数学 – 超级幂

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比乘法更大的是乘方，比乘方更大的是什么？

小学时，老师说，由于生活中经常需要把同一个数加很多很多次，因此人们发明了乘法。 a × b 就表示 b 个 a 相加。初中时，老师说，由于生活中经常需要把同一个数乘很多很多次，因此人们发明了乘方。 a ^ b 就表示 b 个 a 相乘。令人失望的是，到了高中时，我们并没有学到更牛 B 的运算符号；大学都快学完了，似乎也没见到乘方升级的苗头。乘方之上究竟是什么？下面，有请今天的主角——超级幂——登场！

加法、乘法、乘方、超级幂的表示方法如下：

这里的每一个a都在角标位置上，比原来的要小，所以其作用于前面临近的那个a，而不是前面整个数字。这里计算的顺序是从右往左的。

超级幂或超乘方是比乘方跟进一级的运算，可以用来表示更大的数。

很容易想到，比乘方更大一级的运算就是把 b 个 “a 次方” 重叠起来。不过，这里我们却遇到了一个之前不曾遇到的问题： a ^ a ^ a 究竟应该等于 (a ^ a) ^ a ，还是 a ^ (a ^ a) ？。我们不妨来算一算，不同算法得到的结果相差多远：

(2 ^ 2) ^ 2 = 4 ^ 2 = 16

2 ^ (2 ^ 2) = 2 ^ 4 = 16

难道两种不同的计算顺序，得到的结果总是相同的吗？让我们换 a = 3 试试：

(3 ^ 3) ^ 3 = 27 ^ 3 = 19683

3 ^ (3 ^ 3) = 3 ^ 27 = 87

哇，这下可就差远了。可以想象，如果把 “a 次方” 再多迭代几次，从右往左算和从左往右算会差得更多。恐怖的是，当有多重指数时，运算正是按照从右往左算的顺序进行的。试想，若有一种运算专门用来表示 b 个 a 构成的指数塔，这种运算的威力会多大。

1947 年，数学家 Goodstein 发现，不管初始时选取哪个自然数，按照某种预先定义好的规则进行迭代，数列最终将变成 0 。但是，数列收敛到 0 的速度极其缓慢，以至于 Goodstein 需要处理一些连乘方也无法表达出来的大数。于是， Goodstein 便正式提出了这种超越乘方的运算。他把 n 个指数 a 迭代的结果记为 ，也就是把 n 放在 a 的左上角。在国外的一些论坛上，有时也能看见 a^^n 的表示方法，便于在纯文本格式下的传播。不过，当时 Goodstein 并没有用超级幂 (superexponentiation) 一词，而是用的 tetration 一词。这是由前缀“四” (tetra-) 和迭代 (iteration) 一词合成的，意即排在加法、乘法、乘方之后的第四级运算。事实上， tetration 比 superexponentiation 更常用一些。网上甚至有一个tetration 论坛，论坛里活跃着一群热爱 tetration 的数学 geek 。

我们能轻松定义出超级幂的概念，但为什么这个东西却如此“小众”呢？当然，超级幂缺乏很多加减乘除和乘方运算具有的性质，这是一个重要的原因；不过，我想应该还有一个最基本的原因吧——超级幂本身没有什么实用价值。重复对折纸张、增长率的叠加、赌博游戏中的翻番，它们都可以用乘方来描述。实际生活中有什么事情正好能用超级幂来描述的吗？我想应该不会有吧。

参考：

超乘方_百度百科

https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration

由根号2的根号2的根号2…次方次方引发的讨论 – 知乎