28正定矩阵

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

这一节进入正定矩阵的内容，什么叫做正定矩阵？为什么我们对矩阵正定这么感兴趣？

PS：这一节将前面所有的概念都融合在一起：主元、行列式、特征值、不稳定性

一、正定矩阵的判断方法

为了说明问题，我们先考虑二阶矩阵$A$
$$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right]$$

当这个矩阵满足以下条件之一，那么这个矩阵就是正定的：

• 矩阵特征值都为正数；
• 矩阵主元都为正数；
• 矩阵左上角行列子式都为正数；
• 矩阵对应二次型多项式恒大于零；

注：线性代数范围内，正定矩阵需要是对称矩阵。

根据前面提到的内容，我们有四种判断正定性的方法：

• 特征值判断法 ${\lambda }_1>0$ ${\lambda }_2>0$；
• 行列式判断法 $a>0$ $ac-b^2>0$；
• 主元判断法 $a>0$ $\frac{ac-b^2}{a}>0$；
• 判断式 $x^{T}Ax>0$；

填入什么数字会使得其为正定矩阵？

• 填入数字18，该矩阵行列式恰好为0，矩阵称为半正定；
• 填入大于18的数字，矩阵行列式顺序主子式均为正数

OK！为什么正定对于我们线性代数非常重要？因为它与工程联系非常密切，切入点就是最后一个判断正定的条件$x^{T}Ax>0$。

对于半正定矩阵$A=\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 6& 18\end{array}\right]$，我们写出其计算式$x^{T}Ax$：
$$x^{T}Ax=\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 6& 18\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=2x_1^2+12x_1{x}_2+18x_2^2$$
对上述的式子进行配方：
$$\begin{array}{rl}z& =a{x}_1^2+2b{x}_1{x}_2+c{x}_2^2\\ & =2x_1^2+12x_1{x}_2+18x_2^2=2(x_1+3x_2{)}^2\end{array}$$
我们知道 $Ax$ 是线性的，但是左乘了一个$x^T$就变成了二阶的，这种形式称为二次型形式 （Quadratic From），它是“纯” 二次形式的，没有线性部分，常数项和3、4或者其他次方。给出正定矩阵的定义，对于任何$x_1,x_2$所有值都大于零。

无论$x_1,x_2$如何取值，对应的结果均大于零。如何研究这个曲线的形状，一种可行的方法就是截面法，通过固定其中的一个值，然后研究其形状，最后在将固定的值进行遍历就能大概知道这个曲线的形状了。

通过配方，固定 $x_1=x_0$ 可以看出 $z=2(x_0+3x_2{)}^2$，它是一个抛物线且顶点坐标为：
$$x_2=-\frac{1}{3}{x}_0$$
从与 $x$ 垂直的截面来看，它首先是一个抛物线，随着 $x_1$ 的增加，对称轴坐标$x_2$逐渐减少。从$X$轴上截面看就好像一个不断平移的抛物线。同理，如果固定 $x_2$ 研究这个界面，也是一个不断平移的抛物面。

二、正定矩阵与空间曲线草图

有部分的值是负数，所以不是正定的。