经典力学总结

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经典力学总结

一、数学知识

1.1 向量知识

$$\frac{d(\vec{a}\cdot \vec{b})}{dt}=\vec{a}\cdot \frac{\vec{b}}{dt}+\vec{b}\cdot \frac{\vec{a}}{dt}$$

$$\frac{d(\vec{a}\times \vec{b})}{dt}=\vec{a}\times \frac{\vec{b}}{dt}+\vec{b}\times \frac{\vec{a}}{dt}$$

$$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}=(\vec{c}\cdot \vec{a})\ast \vec{b}-(\vec{c}\cdot \vec{b})\ast \vec{a}$$

1.2 积分知识

$$I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^n\theta ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^n\theta$$

​ $I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$ $I_1=1$ $I_0=\frac{\pi }{2}$

二、质点运动学

2.1 经典力学速度合成公式

$$v(t)=v^{,}(t)+u(t)$$

​ $u(t)$ 是动系相对于静系的瞬时速度，简称之牵连速度。

2.2 角速度

$$\vec{v}=\vec{w}\times \vec{r}$$

​ 这个公式不仅能判别v的方向：将叉乘的第一个量的方向指向手心，四指向叉乘第二个量的方向弯曲，大拇指指的方向就是结果向量的方向。其实只要把这三个量写成一个环，那么任意两个量方向已知，就可以判定第三个量的方向。比如让r指向掌心，四指向v的方向弯曲，大拇指指的方向就是w的方向。

​ 直观理解：当顺时针转动时，$\vec{w}$ 的方向竖直向上；当逆时针转动时，方向竖直向下。

2.3 自然坐标系

​ $e_{\tau }$ 是单位切向量，$e_n$ 是单位法向量。对切向量 $e_{\tau }$ 求导会得到 $e_n$，但是对法向量 $e_n$ 求导，却会得到 $-e_{\tau }$。

三、牛顿力学的基本规律

3.1 力学相对性原理

​ 伽利略将其概括为力学规律对一切惯性系都是等价的，这会在最后被爱因斯坦推广为物理规律对一切惯性系都是等价的。

3.2 科里奥利力

$$F_c=2m\vec{v}\times \vec{w}=2m\overrightarrow{v_{\theta }}\times \vec{w}+2m\overrightarrow{v_r}\times \vec{w}$$

​ 首先应当明确，科氏力在现实中有诸多现象，但是为啥它这么给我感觉不自然呢？这是因为我总下意识的认为地面是一个惯性系，实际上地球不断自转，我们是处在一个转动的非惯性系下，就像在一个过山车上或者一个海盗船上，力学规律并不像在平地上那么自然，但是这就是事实。我们只要一相对地面移动，就会受到科氏力，这是事实。

四、动量变化定理与动量守恒

五、机械能变化定理和机械能守恒

5.1 保守力和保守力场中的势能

​ 做功与路径无关的力称为保守力，常见的保守力有重力、引力、弹力、库仑力。保守力做功也可描写为：沿任意闭合环路保守力做功为零。

​ 因为保守力做功的大小只与运动的起始和终止位置有关，所以我们对物体某一刻运动的描述（包括位置和速度）就可以概括出一个新的不变量，即动能和这个量的和，这个量被称为势能。势能和动能的和被称为机械能，就是我们寻找的那个守恒量。

​ 但是机械能不一定时时刻刻都是守恒的，因为在保守力场中运动的物体还可能受到非保守力的作用，比如摩擦力、推拉力、支持力，运动物体的机械能改变量等于非保守力所做的功，这被称为机械能变化定理。相应的，当物体运动时，不存在非保守力或者保守力不做功，那么机械能是守恒的，被称为机械能守恒定律。

5.2 三种宇宙速度

​ 应当有意识，第二和第三宇宙速度都是在机械能为0的情况下解出来的，只不过一个是相对于地球，一个是相对于太阳。那么在进一步讲，其实速度并不满足机械能为0，因为还有其他天体的引力势能，用第二宇宙速度脱离地球以后，飞船会被太阳的引力势能束缚，成为太阳系人造天体，用第三宇宙速度脱离太阳以后，飞船会被银河系其他天体束缚，成为银河系人造天体，有心力场可以叠加，势能也可以叠加。

5.3 恢复系数与约化质量

$$\Delta E_k=-(1-e^2)\frac{1}{2}\mu (v_{10}-v_{20}{)}^2$$

​ 这是一维对心正碰动能亏损的计算公式。

​ 其中 $e$ 是恢复系数，数值定义式如下，其数值仅有材料物性来决定，所以恢复系数可以用来度量材料的弹性，是一个小于等于1的数值，恢复系数为0.8的材料弹性要比恢复系数为0.6的材料弹性好。
$$e=\frac{v_1-v_0}{v_{20}-v_{10}}$$
​ $\mu$ 是约化质量，将多次出现在两体问题中。
$$\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$$

5.4 二维碰撞散射

​ 速度方向不同的两个质点的碰撞，或两个弹性球的非对心碰撞，将呈现散射图像，碰撞是必然共面的。

六、角动量变化定理与角动量守恒

6.1 角动量

​ 角动量被定义为位矢与动量的叉乘，应当注意到，角动量的方向是与角速度方向相同的。此外，还应知道，用角动量描述运动次序注意其是对哪个参考点而言的。
$$L=r\times mv$$

6.2 力矩

​ 力矩被定义为位矢与力的叉乘。存在力 $F$ 而 $M=0$ 的条件，可以是

• $r=0$
• $\alpha =0||\alpha =\pi$

​ 所以对于有心力场，参考点一般选为力心，这样保守力矩为0，较易分析。

6.3 角动量变化定理

$$dL=Mdt$$

​ 可以看到，角动量的改变量等于力矩对时间的积分，角动量对时间的微分等于力矩。当力矩为零时，角动量守恒。在运用角动量变化定理时，角动量与力矩必须是针对同一参考点而言的。

6.4 有心运动守恒

​ 凡两体相互作用力具有 $F\propto r^n{e}_r$ 形式，皆系有心力场。因为有心力场是一个保守力场，所以物体的机械能守恒，同时，有心力与位矢平行或反平行，所以角动量守恒。分析有心运动应该从这两个方程展开。

​ 角动量守恒具有两个推论：平面轨道、掠面速度不变。平面轨道是因为角动量的方向不变，所以轨道必须限制在一个平面内（这个平面包括速度和位矢）。掠面速度不变推导如下：
$$dS=\frac{1}{2}(r\sin \theta )vdt=v_{s}dt$$

$$v_s=\frac{1}{2}rv\sin \theta =\frac{1}{2m}rmv\sin \theta =\frac{1}{2m}|L|$$

七、质心力学定理

7.1 分析质点组运动的一种新视角

​ 首先着眼于把握质点组的总体运动，再分析各质点之间的相对运动。即我们将质点组的复杂运动分解为两种运动的叠加。质点组的质心及其运动就可以作为质点组总体运动的代表。

7.2 质点组动量、角动量变化定理

​ 一对内力的动量和和角动量和都为0。质点组的动量改变量等于合外力的冲量。质点组的角动量改变量等于合外力角冲量。

7.3 质心参考系

​ 质心系是随质心一起平动的参照系，一般选质心为参考点。质心系可能是一个惯性系，也可能是一个非惯性系。在质心系中，质心速度恒为0。引入质心参考系是为了分析的下一步，即用质点组概括宏观运动、然后各个质点相对质心分析。

7.4 质心动量定理

$$M{v}_c=\sum m_i{v}_i$$

​ 这个公式就是在假想在质心位置有一个等于质点组全部质量的质点，尽管不一定真的有。

​ 质心动量的改变量就等于合外力的冲量，如同将全部合外力合成一个力，作用于质量为 $\sum m_i$ 且在质心位置的质点上。

​ 在质心参考系下，质点组的动量恒为0。

7.5 质心动能定理

7.5.1 科尼希定理

​ 质点组的总动能等于质心动能与相对质心动能之和。
$$E_k=E_C+E_{rC}$$

7.5.2 两体动能公式

$$E_{rC}=\frac{1}{2}\mu v_r^2$$

​ 其中 $\mu$ 是约化质量，$v_r$ 是相对速度。

​ 用这个公式可以导出碰撞动能亏损公式。

7.6 质心角动量定理

7.6.1 质点组角动量等于质心角动量和相对质心角动量之和

​ 这个形式跟动能柯尼希定理的形式很像，但是与动量不同，动量的表述是：质点组的总动量等于质心动量。

7.6.2 质心角动量变化定理

​ 质心角动量的变化就等于合外力集中于质心时产生力矩的冲量，与单质点情况相同。

7.6.3 相对质心的角动量变化定理

$$d{L}_{rC}=M_{rC}dt$$

​ 也就是说，即使质心相对于惯性系有加速度，质心系非惯性系，公式依然成立。

八、刚体力学

8.1 刚体运动学

8.1.1 刚体运动的自由度

​ 用以确定对象运动位置的独立坐标的数目，简称为对象运动的自由度。物体运动的自由度m，决定了其独立的动力学微分方程的数目，一共有m个，每一个方程均是二阶微分方程，若运动被限制或者约束，其自由度就会减少，多一个约束条件，就减少一个自由度。

​ 对于刚体运动来说，其运动可以被拆解为平动和转动两部分，平动的部分可以用位置坐标（x，y，z）确定，就是3个自由度，转动的部分可以用三个旋转角度确定（想想SolidWorks里面的旋转），那么一共就是6个自由度。如果不是刚体的话，还有可能会更多，比如一个质点组，各个点之间不存在约束关系。

​ 但是我们去总结概括刚体运动时，会利用约束条件对其进行分类，大抵可以有以下几类：

• 定点转动：就是说对于转动，没有任何约束条件，刚体的转动自由度为3。
• 定轴转动：只能绕一个定轴转动，那么转动自由度降为1。
• 平面运动：不仅限制转动只能是定轴转动，还限制平动必须在平面中进行，也就是说平动自由度下降为2，总的自由度为3。

8.1.2 刚体的特性

​ 刚体有如下特性：

• 任意两点的速度矢量，在其连线方向的投影分量总是相等的。
• 刚体内部一对内力做功之和恒为0。
• 刚体的瞬时角速度存在唯一性，根源来自物体的刚性。

8.2 定轴转动惯量

8.2.1 转动惯量的定义

$$I=\sum R_i^2\Delta m_i$$

其中 $R_i$ 为质量元 $\Delta m_i$ 位置与轴的距离，可以看到，转动惯量是一个标量，它的大小与转轴和质量分布，也就是形状都有关系。离轴越远，转动惯量越大。

​ 我们利用转动惯量可以计算角动量沿转轴的分量：
$$L_z=Iw$$
这表明，定轴转动角动量的轴分量与角速度成正比，其比例系数为转动惯量。转动惯量对角动量分量的影响，如同惯性质量对动量的影响，转动惯量是对刚体在定轴转动时表现出的惯性的一种量度。

8.2.2 常见物体的转动惯量

• 圆环，以过圆心垂直于圆平面的轴： $m{R}^2$
• 圆盘，以过圆心垂直于圆平面的轴： $\frac{1}{2}m{R}^2$
• 球壳，以任一直径为轴： $\frac{2}{3}m{R}^2$
• 球体，以任一直径为轴： $\frac{2}{5}m{R}^2$
• 圆柱体，以过中心线一半且平行于地面的直线为轴： $\frac{1}{4}m{R}^2+\frac{1}{12}m{l}^2$

8.2.3 转动惯量计算公式

• 平行轴定理

  与质心轴平行的转轴，其相应的转动惯量 $I$ 与质心轴的转动惯量 $I_c$ 满足关系，其中 $d$ 为两轴之间的垂直距离，可以看到，在众多转轴中，那个通过质心轴的转动惯量最小，也就是说相同力矩，绕质心轴转动的角速度最大。
  $$I=I_c+m{d}^2$$
  

• 薄板正交定理

  针对质量呈面分布的定理，我们根据这个定理可以计算圆环和圆盘绕直径转动时的转动惯量：
  $$I_z=I_x+I_y$$
  

8.3 定轴转动定理

8.3.1 定轴转动定理

$$I\frac{dw}{dt}=M_z$$

​ 这个定理对偶于牛顿第二定律，表明定轴转动的角加速度正比于外力矩的轴分量 $M_z$ ，反比于刚体的转动惯量。应当注意到，沿轴分量的力矩只与 $F_{xy}$ 有关，呈以下关系：
$$M_z=R\times F_{xy}=|R{F}_{xy}\sin \alpha |e_R\times e_F$$
也就是说，可以用右手螺旋定则判断力矩的方向，而大小则是我们常说的力乘力臂，力臂是施力方向至轴的垂直距离。

8.3.2 轴承约束力

​ 转动物体受到的外力，既有外资的主动力F，也有被动的隐蔽的的轴承给予的力——约束力。只是约束力对力矩没有贡献，是因为其方向总是越轴距R反平行，用于提供向心力。尽管约束力不影响角动量守恒，但是它会使动量不在守恒。

8.3.3 定轴转动动能公式

$$E_k=\frac{1}{2}I{w}^2$$

8.3.4 动力学分析

​ 在我们补充了转动的分析公式后，我们就可以对转动的物体进行分析了，一般的题目需要求解的方程一般来自这么几个方面：

• 运动学：纯滚、角速度和线速度转换、角加速度和线加速度转换。
• 转动：一般为定轴转动定理。
• 牛顿受力分析：因为以刚体居多，所以大部分依靠质心力学定理。

8.3 进动与章动

​ 进动与章动不再是我们熟悉的定轴转动的讨论范畴了，而是一种定点转动

​ 我们可以认为人们是希望陀螺保持定轴转动的，而进动与章动可以看做造成陀螺由定轴转动变成定点转动的现象。

​ 角动量大的陀螺，它的定轴性就更好，就可以用来指示方向（角动量的方向）。所以想要造出精密的陀螺仪，应该有大质量，大密度，高转速的陀螺。