积分与坐标变换（极坐标）

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1. 极坐标（polar coordinates）

极坐标系考察的是半径与角度的关系。

$$\int_0^1\int_0^1dxdy=\left[\int_0^{\frac\pi4}\int_0^{\frac1{\cos\theta}}\rho d\rho d\theta\right]+\left[\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\int_0^{\frac1{\sin\theta}}\rho d\rho d\theta\right]$$

• 对于 $[0, \frac{\pi}4]$，$x=\rho \cos\theta=1$，
• 对于 $[\frac{\pi}4,\frac{\pi}2]$，$y=\rho\sin\theta=1$

对 $\rho$ 进行积分，其物理含义上是放射状，向四周辐射的，从 0 开始，也即积的是一个“扇形”区域，从一个值积到另一个值，则是一个“环形”区域。

2. 双纽线与螺旋线

考虑双纽线，双纽线在几何上定义为一切这样的点 P 的轨迹，点 P 与直角坐标系分别为 $x=a,y=0$ 和 $x=-a,y=0$ 的两个固定点 $F_1$ 和 $F_2$ 的距离 $r_1$ 和 $r_2$ 之积为常值 $a^2$

$$\begin{split}&r_1^2=(x+a)^2+y^2\\&r_2^2=(x-a)^2+y^2\end{split}$$

经过简单整理运算可得，如下形式的双纽线方程：

$$(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=0$$

经过极坐标变换 $x=r\cos,y=r\sin$，可化简为如下形式：

$$r^2=2a^2\cos2\theta$$

双纽线方程在极坐标系下会比在直角坐标系下简单得多，