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1.从泰勒展开到勒让德再到球谐函数
1.1引力位的泰勒级数表达
引力位表达式为
V = G ∫ M 1 ρ d m V = G \int _ { M } \frac { 1 } { \rho } d m V=G∫Mρ1dm
其中
ρ 2 = r 2 + R 2 − 2 R r cos ψ = r 2 ( 1 + ( R r ) 2 − 2 R r cos ψ ) \rho ^ { 2 } = r ^ { 2 } + R ^ { 2 } – 2 R r \cos \psi = r ^ { 2 } ( 1 + ( \frac { R } { r } ) ^ { 2 } – 2 \frac { R } { r } \cos \psi ) ρ2=r2+R2−2Rrcosψ=r2(1+(rR)2−2rRcosψ)
令
l = ( R r ) 2 − 2 R r cos ψ l = ( \frac { R } { r } ) ^ { 2 } – 2 \frac { R } { r } \cos \psi l=(rR)2−2rRcosψ
则原来的距离倒数为
1 ρ = 1 r ( 1 + l ) − 1 2 \frac { 1 } { \rho } = \frac { 1 } { r } ( 1 + l ) ^ { – \frac { 1 } { 2 } } ρ1=r1(1+l)−21
对其进行泰勒展开
f ( x ) = f ( x 0 ) 0 ! + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) { f ( x ) } = \frac { f ( x _ { 0 } ) } { 0 ! } + \frac { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } { 1 ! } ( x – x _ { 0 } ) + \frac { f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) } { 2 ! } ( x – x _ { 0 } ) ^ { 2 } + \cdots +\frac { f ^ { ( n ) } ( x _ { 0 } ) } { n ! } ( x – x _ { 0 } ) ^ { n }+R_n(x) f(x)=0!f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)
将 1 ρ \frac{1}{\rho} ρ1在 l = 0 l=0 l=0处展开得到
1 ρ = 1 r ( 1 + l ) − 1 2 = 1 r ( 1 − 1 2 l + 3 8 l 2 − 5 16 l 3 + ⋯ ) \frac { 1 } { \rho } = \frac { 1 } { r } ( 1 + l ) ^ { – \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 1 } { r } ( 1 – \frac { 1 } { 2 } l + \frac { 3 } { 8 } l ^ { 2 } – \frac { 5 } { 1 6 } l ^ { 3 } + \cdots ) ρ1=r1(1+l)−21=r1(1−21l+83l2−165l3+⋯)
引力位级数表达为
V = G r ∫ ( 1 − 1 2 l + 3 8 l 2 − 5 16 l 3 + ⋯ ) d m V = \frac { G } { r } \int ( 1 – \frac { 1 } { 2 } l + \frac { 3 } { 8 } l ^ { 2 } – \frac { 5 } { 1 6 } l ^ { 3 } + \cdots ) d m V=rG∫(1−21l+83l2−165l3+⋯)dm
将 l l l表达式代入得
V = G r ∫ ( 1 − 1 2 [ ( R r ) 2 − 2 R r cos ψ ] + 3 8 [ ( R r ) 2 − 2 R r cos ψ ] 2 − 5 16 [ ( R r ) 2 − 2 R r cos ψ ] 3 + ⋯ ) d m V= \frac { G } { r } \int ( 1 – \frac { 1 } { 2 } \left[ ( \frac { R } { r } ) ^ { 2 } – 2 \frac { R } { r } \cos \psi \right] + \frac { 3 } { 8 } \left[ ( \frac { R } { r } ) ^ { 2 } – 2 \frac { R } { r } \cos \psi \right] ^ { 2 }- \frac { 5 } { 1 6 } \left[ ( \frac { R } { r } ) ^ { 2 } – 2 \frac { R } { r } \cos \psi \right] ^ { 3 } + \cdots ) d m V=rG∫(1−21[(rR)2−2rRcosψ]+83[(rR)2−2rRcosψ]2−165[(rR)2−2rRcosψ]3+⋯)dm
1.2 泰勒级数到勒让德多项式
按照 R r \frac{R}{r} rR整理得
V = v 0 + v 1 + v 2 + v 3 + ⋯ = ∑ i = 0 n v i V = v _ { 0 } + v _ { 1 } + v _ { 2 } + v _ { 3 } + \cdots = \sum _ { i = 0 } ^ { n } v _ { i } V=v0+v1+v2+v3+⋯=i=0∑nvi
其中
v 0 = G r ∫ M d m v _ { 0 } = \frac { G } { r } \int _ { M } d m v0=rG∫Mdm
v 1 = G r ∫ M R r cos ψ d m v _ { 1 } = \frac { G } { r } \int _ { M } \frac { R } { r } \cos \psi d m v1=rG∫MrRcosψdm
v 2 = G r ∫ M ( R r ) 2 ( 3 2 cos 2 ψ − 1 2 ) d m v _ { 2 } = \frac { G } { r } \int _ { M } ( \frac { R } { r } ) ^ { 2 } ( \frac { 3 } { 2 } \cos ^ { 2 } \psi – \frac { 1 } { 2 } ) d m v2=rG∫M(rR)2(23cos2ψ−21)dm
当然，零阶项、一阶项、二阶项等的表达都有其实际的物理意义，此处暂不作展开。进行代换有
P 0 ( cos ψ ) = 1 P _ { 0 } ( \cos \psi ) = 1 P0(cosψ)=1
P 1 ( cos ψ ) = cos ψ P _ { 1 } ( \cos \psi ) = \cos \psi P1(cosψ)=cosψ
P 2 ( cos ψ ) = 3 2 cos 2 ψ − 1 2 P _ { 2 } ( \cos \psi ) = \frac { 3 } { 2 } \cos ^ { 2 } \psi – \frac { 1 } { 2 } P2(cosψ)=23cos2ψ−21
于是就有（类似）勒让德表达。直接给出 P n ( cos ψ ) P _ { n } ( \cos \psi ) Pn(cosψ)一般表达式
P n ( cos ψ ) = 1 2 n n ! d n ( cos 2 ψ − 1 ) n d ( cos ψ ) n P _ { n } ( \cos \psi ) = \frac { 1 } { 2 ^ { n } n ! } \frac { d ^ { n } ( \cos ^ { 2 } \psi – 1 ) ^ { n } } { d ( \cos \psi ) ^ { n } } Pn(cosψ)=2nn!1d(cosψ)ndn(cos2ψ−1)n
当已知一阶项和二阶项时，有递推式
P n + 1 ( x ) = 2 n + 1 n + 1 x P n ( x ) − n n + 1 P n − 1 ( x ) , x = cos ψ P _ { n + 1 } ( x ) = \frac { 2 n + 1 } { n + 1 } x P _ { n } ( x ) – \frac { n } { n + 1 } P _ { n – 1 } ( x ),x = \cos \psi Pn+1(x)=n+12n+1xPn(x)−n+1nPn−1(x),x=cosψ
于是，用勒让德公式表示第 n \bm n n阶地球引力位公式为
V n = G r ∫ ( R r ) n P n ( cos ψ ) d m V _ { n } = \frac { G } { r } \int ( \frac { R } { r } ) ^ { n } P _ { n } ( \cos \psi ) d m Vn=rG∫(rR)nPn(cosψ)dm
1.3 勒让德多项式到缔合勒让德和球谐函数
由于 ψ \psi ψ角余弦是M点和S点的直角坐标的函数。也可以用球面三角学公式表示为两点的球面坐标函数，经过变换之后，即可得到 n n n阶重力位的计算公式
V n = 1 r n + 1 [ A n P n ( cos θ ) + ∑ K = 1 n ( A n K cos K λ + B n K sin K λ ) P n K ( cos θ ) ] V _ { n } = \frac { 1 } { r ^ { n + 1 } } \left[ A _ { n } P _ { n } ( \cos \theta ) + \sum _ { K = 1 } ^ { n } ( A _ { n } ^ { K } \cos K \lambda + B _ { n } ^ { K } \sin K \lambda ) P _ { n } ^ { K } ( \cos \theta ) \right] Vn=rn+11[AnPn(cosθ)+K=1∑n(AnKcosKλ+BnKsinKλ)PnK(cosθ)]
其中， θ \theta θ为极距， ϕ + θ = 90 ° \phi+\theta=90\degree ϕ+θ=90°， P n ( cos θ ) P_n(\cos\theta) Pn(cosθ)称为带球函数， P n K ( cos θ ) P_n^K(\cos\theta) PnK(cosθ)称为缔合勒让德函数。
V = ∑ n = 0 ∞ V n = ∑ n = 0 ∞ 1 r n + 1 [ A n P n ( cos θ ) + ∑ K = 1 n ( A n K cos K λ + B n K sin K λ ) P n K ( cos θ ) ] V = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } V _ { n } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { r ^ { n + 1 } } \left[ A _ { n } P _ { n } ( \cos \theta ) + \sum _ { K = 1 } ^ { n } ( A _ { n } ^ { K } \cos K \lambda + B _ { n } ^ { K } \sin K \lambda ) P _ { n } ^ { K } ( \cos \theta ) \right] V=n=0∑∞Vn=n=0∑∞rn+11[AnPn(cosθ)+K=1∑n(AnKcosKλ+BnKsinKλ)PnK(cosθ)]
其中， cos K λ P n K ( cos θ ) \cos K\lambda P_n^K(\cos\theta) cosKλPnK(cosθ)和 sin K λ P n K ( cos θ ) \sin K\lambda P_n^K(\cos\theta) sinKλPnK(cosθ)称为缔合球函数。
K = n K=n K=n时称扇球函数， K ≠ n K \neq n K=n时称田球函数
2.低阶项的物理意义
2.1零阶项
v 0 = G r ∫ M d m = G M r v _ { 0 } = \frac { G } { r } \int _ { M } d m = \frac { G M } { r } v0=rG∫Mdm=rGM
解释和应用： v 0 v_0 v0就是把地球质量集中到地球质心处时的点的位。也就是说， 将地球看作为一个质点时，与其距离为𝑟点处的引力位为 v 0 v_0 v0。
2.2一阶项
cos ψ = R ⋅ r R r = x x m + y y m + z z m R r \cos \psi = \frac { \bm R \cdot \bm r } { R r } = \frac { x x _ { m } + y y _ { m } + z z _ { m } } { R r } cosψ=RrR⋅r=Rrxxm+yym+zzm
v 1 = G r ∫ M R r cos ψ d m = G r ∫ M R r x x m + y y m + z z m R r d m = G r 3 ∫ M ( x x m + y y m + z z m ) d m v _ { 1 } = \frac { G } { r } \int _ { M } \frac { R } { r } \cos \psi d m = \frac { G } { r } \int _ { M } ^ { }\frac{R}{r} \frac { x x _ { m } + y y _ { m } + z z _ { m } } { R r } d m = \frac { G } { r ^ { 3 } } \int _ { M } ( x x _ { m } + y y _ { m } + z z _ { m } ) d m v1=rG∫MrRcosψdm=rG∫MrRRrxxm+yym+zzmdm=r3G∫M(xxm+yym+zzm)dm
= G r 3 ( ∫ M x x m d m + ∫ M y y m d m + ∫ M z z m d m ) = \frac { G } { r ^ { 3 } } ( \int _ { M } ^ { } x x _ { m } d m + \int _ { M } ^ { } y y _ { m } d m + \int _ { M } ^ { } z z _ { m } d m ) =r3G(∫Mxxmdm+∫Myymdm+∫Mzzmdm)
物质质心坐标定义为
x 0 = ∫ M x m d m M , y 0 = ∫ M y m d m M , z 0 = ∫ M z m d m M x _ { 0 } = \frac { \int _ { M } ^ {} x _ { m } d m } { M } , y _ { 0 } = \frac { \int _ { M } ^ {} y _ { m } d m } { M } , z _ { 0 } = \frac { \int _ { M } ^ {} z _ { m } d m } { M } x0=M∫Mxmdm,y0=M∫Mymdm,z0=M∫Mzmdm
因为坐标原点置于地球的质心，所以
v 1 = 0 v _ { 1 } = 0 v1=0
解释和应用： 卫星的三维位置 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)是在地心坐标系下给出的。若卫星反演出的地球重力场的一阶项 v 1 ≠ 0 v _ { 1 } \neq 0 v1=0，那么，则意味着所用的三维坐标系的原点不在地球质量中心，坐标系的原点需要重新进行标定。卫星在大气层外飞行，所以根据其确定的地球质心位置，是包含整个大气、海洋在内的地心位置。
2.3二阶项
v 2 = G r ∫ M ( R r ) 2 ( 3 2 cos 2 ψ − 1 2 ) d m v _ { 2 } = \frac { G } { r } \int _ { M } ( \frac { R } { r } ) ^ { 2 } ( \frac { 3 } { 2 } \cos ^ { 2 } \psi – \frac { 1 } { 2 } ) d m v2=rG∫M(rR)2(23cos2ψ−21)dm
R 2 = x m 2 + y m 2 + z m 2 R ^ { 2 } = x _ { m } ^ { 2 } + y _ { m } ^ { 2 } + z _ { m } ^ { 2 } R2=xm2+ym2+zm2
cos ψ = R ⋅ r R r = x x m + y y m + z z m R r \cos \psi = \frac { \bm R \cdot \bm r } { R r } = \frac { x x _ { m } + y y _ { m } + z z _ { m } } { R r } cosψ=RrR⋅r=Rrxxm+yym+zzm
替换可得
v 2 = G r ∫ M ( R r ) 2 ( 3 2 ( x x m + y y m + z z m R r ) 2 − 1 2 ) d m v _ { 2 } = \frac { G } { r } \int _ { M } ( \frac { R } { r } ) ^ { 2 } ( \frac { 3 } { 2 } ( \frac { x x _ { m } + y y _ { m } + z z _ { m } } { R r } ) ^ { 2 } – \frac { 1 } { 2 } ) d m v2=rG∫M(rR)2(23(Rrxxm+yym+zzm)2−21)dm
v 2 = f 2 r 5 [ ( y 2 + z 2 − 2 x 2 ) A + ( x 2 + z 2 − 2 y 2 ) B + ( x 2 + y 2 − 2 z 2 ) C + 6 y z D + 6 x z E + 6 x y F ] v _ { 2 } = \frac { f } { 2 r ^ { 5 } } \left[ ( y ^ { 2 } + z ^ { 2 } – 2 x ^ { 2 } ) A + ( x ^ { 2 } + z ^ { 2 } – 2 y ^ { 2 } ) B +( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } – 2 z ^ { 2 } ) C + 6 y z D + 6 x z E + 6 x y F \right] v2=2r5f[(y2+z2−2x2)A+(x2+z2−2y2)B+(x2+y2−2z2)C+6yzD+6xzE+6xyF]
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