩=0。与定态有关还有很多性质，我们后面在讲解。
哈密顿量 H = p 2 2 m + V ( x ) = − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 + V ( x ) 哈密顿量H=\frac{p^{2} }{2m} +V(x)=-\frac{\hbar ^{2} }{2m} \frac{\partial^{2} }{\partial x^{2} } +V(x) 哈密顿量H=2mp2+V(x)=−2mℏ2∂x2∂2+V(x)
那么定态薛定谔方程可以写为
H ^ ϕ = E ϕ \hat{H} \phi =E\phi H^ϕ=Eϕ
哈密顿量就对应能量 E E E，也就是我们对哈密顿量求期望就可以得到粒子能量的期望值。假如粒子处于一个定态，也就是粒子满足定态薛定谔方程，那么有如下关系。
当然一般情况下粒子所处的态并不是定态，而是一系列定态的线性叠加。
1.6束缚态与散射态
1.7德尔塔函数以及傅里叶变换
1.8一维势场
常见的一维势场有一维无限深势阱模型，有限深势阱模型，以及德尔塔函数势，谐振子势能，还有自由粒子模型。下面主要讨论一维无限深势阱，德尔塔势中束缚态，谐振子势。
一维无限深势阱
δ势
散射
谐振子
1.9态叠加原理
1.10概率流密度
1.11一维定态的一些问题
经过以上讨论我们做一个习题巩固
免责声明：本站所有文章内容,图片，视频等均是来源于用户投稿和互联网及文摘转载整编而成，不代表本站观点，不承担相关法律责任。其著作权各归其原作者或其出版社所有。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,侵犯到您的权益，请在线联系站长,一经查实,本站将立刻删除。 本文来自网络,若有侵权，请联系删除，如若转载，请注明出处：https://haidsoft.com/138421.html
