[线性代数] 常用定义与公式

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矩阵和向量

线性运算与转置

矩阵

矩阵的初等变换：

阶梯形矩阵

的定义是：

1. 如果有零行，则都在下面

2. 各非零行的第一个非0元素的列号自上而下严格单调上升。

或者各行左边出现的0的个数自上而下严格单调上升，直到全为0.

台角： 各非零行第一个非0元素所在位置。

简单阶梯形矩阵：

3. 台角位置元素全为 1

4. 台角正上方元素全为 0 .

每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。

线性方程组的矩阵消元法

用同解变换化简方程再求解

三种同解变换

1. 交换两个方程的上下位置

2. 用一个非0数c乘以某一个方程

3. 把某一个方程的倍数加到另一个方程上去

以上反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。

矩阵消元法：

行列式

计算 (化零降阶法)

行列式的其它性质：

克莱姆法则

矩阵

遵循的规律

1. 线性性质

2. n 阶矩阵的方幂与多项式

初等矩阵及其在乘法中的作用

对单位矩阵，做一次初等变换所得到的矩阵成为初等矩阵。

共有三种初等变换：

乘法的分块法则：

两种常用的情况：

矩阵方程与可逆矩阵

伴随矩阵

向量组的线性关系和秩

线性表出

线性相关性

极大无关组和秩

线性方程组

方程组的表达形式：

解的情况判别

基础解系和通解

特征向量与特征值， 相似与对角化

相似

二次型