向量基础知识

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定义

1.向量可以用多种方式定义，以下是几种常见的定义：

• 几何定义：向量是一个有方向和大小的量，通常用箭头表示。向量的起点称为原点，终点称为向量的端点。
• 代数定义：向量是一个有序的数组，通常表示为列向量或行向量。

2.例如，一个 n 维列向量可以表示为：

一个 n 维行向量可以表示为：

其中 v1,v2,…,vn是向量的分量。

行向量和列向量再本质上没有区别。

2.向量的表示

向量可以用多种方式表示，以下是几种常见的表示方法：

• 几何表示：在二维或三维空间中，向量通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
• 代数表示：向量可以用列向量或行向量表示，如上所述。
• 坐标表示：在二维或三维空间中，向量可以用坐标表示。例如，二维向量 v=(v1,v2)v=(v1,v2) 表示在 xx 轴和 yy 轴上的分量。

向量的运算

向量有几种基本的运算，包括加法、数乘、点积和叉积。

向量加法

1.向量加法是将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。例如，两个 n 维向量 u 和 v 的加法为：

向量数乘

1.向量数乘是将一个向量的每个分量乘以一个标量，得到一个新的向量。例如，一个 n 维向量 v 与标量 k 的数乘为：

向量点积

1.向量点积（内积）是将两个向量的对应分量相乘，然后将结果相加，得到一个标量。例如，两个 n 维向量 u 和 v 的点积为：

2.例子

• 假设有两个向量 u 和 v

• 求u+v，2u，uv

矩阵的特征值和特征向量

定义

1.设 A 是一个 n×n 的方阵。如果存在一个非零列向量 v 和一个标量 λ，使得：

那么 λ 称为矩阵 A的特征值，v 称为对应于特征值 λ 的特征向量。

注：λ可以为0，而v不能为0，并且v是列向量。因为A是n维矩阵，如果v是行向量，则维数是1xn，不满足矩阵相乘。

将定义中的等式移项，得到：

由于v是非零列向量，相当于求上述方程的非零解，由方程有非零解的充要条件是行列式为0的定理可知：

说明：(A-λE)：特征矩阵；|A-λE|：特征行列式或特征多项式；|A-λE|=0：特征方程

结论：

• λ是A的特征值，v是对应λ的一个特征向量，则cv也是λ的一个特征向量，c为不等于0的标量。

2.根据定义

等式两边同乘以c

所以cv也是λ的一个特征向量。

2.例子

• 假设有矩阵A：

求A的特征值λ及对应λ的特征向量。

• 解：根据定义可知：

• 计算行列式：

• 所以

• 所以λ1=2，λ2=λ3=1
• 计算特征向量
• 当λ=2时

• 将矩阵进行初等行变换，形成行简化阶梯形矩阵

• 可以得出v1=0,v2=0,v3为任意数，取v3=1，所以特征向量

• 当λ=1时

• 将矩阵进行初等行变换，形成行简化阶梯形矩阵

• 可以得出v1=-v3,v2=-2v3,v3为任意数，取v3=-1，所以特征向量：

3.练习

• 假设有矩阵A

求A的特征值λ及对应λ的特征向量。

• 解：根据特征值定义可知：

• 计算行列式

所以λ1=λ2=2，λ3=-7

• 计算特征向量
• 当λ=-7时

可以得出v1=-(1/2)v3,v2=-v3,v3为任意数，取v3=-2，所以特征向量：

• 同理，当λ=2时

• 所以：

• 当v2=1,v3=0时，v1=-2；当v3=1，v2=0时，v1=2
• 所以特征向量为

向量的模

1.定义：向量 v 的模记作 ∥v∥，计算公式为：

2.几何解释：在二维空间中，向量 v=(v1,v2)的模表示从原点到点 (v1,v2)的距离。在三维空间中，向量 v=(v1,v2,v3)的模表示从原点到点 (v1,v2,v3)的距离。

||v||=1，叫做单位向量的模。如：v=(1,0,0)

2.性质

• 非负性：∥v∥≥0，并且 ∥v∥=0 当且仅当 v=0（零向量）。
• 齐次性：对于任意标量 k，∥kv∥=∣k∣∥v∥。
• 三角不等式：对于任意向量 u 和 v，∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥。

3.例子

• 证明以下公式，如果：

则u为v的单位向量。

• 证明：

向量的内积

1.定义：对于两个 n 维向量 a=(a1,a2,…,an) 和 b=(b1,b2,…,bn)，它们的内积（点积）表示为 a⋅b，计算公式为：

2.几何解释：在几何上，内积也可以通过向量的模和它们之间的夹角来表示。具体来说，如果 θ 是向量 a 和 b 之间的夹角，那么内积可以表示为：

其中：

• ∥a∥ 和 ∥b∥ 分别是向量 a 和 b 的模（长度）。
• cos⁡(θ)是夹角 θ 的余弦值。

3.性质

• 交换律：a⋅b=b⋅a
• 分配律：a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
• 数乘结合律：(ka)⋅b=k(a⋅b)=a⋅(kb)(，其中 k 是标量。
• 正定性：a⋅a≥0，并且 a⋅a=0 当且仅当 a=0。

4.例子

• 假设有两个三维向量 a 和 b：a=(2,3,1)，b=(4,−1,2)
• 计算a和b的内积。
• 解：根据内积的定义，两个向量的内积是它们对应分量的乘积之和。具体计算如下：

a⋅b=(2⋅4)+(3⋅−1)+(1⋅2)=8-3+2=7

• 因此，向量 a 和 b 的内积为：a⋅b=7
• 如果我们要通过几何方法来验证这个结果，可以使用向量的模和它们之间的夹角。假设 θ 是向量 a和 b 之间的夹角，那么内积可以表示为：a⋅b=∥a∥∥b∥cos⁡(θ)
• 首先计算向量 a 和 b 的模：

• 然后使用内积的结果来求 cos⁡(θ)：

5.结论：向量内积的几何解释其实就是余弦相似度算法的公式，当cos⁡(θ)=1时，表示两个向量重合；当cos⁡(θ)=0时，表示两个向量垂直。如果使用两个向量分别近似表示两个文本或图像，两个向量的cos⁡(θ)越接近1，表示这两个文本内容越相似，cos⁡(θ)越接近0，表示这两个文本内容越不相似。