解析几何学习笔记

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文章目录

• 解析几何
• • 2.1坐标法
  • • 定义、公式与定理
    • 解题方法
    • 例题
    • 题型
  • 2.2直线及其方程
  • • 定义、公式与定理
    • • 直线的倾斜角与斜率
      • 直线的方程
      • 两条直线的位置关系
      • 点到直线距离
    • 解题方法
    • 例题
    • 题型
  • 2.3圆及其方程
  • • 定义、公式与定理
    • • 圆的方程
      • 直线与圆的位置关系
      • 圆与圆位置关系
      • 引申结论
    • 解题方法
    • 例题
    • 题型
  • 2.4曲线与方程
  • • 定义、公式与定理
    • 解题方法
    • 例题
    • 题型
  • 2.5椭圆及其方程
  • • 定义、公式及定理

解析几何

回whk了$QwQ$

2.1坐标法

定义、公式与定理

• 1.平面直角坐标系内两点间距离公式：$$|AB|=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$
• 2.中点坐标公式：$$M(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$$

解题方法

• 1.坐标法：通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决了问题

例题

• 1.已知线段$AB$的一端点$A(x_1,y_1)$以及中点$M(x_3,y_3)$,求另一端点$B(x_2,y_2)$
  $$\begin{gathered} \frac{x_1+x_2}{2}=x_3 \\ \therefore x_2=2x_3-x_1 \\ 同理可得y_2=2y_3-y_1 \\ \therefore B(2x_3-x_1,2y_3-y_1) \end{gathered}$$
  由上题可得引申结论： 已知两点中一点$A(x_1,y_1)$以及中点$M(x_3,y_3)$，
  可得另外一点$B(2x_3-x_1,2y_3-y_1)$
  
  
  
• 2.已知$ABCD$是一个长方形，且$M$是$ABCD$所在平面上任意一个点，
  求证：$A{M}^2+C{M}^2=B{M}^2+D{M}^2$
  $证明：$
  $$\begin{gathered} 设A(x_1,y_1),B(x_1,y_2),C(x_2,y_2),D(x_2,y_1),M(x_3,y_3) \\ A{M}^2+C{M}^2=(x_3-x_1{)}^2+(y_3-y_1{)}^2+(x_3-x_2{)}^2+(y_3-y_2{)}^2 \\ B{M}^2+D{M}^2=(x_3-x_1{)}^2+(y_3-y_2{)}^2+(x_3-x_2{)}^2+(y_3-y_1{)}^2 \\ \therefore A{M}^2+C{M}^2=B{M}^2+D{M}^2 \end{gathered}$$
  $Q.E.D.$
  由上题可得引申结论： 见题面
  
  
  
  
  
• 3.书P70习题2-1C-2(2)
  证明过程略，可得引申结论： 当转折点在以两点为对角线端点形成的矩形上或矩形内部时，两点间曼哈顿距离等于两点到转折点曼哈顿距离之和
  

题型

• 1.对于距离和中点公式的基础应用
• 2.已知一函数以及该函数与另一函数的对称关系，求未知函数
• 3.证明一定关系

2.2直线及其方程

斜率优化先修课

定义、公式与定理

直线的倾斜角与斜率

• 1.设直线斜率为k，直线倾斜角为$\theta$，则有$$k=\tan \theta =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x_1\ne x_2)$$
• 2.如果$\vec{a}$为直线$l$的一个方向向量，那么对于任意的实数$\lambda \ne 0$，向量$\lambda \vec{a}$都是$l$的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量一定共线
• 3.如果$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是直线$l$上两个不同的点，则$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$是直线$l$的一个方向向量
• 4.$\theta$为直线$l$的倾斜角，则$\overrightarrow{OP}=(\cos \theta ,\sin \theta )$一定是直线$l$的一个方向向量
• 5.由上述结论可得出$(1,k),(\lambda \cos \theta ,\lambda \sin \theta )$或诸如此类均为直线$l$的方向向量
• 6.已知$\vec{a}=(u,v)$为直线$l$的一个方向向量，则：
  当$u=0$时，显然直线$l$的斜率不存在，倾斜角为$90^{\circ }$
  当$u\ne 0$时，直线$l$的斜率是存在的，可得$$k=\tan \theta =\frac{u}{v}$$
  
  
• 7.一般的，如果表示非零向量$\vec{v}$的有向线段所在直线与直线$l$垂直，则称向量$\vec{v}$为直线$l$的一个法向量

直线的方程

• 1.直线$l$的方程记作$l:F(x,y)=0$
• 2.如果直线$l$的斜率不存在，则直线$l$的方程为$$x=x_0$$
• 3.点斜式方程：$$y-y_0=k(x-x_0)$$
• 4.斜截式方程：$$y=kx+b$$
• 5.两点式方程：$$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}(x_2-x_1\ne 0,y_2-y_1\ne 0)$$
• 6.截距式方程：$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a\ne 0,b\ne 0)$$
• 7.一般式方程：$$Ax+By+C=0(A^2+B^2\ne 0)$$
• 8.$\vec{v}=(A,B)$为直线$Ax+By+C=0$的一个法向量

两条直线的位置关系

• 1.若设直线$l_1:y=k_{1}x+b_1,l_2:y=k_{2}x+b_2$，则
  $$\begin{gathered} l_1与l_2相交\iff k_1\ne k_2 \\ {l}_1与l_2平行\iff k_1=k_2且b_1\ne b_2 \\ {l}_1与l_2重合\iff k_1=k_2且b_1=b_2 \end{gathered}$$
  
• 2.若设直线$l_1:A_{1}x+B_{1}y+C_1=0,l_2:A_2+B_2+C_2=0$，可知$\overrightarrow{v_1}=(A_1,B_1),\overrightarrow{v_2}=(A_2,B_2)$分别为$l_1,l_2$的法向量，则
  $$\begin{gathered} l_1与l_2相交\iff A_1{B}_2\ne A_2{B}_1 \\ {l}_1与l_2平行\iff A_1{B}_2=A_2{B}_1且C_1\ne C_2 \\ {l}_1与l_2重合\iff A_1{B}_2=A_2{B}_1且C_1=C_2 \end{gathered}$$
  
• 3.若设直线$l_1:y=k_{1}x+b_1,l_2:y=k_{2}x+b_2$，则
  $$l_1\perp l_2\iff k_1{k}_2=-1$$
  
• 4.若设直线$l_1:A_{1}x+B_{1}y+C_1=0,l_2:A_2+B_2+C_2=0$，可知$\overrightarrow{v_1}=(A_1,B_1),\overrightarrow{v_2}=(A_2,B_2)$分别为$l_1,l_2$的法向量，则
  $$l_1\perp l_2\iff A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$$
  

点到直线距离

• 1.点到直线距离$$d=\frac{|A{x}_0+B{x}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|-C-(A{x}_0+B{x}_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
• 2.平行直线间距离$$d=\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

解题方法

• 1.可以借助点到直线距离求两条平行直线间的距离

例题

题型

2.3圆及其方程

计算几何既视感

定义、公式与定理

圆的方程

• 1.如果平面直角坐标系中$\odot C$的圆心为$C(a,b)$，半径为$r(r>0)$，则可得圆的标准方程为$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$
• 2.判断某一点$M(x,y)$在圆外的充要条件为$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2>r^2$$
  判断其在圆内的充要条件为$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2<r^2$$
  
• 3，若令$D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2-r^2$，则这个方程可以表示为$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$$
• 4.一般地，
  $$\begin{gathered} x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \\ \iff (x+\frac{D}{2}{)}^2+(y+\frac{E}{2}{)}^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4} \end{gathered}$$
  因此，
  （1）当$D^2+E^2-4F>0$时，方程是以$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$为圆心，以$\frac{D^2+E^2-4F}{4}$为半径的圆的方程
  （2）当$D^2+E^2-4F\le 0$时，原方程不是圆的方程
  
  
  
  

直线与圆的位置关系

• 1.设$\odot C$的半径为$r$，圆心$C$到直线$l$的距离为$d$，则
  $$\begin{gathered} 直线l与\odot C相交\iff d<r \\ 直线l与\odot C相切\iff d=r \\ 直线l与\odot C相离\iff d>r \end{gathered}$$
  
• 2.设$\odot C$的方程为$x^2+y^2=r^2$，直线$l$的方程为$y=kx+b$，则
  $$\begin{gathered} 直线l与\odot C相交\iff r>\frac{|b|}{\sqrt{1+k^2}} \\ 直线l与\odot C相切\iff r=\frac{|b|}{\sqrt{1+k^2}} \\ 直线l与\odot C相离\iff r<\frac{|b|}{\sqrt{1+k^2}} \end{gathered}$$
  

圆与圆位置关系

• 1.用两个圆的半径以及圆心距离判断两个圆的位置关系
  $$\begin{gathered} 两个圆外离\iff d>r_1+r_2 \\ 两个圆外切\iff d=r_1+r_2 \\ 两个圆相交\iff |r_1-r_2|<d<r_1+r_2 \\ 两个圆内切\iff d=|r_1-r_2| \\ 两个圆内含\iff d<|r_1-r_2| \end{gathered}$$
  

引申结论

解题方法

• 1.课本仅提供了当圆心为原点时与直线的关系的计算方法，当圆心不在直线上时，可以选择判断距离，也可以选择将坐标系原点移到圆心上，求出此时直线解析式
• 2.用圆的方程能轻松求出圆心坐标，那么对于圆与圆位置关系也好求了吧

例题

题型

2.4曲线与方程

定义、公式与定理

解题方法

• 1.求动点$M$轨迹方程的一般步骤
  （1）设动点$M$的坐标为$(x,y)$（如果没有平面直角坐标系，需先建立）
  （2）写出$M$要满足的几何条件，并将该几何条件用$M$的坐标表示出来
  （3）化简并检验所得方程是否为$M$的轨迹方程
  
  
  

例题

题型

• 1.轨迹方程有关

2.5椭圆及其方程

定义、公式及定理