全错位排序

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简介

全错位排列被著名数学家欧拉(Leonhard Euler，1707－1783)称为“组合数论的一个妙题”的“装错信封问题”的两个特例。

公式证明
n个相异的元素排成一排 $a_1,a_2,…,a_n$,则$a_i$ 不在第i位的排列数为：
证明：
设1，2，…，n的全排列$t_1,t_2,…,t_n$ 的集合为I，而使$t_i=i$ 的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n)，
则$D_n=|I|-|A1\cup A2\cup … \cup A_n|$
所以$D_n=n!-|A1\cup A2\cup … \cup A_n|$
注意到$|A_i|=(n-1)!$,
$|A_i \cap A_j|=(n-2)!$,…,$|A_1 \cap A_2 \cap … \cap A_n|=0!=1$
由容斥原理：
$D_n=n!-|A1\cup A2\cup … \cup A_n|=n!-C_n^1(n-1)!+C_n^2(n-2)!-C_n^3(n-3)!!+…+(-1)^nC_n^n*0!=n!(1-1/1!+1/2!-…+(-1)^n/n!)$

应用

1、简单排列

2、递推公式

2.1递推公式
用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：
（1）b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有f(n-2)种错装法。
（2）b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）(n-1 )份信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有f(n-1)种。

总之在a装入B的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此:

2.2概率和极限
有n封不同的信，和n个信封印上了相应的地址。将这n封信放入n个信封中。
A）求至少有一封信刚好放进正确信封中的概率pn

B）当n趋向于无穷大时 ，pn的极限是多少？

大家可以想象一下当时的气氛之热烈，毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀！不过，正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾，这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖！——即上述信封全都装错

我的神、上帝以及老天爷呀，怎么会这样呢？

不过，先不要激动，现在问题来了，你能计算一下发生这种情况的概率吗？

不会算？难道你也想以悲剧结尾？

Input
输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(1 < < <script type=”math/tex” id=”MathJax-Element-2026″><</script>n <= <= <script type=”math/tex” id=”MathJax-Element-2027″><=</script>20),表示参加抽奖的人数。
Output
对于每个测试实例，请输出发生这种情况的百分比，每个实例的输出占一行, 结果保留两位小数(四舍五入)，具体格式请参照sample output。
Sample Input
1 2
Sample Output
50%

#include<iostream> using namespace std; int main() { int c,n,i; //定义为double型就不需要使用long long，同时输出不需要转换类型 double b[21]={ 
  0,1,2,6,24,120,720},a[21]={ 
  0,0,1,2}; //计算全错位排列数 for(i=4;i<21;i++) { //递推公式f(0)=0;f(1)=0;f(2)=1;f(3)=2； a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]); } //计算阶乘 for(i=7;i<21;i++) { b[i]=i*b[i-1]; } cin>>c; while(c--) { cin>>n; //因为要输出的是百分比 printf("%.2lf%%\n",100*a[n]/b[n]); //输出用printf比cout方便得多  } return 0; }

#include <iostream>  #include <cstdio>  #include <cstring>  #include <string>  #include <algorithm>  #include <cstdlib>  using namespace std; int main (){ int m; __int64 C[30][30],wrongqueue[15]={ 
  0,0,1,2};//C[][]为组合，wrongqueue为全错位排列 [0]用不到  for(int i=1;i<=25;i++) { C[i][1]=i; C[i][0]=1; for(int j=2;j<=i;j++) { C[i][j]=C[i][j-1]*(i-j+1)/j; } } //全错位排列  for(int i=3;i<=12;i++) wrongqueue[i]=(i-1)*(wrongqueue[i-1]+wrongqueue[i-2]); scanf("%d",&m); while(m!=0) { __int64 sum=0; if(m%2==0) for(int i=m/2;i<m;i++) sum=sum+C[m][i]*wrongqueue[m-i]; else for(int i=m/2+1;i<m;i++) sum=sum+C[m][i]*wrongqueue[m-i]; printf("%I64d\n",sum+1); scanf("%d",&m); } return 0; }

#include <stdio.h>  #include <stdlib.h>  #include <string.h>  #include <iostream>  #include <math.h>  using namespace std; int a[21]; double PaC(int n, int m) //Permutation and combination.  { double s=1,i; //小技巧,doulbe型的定义  for(i=0;i<m;i++) s*=(n-i)/(i+1); return s; } void init() //错排的序列  { int i; a[0]=0;a[1]=0;a[2]=1; for(int i=3;i<=21;i++) a[i]=(a[i-1]+a[i-2])*(i-1); return ; } int main() { int N,i; double sum; init(); while(~scanf("%d",&N),N) { int m; sum=0; if(N%2==0) m=N/2; else m=N/2+1; for(i=m;i<N;i++) sum+=PaC(N, i)*a[N-i]; //Cnm*a[N-m];即从中选出m个正确的，则有n-m个错排的。根据分步计数原理可知。  printf("%lld\n",(long long int)(sum+1));//  } return 0; }