机器人学导论(02空间描述和变换[概念篇])

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机器人学导论(02空间描述和变换)

(原书第四版本)

本章分两节,本节为概念篇

1.基础概念

机器人操作:通过某种机构使零件和工具在空间运动

世界坐标系: 定义环境中所有对象位置的全局参考框架
理解 :类似地球上的经纬度系统，提供了一个统一的定位标准

笛卡尔坐标系: 数学中一种直角坐标系统，通过两条互相垂直的数轴（二维）或三条（三维）来确定平面上或空间中点的位置，每条轴都有一个数值标度

2. 描述:位置、姿态与位姿

描述: 用来确定操作系统处理的各种对象的特性

(1). 位置描述

位置: 移动，是以世界坐标系为参考坐标系，零件等相对于原点的移动

位置描述: 使用3 x 1的位置矢量来描述空间中任意点的位置
理解: 如下图在空间中坐标系A 下对P点的位置描述

(2).姿态描述

姿态：转动，是以世界坐标系为参考坐标系，零件等相对于原点的转动

姿态描述: 在物体上固定一个坐标系并给出相对于参考坐标系的的描述
理解 :如下图,P是在参考坐标系A下的一点,在P点固定一个坐标系B,那么{ B }(使用{}框住的是坐标系的意思)相对于{A}中的描述就可以
表示出物体的姿态

旋转矩阵: 很重要!!!
理解思路 :
a. 位置矢量: 三维空间中通过向量对一个点进行确定(设P点),那么每个向量就与一个有序的三元数组对应(通过投影),由于坐标系众多,同时要对此点表明所在坐标系(设A坐标系)

b. 局部坐标系: 以点P为中心的坐标系(设B坐标系), 在{B}中设沿着三个轴的单位向量X’ , Y’ , Z’ (注意{B}是相对于{A}建立的),向{A}做投影,其中,设{A}的三个轴的单位向量X , Y , Z
提示 :即两个向量做投影

c.旋转矩阵: {B}中三个向量分别向{A}做投影后,组成了3 x 3 旋转矩阵 旋转矩阵的逆矩阵 = 它的转置

(3).姿态描述

位姿：位置+姿态
理解:四个矢量为一组, 一个位置矢量 + 一个旋转矩阵

位置可以用一个特殊的位姿表示,当旋转矩阵是单位矩阵则描述的是点的位置

同样,如果位姿的位置矢量为零,那么他表示的就是姿态

3. 映射

描述的是同一个量由一个坐标系到另一个坐标系的变换
注意: 映射则是坐标系间的矢量变换

(1). 坐标平移

在{A},{B}姿态相同时,此时{B}中的P点可以直接在{A}中表示;

点P在{B}的矢量是由{B}原点指向点P的，因此在{A}中还需要{A}原点指向{B}原点的矢量

(2). 坐标旋转

旋转矩阵将{B}下的点P映射到了{A}, P点在{A} , {B}坐标系里分别表示(右图)

点P在{A}坐标系下的投影 , 框选中的部分为旋转矩阵

结合P点在{A}和{B}的表达,整合后如下

(3). 一般变换

一般变换 = 坐标旋转 + 坐标平移 即: 左乘旋转矩阵 + 矢量加法平移原点

使用矩阵算子来表示从一个坐标系到另一个坐标系的映射,展开如右图:

展开后的矩阵为齐次变换矩阵

4.算子: 平移 , 旋转 , 和变换

算子 : 用于坐标系间的点映射
注意:算子左乘，映射右乘

算子表示的是坐标系内的矢量变换

(1) . 平移算子

平移算子: 将空间中的一个点沿着已知的矢量方向进行平移一定距离

引入算子(特殊的齐次变换)后的平移变换

(2). 旋转算子

旋转矩阵还可以使用旋转算子来定义, 当旋转矩阵作为算子要明确旋转轴, 式中是绕K轴旋转

(3). 变换算子

变换 = 移动 + 转动

先转动再移动:
先移动再转动:

所以:

5.总结说明

齐次变换矩阵: 是位姿的描述；是变换映射；是变换算子

位姿用来描述; 变换用来映射与算子

6.变换计算

(1). 复合变换

已知{C}下点P,求{A}下点P

通过使用上下标使运算进行简化

(2). 逆变换

利用变换的性质 逆变换=转置

7. 变换方程

仍使用上下标简化运算与变换性质结合求解方程

将箭头串连起来，通过简单的变换相乘可得到混合坐标系。如果有一个箭头的方向与串连的方向相反，就先求出其逆

设一个未知量进行求解

8. 其他姿态描述

标准正交矩阵: 旋转矩阵

X-Y-Z固定角: {B}与{A}重合,每个旋转都是绕固定参考系{A}的轴旋转,又可定义为”回转角,俯仰角,偏转角”
同时也是描述坐标系{ B }姿态的一种方法，推算旋转矩阵
注意:先转的放后面 ; 计算旋转顺序不可互换具体计算详情可以看下一节 计算篇