高等数学II-知识点（3）——广义积分、定积分几何应用、定积分求曲线弧长、常微分方程、可分离变量的微分方程、一阶微分方程-齐次方程、一阶线性微分方程

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广义积分

要考虑无穷区间上的“积分”，或是无界函数的“积分”。

无穷区间上的积分

设函数f(x)定义在 $[a,+\infty )$ 上，且在任意一个有限区间[a,b] (b>a) 上可积，我们称

$\underset{b \to +\infty }{\lim}\int_{a}^{b}f(x)dx$

为函数f(x)在无穷区间 $[a,+\infty )$ 上的广义积分。

记作 $\int_{a}^{+\infty }f(x)dx$ ，即

$\int_{a}^{+\infty }f(x)dx=\underset{b \to +\infty }{\lim}\int_{a}^{b}f(x)dx$

无界函数的广义积分（瑕积分）

设对任意0″>，且a”>，f(x)在区间 $[a,b-\varepsilon ]$ 上可积，又 $\underset{x \to b}{\lim}f(x)= \infty$ ，（b为瑕点），则称极限

$\underset{\varepsilon \to 0^+}{\lim}\int_{a}^{b-\varepsilon }f(x)dx$

为无界函数f(x)在区间[a,b)上的瑕积分，即

1. $\int_{a}^{b}f(x)dx=\underset{\varepsilon \to0^+}{\lim}\int_{a}^{b-\varepsilon }f(x)dx$

若极限存在，则称瑕积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 收敛，并称该极限值为瑕积分的值；否则称瑕积分发散。

或2. $\int_{a}^{b}f(x)dx=\underset{A \to 0^-}{\lim}\int_{a+A}^{b}f(x)dx$

注意： $\varepsilon$ 表示一个无限接近0的很小很小的正数。

定积分几何应用

定积分微元法

例题

旋转体的体积、侧面积

求由曲线y=f(x)及直线x=a,x=b与x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所围成的旋转体体积。

在[a,b]任取一个微小区间[x,x+dx]，对应该小区间的小薄片可以近似于以f(x)为半径，以dx为高的薄片圆柱体。

从而，体积微元， $dV=\pi y^2dx=\pi f^2(x)dx$

所以，该旋转体的体积为 $V=\pi \int_{a}^{b}f^2(x)dx$

求旋转体的薄克法

求旋转体的侧面积

$\Delta S\approx 2\pi yds$

定积分求曲线弧长

分割，化曲为直，最后再结合勾股定理。即，

$\begin{matrix} ds &= &\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ &= &\sqrt{(dx)^2}+(\frac{dy}{dx})^2\cdot dx^2 \\ &= &dx\cdot \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ &= &\sqrt{1+y'^2} dx\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}$

常微分方程

基本概念

含有未知函数导数（或微分）的方程称为微分方程。若微分方程的未知函数仅含有一个自变量，则称为常微分方程。

微分方程中所含未知函数的导数（或微分）的最高阶数称为该微分方程的阶数。

解

如果函数y=f(x)满足一个微分方程，则称此函数为该微分方程的解。

通解

如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称这样的解为通解。

例：，这样的微分方程的解中要出现 C_1,C_2 才能称为通解。

特解

在通解中给任意常数以确定的值或根据所给条件确定通解中的任意常数而得到的解称为特解。

可分离变量的微分方程

例如： $\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\Rightarrow \frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx$

解法：两边同时积分 $\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$

得通解

一阶微分方程-齐次方程

求的通解

先化成齐次方程的形式， $[1+(\frac{y}{x})^2]dx=\frac{y}{x}dy$

写出y’（如果是 $\frac{x}{y}$ 的形式，则改为x’，即 $u=\frac{x}{y},x'=u+u'y$ ）

$[1+(\frac{y}{x})^2]\frac{dx}{dx}=\frac{y}{x}\frac{dy}{dx}\Rightarrow 1+(\frac{y}{x})^2=\frac{y}{x}\cdot y'$

令 $u=\frac{y}{x}$ ，则，代入原方程，得

$1+u^2=u\cdot (u+xu')\Rightarrow 1+u^2=u^2+xu\cdot u'$

化简，分离变量，得 $\frac{1}{x}dx=u\cdot du$ ,两边同时积分，求出即可。

特殊情况

$\frac{dy}{dx}=f(ax+by+C)$ ，这种情况下就令

例：

设 u=x-y+1 ，

则

$\therefore 1-u'=sin^2u,cos^2u=u',\frac{1}{cos^2u}du=dx$

例： $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x-y}+1$ ，令 u=x-y

例： $\frac{dy}{dx}=(x+y)^2$ ，令 u=x+y

一阶线性微分方程

end

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广义积分

无穷区间上的积分

无界函数的广义积分（瑕积分）

定积分几何应用

定积分微元法

旋转体的体积、侧面积

定积分求曲线弧长

常微分方程

基本概念

解

通解

特解

可分离变量的微分方程

一阶微分方程-齐次方程

一阶线性微分方程

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