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平方数列、立方数列之求和
平方和
1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6 12+22+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1)
（记 I = 1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 I=1^2+2^2+\cdots+n^2 I=12+22+⋯+n2）
n 3 − 1 3 = 2 ( 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 ) + [ 1 2 + 2 2 + ⋯ + ( n − 1 ) 2 ] − ( 2 + 3 + ⋯ + n ) = 2 I − 2 + I − n 2 − n ( 1 + n ) 2 + 1 = 3 I − 1 − 3 2 n 2 − n 2 = 3 I − 3 n 2 + n + 2 2 \begin{aligned} n^3-1^3 &=2(2^2+3^2+\cdots+n^2)+[1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2]-(2+3+\cdots+n)\\ &=2I-2+I-n^2-\frac{n(1+n)}{2}+1\\ &=3I-1-\frac32n^2-\frac n2\\ &=3I-\frac{3n^2+n+2}{2} \end{aligned} n3−13=2(22+32+⋯+n2)+[12+22+⋯+(n−1)2]−(2+3+⋯+n)=2I−2+I−n2−2n(1+n)+1=3I−1−23n2−2n=3I−23n2+n+2
于是
3 I = n 3 + 3 n 2 + n 2 ⟹ I = 2 n 3 + 3 n 2 + n 6 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 . 3I=n^3+\frac{3n^2+n}2\Longrightarrow I=\frac{2n^3+3n^2+n}6=\frac{n(n+1)(2n+1)}6. 3I=n3+23n2+n⟹I=62n3+3n2+n=6n(n+1)(2n+1).
立方和
1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = [ n ( n + 1 ) 2 ] 2 = n 4 + 2 n 3 + n 2 4 1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2=\frac{n^4+2n^3+n^2}4 13+23+⋯+n3=[2n(n+1)]2=4n4+2n3+n2
（记 J = 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 J=1^3+2^3+\cdots+n^3 J=13+23+⋯+n3）
n 4 − 1 4 = 4 J − 4 − 6 I + 6 + 4 n ( n + 1 ) 2 − 4 − ( n − 1 ) = 4 J − 6 I − 1 + 2 n 2 + n = 4 J − 2 n 3 − n 2 − 1 \begin{aligned} n^4-1^4 &=4J-4-6I+6+\frac{4n(n+1)}2-4-(n-1)\\ &=4J-6I-1+2n^2+n\\ &=4J-2n^3-n^2-1 \end{aligned} n4−14=4J−4−6I+6+24n(n+1)−4−(n−1)=4J−6I−1+2n2+n=4J−2n3−n2−1
所以
J = n 4 + 2 n 3 + n 2 4 = [ n ( n + 1 ) 2 ] 2 . J=\frac{n^4+2n^3+n^2}4=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2. J=4n4+2n3+n2=[2n(n+1)]2.
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