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NEES的原理记录
Normalized Estimated Error Squared (NEES)常用来评估卡尔曼滤波的一致性，其公式为(OpenVINS中写法)：
e n e e s , k = 1 N ∑ i = 1 N ( x k , i ⊟ x ^ k , i ) ⊤ P k , i − 1 ( x k , i ⊟ x ^ k , i ) e_{n e e s, k}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N\left(\mathbf{x}_{k, i} \boxminus \hat{\mathbf{x}}_{k, i}\right)^{\top} \mathbf{P}_{k, i}^{-1}\left(\mathbf{x}_{k, i} \boxminus \hat{\mathbf{x}}_{k, i}\right) enees,k=N1i=1∑N(xk,i⊟x^k,i)⊤Pk,i−1(xk,i⊟x^k,i)
NEES与卡方分布相关，考虑一个满足高斯分布的 n × 1 n\times 1 n×1的向量 x ∼ N ( μ , R ) \mathbf x \sim N(\pmb \mu, \mathbf R) x∼N(μ,R)，则 q = ( x − μ ) T R − 1 ( x − μ ) q=(\mathbf x – \pmb \mu)^T\mathbf R^{-1}(\mathbf x-\pmb \mu) q=(x−μ)TR−1(x−μ)是满足 n n n个自由度的卡方分布的随机变量。如果定义 u = R − 1 / 2 ( x − μ ) \mathbf u=\mathbf R^{-1/2}(\mathbf x-\pmb \mu) u=R−1/2(x−μ)，则很容易验证 E ( μ ) = 0 , E ( μ μ T ) = I E(\pmb \mu)=0,E(\pmb \mu\pmb \mu^T)=I E(μ)=0,E(μμT)=I。因此 q q q可以视为 n n n个独立的零均值方差为1的高斯分布随机变量的平方和，即:
q ∼ χ n 2 q \sim \chi_n^2 q∼χn2
其中卡方分布的概率密度函数为：
p ( q ) = 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) q n − 2 2 e − q 2 p(q)=\frac{1}{2^{n / 2} \Gamma(n / 2)} q^{\frac{n-2}{2}} e^{-\frac{q}{2}} p(q)=2n/2Γ(n/2)1q2n−2e−2q
则均值和方差表示为：
E { q } = n E { ( q − n ) 2 } = ∑ i = 1 n E { ( u i 2 − 1 ) 2 } = ∑ i = 1 n ( 3 − 2 + 1 ) = 2 n E\{q\}=n\\ E\{(q-n)^2\}=\sum_{i=1}^n E\left\{\left(u_i^2-1\right)^2\right\}=\sum_{i=1}^n(3-2+1)=2 n E{
q}=nE{(q−n)2}=i=1∑nE{
(ui2−1)2}=i=1∑n(3−2+1)=2n
因此，对于6维的位姿，NEES的理想值为6。
参考文献
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