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角
任意角
角的表示
角可以用集合表示，一般用一个度数表示一个角，一个变量表示集合中所有角。
角度的弧度制
为了将角度用于函数中，我们规定长度等于半径的弧所对应的圆心角称为 1 1 1 弧度角。用符号 rad \operatorname{rad} rad 表示，读作弧度。
任意圆心角 a a a 其弧度大小为其所对弧的长比上半径。
1 rad = 180 ° π , π rad = 180 ° 1 \operatorname{rad}=\dfrac{180\degree}{\pi}, \pi \operatorname{rad}=180\degree 1rad=π180°,πrad=180°。
三角函数定义
原定义
三角函数总共有 6 6 6 个，分为（前三个是常用的）：
sin α : \sin\alpha: sinα: 正弦，对边比斜边。
cos α : \cos\alpha: cosα: 余弦，临边比斜边。
tan α : \tan\alpha: tanα: 正切，对边比临边。
csc α : \csc\alpha: cscα: 余割，斜边比对边。
sec α : \sec\alpha: secα: 正割，斜边比临边。
cot α : \cot\alpha: cotα: 余切，临边比对边。
其中有：
tan α = sin α cos α \tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} tanα=cosαsinα
csc α = 1 sin α \csc\alpha = \dfrac{1}{\sin \alpha} cscα=sinα1
sec α = 1 cos α \sec\alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha} secα=cosα1
cot α = 1 tan α \cot\alpha = \dfrac{1}{\tan \alpha} cotα=tanα1
单位圆
单位圆为圆心是坐标原点，半径为 1 1 1 的圆。
单位圆表示三角函数
在平面直角坐标系中， A ( x , y ) A(x,y) A(x,y) 为单位圆上一点， ∠ α \angle\alpha ∠α 终边为 O A OA OA，则 sin α = y , cos α = x \sin\alpha = y,\cos\alpha=x sinα=y,cosα=x。
直线 x = 1 x = 1 x=1 交 O A OA OA 延长线于点 B B B，交 x x x 轴于点 C C C，则 tan α = C y \tan\alpha = C_y tanα=Cy。
三角函数在各个象限的符号：
| 函数 | 第一象限 | 第二象限 | 第三象限 | 第四象限 |
|---|---|---|---|---|
| 正弦 sin \sin sin | + | + | – | – |
| 余弦 cos \cos cos | + | – | – | + |
| 正切 tan \tan tan | + | – | + | – |
| 余割 csc \csc csc | + | + | – | – |
| 正割 sec \sec sec | + | – | – | + |
| 余切 cot \cot cot | + | – | + | – |
三角恒等变形
诱导公式
sin 诱导公式
sin ( α + 2 k π ) = sin α ( k ∈ Z ) \sin (\alpha+2k\pi)=\sin \alpha(k\in\mathbb Z) sin(α+2kπ)=sinα(k∈Z)
sin − α = − sin α \sin -\alpha=-\sin \alpha sin−α=−sinα
sin ( π − α ) = sin α \sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha sin(π−α)=sinα
sin ( π 2 − α ) = cos α \sin (\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos \alpha sin(2π−α)=cosα
sin ( α + π ) = − sin α \sin (\alpha+\pi)=-\sin \alpha sin(α+π)=−sinα
sin ( α + π 2 ) = cos α \sin (\alpha + \dfrac{\pi}{2})=\cos \alpha sin(α+2π)=cosα
cos 诱导公式
cos ( α + 2 k π ) = cos α ( k ∈ Z ) \cos (\alpha+2k\pi)=\cos \alpha(k\in\mathbb Z) cos(α+2kπ)=cosα(k∈Z)
cos − α = cos α \cos -\alpha=\cos \alpha cos−α=cosα
cos ( π − α ) = − cos α \cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha cos(π−α)=−cosα
cos ( π 2 − α ) = sin α \cos (\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\sin \alpha cos(2π−α)=sinα
cos ( α + π ) = − cos α \cos (\alpha+\pi)=-\cos \alpha cos(α+π)=−cosα
cos ( α + π 2 ) = − sin α \cos (\alpha + \dfrac{\pi}{2})=-\sin \alpha cos(α+2π)=−sinα
tan 诱导公式
tan ( α + 2 k π ) = tan α ( k ∈ Z ) \tan (\alpha+2k\pi)=\tan \alpha(k\in\mathbb Z) tan(α+2kπ)=tanα(k∈Z)
tan − α = − tan α \tan -\alpha=-\tan \alpha tan−α=−tanα
tan ( π − α ) = − tan α \tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha tan(π−α)=−tanα
tan ( α + π ) = tan α \tan (\alpha+\pi)=\tan \alpha tan(α+π)=tanα
和差角公式
cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
tan ( α − β ) = tan α + tan β 1 − tan α tan β \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} tan(α−β)=1−tanαtanβtanα+tanβ
tan ( α + β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β \tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} tan(α+β)=1+tanαtanβtanα−tanβ
二倍角公式
基本公式
sin 2 α = 2 sin α cos α \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha sin2α=2sinαcosα
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α \cos 2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α
tan 2 α = 2 tan α 1 − tan 2 α \tan 2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} tan2α=1−tan2α2tanα
逆公式
( sin α ± cos α ) 2 = 1 ± 2 sin α (\sin\alpha\pm\cos\alpha)^2=1\pm2\sin\alpha (sinα±cosα)2=1±2sinα
sin 2 α = 1 − cos 2 α 2 \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2} sin2α=21−cos2α
cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2} cos2α=21+cos2α
万能公式
sin α = 2 tan α 2 1 + tan 2 α 2 \sin\alpha=\dfrac{2\tan\dfrac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\dfrac{\alpha}{2}} sinα=1+tan22α2tan2α
cos α = 1 − tan 2 α 2 1 + tan 2 α 2 \cos\alpha=\dfrac{1-\tan^2\dfrac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\dfrac{\alpha}{2}} cosα=1+tan22α1−tan22α
tan α = 2 tan α 2 1 − tan 2 α 2 \tan\alpha=\dfrac{2\tan\dfrac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\dfrac{\alpha}{2}} tanα=1−tan22α2tan2α
三倍角公式（拓展）
sin 3 α = 3 sin α − 4 sin 3 α = 4 sin α sin ( π 3 − α ) sin ( π 3 + α ) \sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha=4\sin\alpha\sin(\dfrac{\pi}{3}-\alpha)\sin(\dfrac{\pi}{3}+\alpha) sin3α=3sinα−4sin3α=4sinαsin(3π−α)sin(3π+α)
cos 3 α = 4 cos 3 α − 3 cos α = 4 cos α cos ( π 3 − α ) cos ( π 3 + α ) \cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha=4\cos\alpha\cos(\dfrac{\pi}{3}-\alpha)\cos(\dfrac{\pi}{3}+\alpha) cos3α=4cos3α−3cosα=4cosαcos(3π−α)cos(3π+α)
tan 3 α = 3 tan α − tan 3 α 1 − 3 tan 2 α = tan α tan ( π 3 − α ) tan ( π 3 + α ) \tan3\alpha=\dfrac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}=\tan\alpha\tan(\dfrac{\pi}{3}-\alpha)\tan(\dfrac{\pi}{3}+\alpha) tan3α=1−3tan2α3tanα−tan3α=tanαtan(3π−α)tan(3π+α)
和差与积间的转换
和差化积
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α − β 2 \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2} sinα+sinβ=2sin2α+βcos2α−β
sin α − sin β = 2 cos α + β 2 sin α − β 2 \sin\alpha-\sin\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2} sinα−sinβ=2cos2α+βsin2α−β
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α − β 2 \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2} cosα+cosβ=2cos2α+βcos2α−β
cos α − cos β = − 2 sin α + β 2 sin α − β 2 \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2} cosα−cosβ=−2sin2α+βsin2α−β
积化和差
sin α cos β = 1 2 [ s i n ( α + β ) + s i n ( α − β ) ] \sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)] sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α−β)]
cos α sin β = 1 2 [ s i n ( α + β ) − s i n ( α − β ) ] \cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)] cosαsinβ=21[sin(α+β)−sin(α−β)]
sin α sin β = − 1 2 [ c o s ( α + β ) − c o s ( α − β ) ] \sin\alpha\sin\beta=-\dfrac{1}{2}[cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)] sinαsinβ=−21[cos(α+β)−cos(α−β)]
cos α cos β = 1 2 [ c o s ( α + β ) + c o s ( α − β ) ] \cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)] cosαcosβ=21[cos(α+β)+cos(α−β)]
三角函数图像
正弦函数
余弦函数
正切函数
正弦型三角函数
我们称形如 y = A sin ( ω x + φ ) , A > 0 , ω > 0 y=A\sin(\omega x+\varphi),A>0,\omega>0 y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0 为正弦型函数，图像如下：
其中 A A A 被称为振幅， φ \varphi φ 为初相， ω x + φ \omega x+\varphi ωx+φ 为相位。
定义域： R \mathbb R R
值域： [ − A , A ] [-A,A] [−A,A]
对称轴： x = 1 ω ( π 2 − φ + k π ) ( k ∈ Z ) x=\frac{1}{\omega}(\frac{\pi}{2}-\varphi+k\pi)(k\in\mathbb Z) x=ω1(2π−φ+kπ)(k∈Z)
对称中心： ( 1 ω ( − φ + k π ) , 0 ) ( k ∈ Z ) (\frac{1}{\omega}(-\varphi+k\pi),0)(k\in\mathbb Z) (ω1(−φ+kπ),0)(k∈Z)
单调递增区间： [ 1 ω ( − π 2 − φ + 2 k π ) , 1 ω ( π 2 − φ + 2 k π ) ] ( k ∈ Z ) [\frac{1}{\omega}(-\frac{\pi}{2}-\varphi+2k\pi),\frac{1}{\omega}(\frac{\pi}{2}-\varphi+2k\pi)](k\in\mathbb Z) [ω1(−2π−φ+2kπ),ω1(2π−φ+2kπ)](k∈Z)
单调递减区间： [ 1 ω ( π 2 − φ + 2 k π ) , 1 ω ( 3 π 2 − φ + 2 k π ) ] ( k ∈ Z ) [\frac{1}{\omega}(\frac{\pi}{2}-\varphi+2k\pi),\frac{1}{\omega}(\frac{3\pi}{2}-\varphi+2k\pi)](k\in\mathbb Z) [ω1(2π−φ+2kπ),ω1(23π−φ+2kπ)](k∈Z)
当 φ = k π ( k ∈ Z ) \varphi=k\pi(k\in\mathbb Z) φ=kπ(k∈Z) 时，函数为奇函数，当 φ = π 2 + k π ( k ∈ Z ) \varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in\mathbb Z) φ=2π+kπ(k∈Z)时，函数为偶函数。
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