应变与几何方程——弹性力学

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考虑坐标位移移动造成的增量

应变——考虑物体的变形的剧烈程度

正应变——微元线段长度的变化
剪应变——两微元所夹角度的变化


正应变——拉伸为正，压缩为负
剪应变——夹角减小为正，增大为负

正应变的表达式：

A点的变化：
$A^{\prime }$点的坐标减去$P^{\prime }$点的坐标
$$|P^{\prime }{A}^{\prime }|=u+\frac{\partial u}{\partial x}dx-u$$

$${ϵ}_x=\frac{P^{\prime }{A}^{\prime }-PA}{PA}=u+\frac{\partial u}{\partial x}dx-u+x_A-x_P-|PA|=\frac{\partial u}{\partial x}dx$$
$x_A$是A点原来在x方向上的坐标
$P_A$是P点原来在x方向上的坐标

$PA$的长度$|PA|$就是$x_A-x_P$

由此可以得到三个方向的正应变
$${ϵ}_x=\frac{\partial u}{\partial x}dx$$
$${ϵ}_y=\frac{\partial u}{\partial y}dy$$
$${ϵ}_z=\frac{\partial u}{\partial z}dz$$

切应变的表达：

对$\alpha$求正切，竖直方向的改变量除以改变的长度$dx$

$$tan\alpha =\frac{(v+\frac{\partial v}{\partial x}dx)-(v)}{dx}=\frac{\partial v}{\partial x}$$

因为$\alpha$和$tan\alpha$等价无穷小

所以在一个小的角度范围内:
$$\alpha =\frac{(v+\frac{\partial v}{\partial x}dx)-(v)}{dx}=\frac{\partial v}{\partial x}$$

则$\beta =\frac{\partial u}{\partial y}$

$${\gamma }_{xy}=\alpha +\beta =\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}$$

切应变：交叉偏导之和

变形协调方程的推导

推导过程：

对于几何微小元体：

其具有应变三个方向的应变：

$$\frac{{\partial }^2{ϵ}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_y}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^2{\gamma }_{xy}}{\partial x\partial y}$$