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矩阵的迹（Trace）是指一个方阵主对角线元素（即位于矩阵左上至右下对角线上的元素）的和。对于一个n阶方阵A，其迹定义为：
Tr ( A ) = ∑ i = 1 n a i i \text{Tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} Tr(A)=i=1∑naii
其中， a i i 表示矩阵 A 中第 i 行第 i 列的元素。矩阵的迹具有以下性质： 其中，a_{ii}表示矩阵A中第i行第i列的元素。矩阵的迹具有以下性质： 其中，aii表示矩阵A中第i行第i列的元素。矩阵的迹具有以下性质：
- 线阵的迹等于其特征值的和。
- 对于任意两个可乘的矩阵A和B，有 Tr ( A B ) = Tr ( B A ) \text{Tr}(AB) = \text{Tr}(BA) Tr(AB)=Tr(BA)
- 矩数乘中迹的分配律： Tr ( A B C ) = Tr ( B C A ) = Tr ( C A B ) \text{Tr}(ABC) = \text{Tr}(BCA) = \text{Tr}(CAB) Tr(ABC)=Tr(BCA)=Tr(CAB)
- 对于标量k和矩阵A，有 Tr ( k A ) = k Tr ( A ) \text{Tr}(kA) = k\text{Tr}(A) Tr(kA)=kTr(A)
- 对于转置矩阵，有 Tr ( A T ) = Tr ( A ) \text{Tr}(A^T) = \text{Tr}(A) Tr(AT)=Tr(A)
例子
考虑一个2×2的矩阵A：
A = ( a b c d ) A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} A=(acbd)
其迹为：
Tr ( A ) = a + d \text{Tr}(A) = a + d Tr(A)=a+d
再看一个3×3的矩阵B为例：
B = ( e f g h i a j k l ) B = \begin{pmatrix} e & f & g \\ h & i & a\\ j & k & l \end{pmatrix} B=
ehjfikgal
则B的迹为：
Tr ( B ) = e + i + l \text{Tr}(B) = e + i + l Tr(B)=e+i+l
无论矩阵的大小如何，迹总是简单地通过对角线上的元素求和来计算的。
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