流体力学——漩涡运动

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有旋运动：

流体微团在旋转加速度作用下带漩涡的一种运动。

漩涡运动的基本概念

涡量用来描述流体微团的旋转运动。

定义：涡量和两倍的旋转角速度。

涡量是一个矢量，表示空间点的坐标和时间上的函数。

涡线：某一瞬时涡量场的一条曲线，曲线上任意一点的切线方向与该点流体微团的旋转角速度方向一致。

涡管：某一瞬时，在涡量场中取任意封闭曲线，通过曲线每一点做涡线，这些涡线构成的封闭的管形曲面叫涡管。

漩涡强度，也称涡通量：在微元涡管中，两倍旋转角速度与涡管断面面积的乘积称为微元涡管的涡通量（漩涡强度）。

$dJ=\Omega \cdot dA=2\omega _{n}dA$

$J=\int \int _{A}\Omega \cdot dA=2\int \int _{A}\omega _{n} \cdot dA$

速度环量：在流场的某封闭周线上，流体速度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量 $\Gamma$ 。

斯托克斯Stokes定理：在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围曲面面积的漩涡强度，即：

$\Gamma =\oint V\cdot dl=\int \int _{A}(\bigtriangledown \times v)\cdot dA=\int \int _{A}\Omega \cdot dA=2\int \int _{A}\omega _{n} \cdot dA=J$

漩涡强度的空间特性和时间特性

漩涡强度的空间特性：由矢量公式，知道涡量的散度为0：

$\bigtriangledown \cdot \Omega =\bigtriangledown \cdot (\bigtriangledown \times V)=0$

因此,通过任一封闭曲面的涡通量为0：

$\oint \oint _{S} \Omega\cdot dA =\int \int \int _{V}\bigtriangledown \cdot (\bigtriangledown \times V)dV=0$

漩涡强度的时间特性：沿任一封闭物质线的速度环量在运动过程中恒定不变（Kelivin定理）。

涡量的动力学方程

$\frac{\partial \vec{\Omega} }{\partial x}+(\vec{V}\cdot \bigtriangledown )\vec{\Omega }-(\vec{\Omega }\cdot \bigtriangledown )\vec{V}+\vec{\Omega} (\bigtriangledown \cdot \vec{V})=0$

$\frac{D\vec{\Omega} }{Dt}=(\vec{\Omega }\cdot \bigtriangledown )\vec{V}-\vec{\Omega} (\bigtriangledown \cdot \vec{V})$

这就是体积力有势、流体正压、理想流体的涡量动力学方程，也称为Helmholtz方程。

散度场和涡量场

对于一个静止的流体，要运动起来，要么流场中存在源/汇（散度不为0），要么流场中存在旋涡（涡量不为0），因此源汇和漩涡是诱导流体流动的两个因素。从数学角度：如果流场中存在速度场和涡量场就可以确定流体的运动速度场V。

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