高等数学函数公式大全

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这里是高等数学中一些常见的函数公式：

1. 指数函数：$$y=a^x$$
2. 对数函数：$$y={\log }_{a}x$$
3. 三角函数：

正弦函数：$$y=\sin x$$

余弦函数：$$y=\cos x$$

正切函数：$$y=\tan x$$

余切函数：$$y=\cot x$$

4. 反三角函数：

反正弦函数：$$y=\arcsin x$$

反余弦函数：$$y=\arccos x$$

反正切函数：$$y=\arctan x$$

反余切函数：$$y=\text{arccot}x$$

5. 双曲函数：

双曲正弦函数：$$y=\sinh x$$

双曲余弦函数：$$y=\cosh x$$

双曲正切函数：$$y=\tanh x$$

双曲余切函数：$$y=\text{coth}x$$

6. 常见函数的导数公式：

指数函数：$$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$$

对数函数：$$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$$

正弦函数：$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$$

余弦函数：$$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$

正切函数：$$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$$

反正弦函数：$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

反余弦函数：$$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

反正切函数：$$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$

双曲正弦函数：$$(\sinh x{)}^{\prime }=\cosh x$$

双曲余弦函数：$$(\cosh x{)}^{\prime }=\sinh x$$

双曲正切函数：$$(\tanh x{)}^{\prime }={\text{sech}}^{2}x$$

其中，$\text{sech}x=\frac{1}{\cosh x}$。

由于高等数学包含的内容非常广泛，函数也非常多，因此在此只给出常见函数的公式和代码实现，希望能够帮到你。

1. 求导公式

• 常数函数的导数为0
• 幂函数$x^n$的导数为$n{x}^{n-1}$
• 指数函数$e^x$的导数为$e^x$
• 对数函数${\log }_{a}x$的导数为$\frac{1}{x\ln a}$
• 三角函数的导数：

$$\frac{d\sin x}{dx}=\cos x$$

$$\frac{d\cos x}{dx}=-\sin x$$

$$\frac{d\tan x}{dx}={\sec }^{2}x$$

$$\frac{d\cot x}{dx}=-{\csc }^{2}x$$

$$\frac{d\sec x}{dx}=\sec x\tan x$$

$$\frac{d\csc x}{dx}=-\csc x\cot x$$

代码实现：

import math def derivative(func, x, dx=0.001): """ 求导函数 :param func: 函数 :param x: 变量值 :param dx: 变量的微小变化 :return: 函数在x处的导数 """ return (func(x + dx) - func(x)) / dx 

2. 积分公式

• 幂函数$x^n$的不定积分为$\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C$
• 指数函数$e^x$的不定积分为$e^x+C$
• 对数函数$\ln x$的不定积分为$x\ln x-x+C$
• 常数函数的不定积分为$x+C$
• 三角函数的积分：

$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$

$$\int \cos xdx=\sin x+C$$

$$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$$

$$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$$

$$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$$

$$\int \csc xdx=-\ln |\csc x+\cot x|+C$$

代码实现：

import math def integrate(func, a, b, n=1000): """ 积分函数 :param func: 函数 :param a: 积分下限 :param b: 积分上限 :param n: 分割数 :return: 积分值 """ dx = (b - a) / n x = a sum = 0 for i in range(n): sum += func(x) * dx x += dx return sum 

3. 求极限公式

• 常数函数的极限为该常数
• 幂函数$x^n$当$n>0$时，其极限为$+\infty$；当$n<0$时，其极限为$-\infty$；当$n=0$时，其极限为$1$
• 指数函数$e^x$的极限为$+\infty$
• 对数函数$\ln x$当$x\to 0^{+}$时，其极限为$-\infty$
• 三角函数的极限：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=1$$

代码实现：

import math def limit(func, x, eps=0.00001): """ 求极限函数 :param func: 函数 :param x: 变量的值 :param eps: 误差值 :return: 极限值 """ x1 = x + eps x2 = x - eps fx1 = func(x1) fx2 = func(x2) while abs(fx1 - fx2) > eps: x1 = (x1 + x2) / 2 x2 = x - x1 + x fx1 = func(x1) fx2 = func(x2) return (fx1 + fx2) / 2 

以上就是高等数学中常见函数的公式和代码实现，希望能够对你有所帮助。