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高斯积分：一类具有最高的代数精度的插值型求积
数值积分
基本思想
数值积分的特点：将被积函数在某些节点上的函数值加权求和并以该和值作为积分的近似值：
∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ k = 0 n A k f ( x k ) , a ≤ x 0 < x 0 < ⋯ < x n ≤ b \int_{a}^{b}f(x) dx \approx \sum\limits_{k=0}^{n} A_{k} f(x_{k}),\ a\leq x_{0}<x_{0}<\cdots<x_{n}\leq b ∫abf(x)dx≈k=0∑nAkf(xk), a≤x0<x0<⋯<xn≤b
从而将求函数积分问题归结为函数值的计算问题，避开了 N e w t o n − L e i b n i z Newton-Leibniz Newton−Leibniz 公式需要求原函数的困难。
由积分的几何意义，我们可以得到一些简单的数值积分公式：
梯形公式：
∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 2 [ f ( a ) + f ( b ) ] \int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)] ∫abf(x)dx≈2b−a[f(a)+f(b)]
中矩形公式：
∫ a b f ( x ) d x ≈ ( b − a ) f ( a + b 2 ) \int_{a}^{b} f(x) dx \approx (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right) ∫abf(x)dx≈(b−a)f(2a+b)
辛普森(Simpson)公式
∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 6 [ f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ] \int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right] ∫abf(x)dx≈6b−a[f(a)+4f(2a+b)+f(b)]
代数精度
数值求积公式是近似的，该如何刻画求积公式的精确程度呢？为此引入 “代数精度” 的概念，借助多项式来刻画求积公式的精确程度。
定义： 如果求积公式对所有次数不超过 m m m 的多项式是精确的，但对 m + 1 m+1 m+1 次多项式不精确，则称该求积公式具有 m m m 次代数精度。
可以验证，梯形公式、中矩形公式具有 1 1 1 次代数精度，辛普森公式具有 3 3 3 次代数精度。自然的，欲使求积公式具有 m m m 次代数精度，只要令它对于 f ( x ) = 1 , x , ⋯ , x m f(x) = 1, x, \cdots, x^{m} f(x)=1,x,⋯,xm 都能精确成立，即
{ ∑ k = 0 n A k = b − a ∑ k = 0 n A k x k = 1 2 ( b 2 − a 2 ) ⋯ ⋯ ∑ k = 0 n A k x k m = 1 m + 1 ( b m + 1 − a m + 1 ) \begin{cases} \sum\limits_{k=0}^{n} A_{k} = b – a \\ \sum\limits_{k=0}^{n} A_{k}x_{k} = \dfrac{1}{2}(b^{2} – a^{2}) \\ \uad \cdots \cdots\\ \sum\limits_{k=0}^{n} A_{k}x_{k}^{m} = \dfrac{1}{m+1}(b^{m+1} – a^{m+1}) \\ \end{cases} ⎩
⎨
⎧k=0∑nAk=b−ak=0∑nAkxk=21(b2−a2)⋯⋯k=0∑nAkxkm=m+11(bm+1−am+1)
由于其系数矩阵为范德蒙德 ( V a n d e r m o n d e ) ( Vandermonde ) (Vandermonde) 矩阵，所以当 x i , i = 0 , 1 , ⋯ , n x_{i},i=0,1,\cdots,n xi,i=0,1,⋯,n 为 n + 1 n+1 n+1 个互异节点时，总存在 n + 1 n+1 n+1 个相应的求积系数 { A k } \{A_{k}\} {
Ak} ，使得求积公式 ( 1 ) (1) (1) 至少具有 n n n 次代数精度。(待定系数法求积分公式)
正交多项式
相关理论
定义： 区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的非负函数 ρ ( x ) \rho(x) ρ(x) ，若它满足：
( 1 ) (1) (1) ∫ a b ∣ x ∣ n ρ ( x ) d x \int_{a}^{b}|x|^{n} \rho(x) dx ∫ab∣x∣nρ(x)dx 对一切非负整数 n n n 可积且有限；
( 2 ) (2) (2) 假设对某个非负的连续函数 g ( x ) g(x) g(x) ， ∫ a b ρ ( x ) g ( x ) d x = 0 \int_{a}^{b}\rho(x)g(x)dx = 0 ∫abρ(x)g(x)dx=0 ，则在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上函数 g ( x ) = 0 g(x) = 0 g(x)=0 ，
则称 ρ ( x ) \rho(x) ρ(x) 为权函数。
定义： 定义在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的函数系 { g l ( x ) } l = 0 n \{g_{l}(x)\}_{l = 0}^{n} {
gl(x)}l=0n ，如果满足：
( 1 ) (1) (1) g l ( x ) = ∑ k = 0 l α k x k g_{l}(x) = \sum\limits_{k=0}^{l}\alpha_{k}x^{k} gl(x)=k=0∑lαkxk 恰为 l l l 次多项式，即 α l ≠ 0 \alpha_{l}\not=0 αl=0；
( 2 ) (2) (2) ( g i , g j ) = { 0 , i ≠ j ∫ a b ρ ( x ) g i 2 ( x ) d x > 0 , i = j (g_{i},g_{j}) = \begin{cases}0,& i\not= j \\ \int_{a}^{b}\rho(x)g_{i}^{2}(x)dx > 0, &i=j \end{cases} (gi,gj)={
0,∫abρ(x)gi2(x)dx>0,i=ji=j ，
则函数系 { g l ( x ) } l = 0 n \{g_{l}(x)\}_{l = 0}^{n} {
gl(x)}l=0n 称为 P n P_n Pn 的带权 ρ ( x ) \rho(x) ρ(x) 正交基 ( g l ( x ) g_{l}(x) gl(x) 称为 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的带权 l l l 次正交多项式 )。特别地，若 ( g i , g j ) = 1 , i = 0 , 1 , ⋯ , n (g_{i},g_{j}) = 1, i = 0,1,\cdots,n (gi,gj)=1,i=0,1,⋯,n ，则称 { g l ( x ) } l = 0 n \{g_{l}(x)\}_{l = 0}^{n} {
gl(x)}l=0n 为 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上 P n P_n Pn 的正规正交基。
由该定义易知，对任给的 k k k 次多项式 p k ( x ) p_{k}(x) pk(x) 有
( p k ( x ) , g l ) = 0 , l > k (p_{k}(x),g_{l}) = 0,\ l>k (pk(x),gl)=0, l>k
记 g l ∗ ( x ) = g l ( x ) / α l , l = 0 , 1 , ⋯ , n g_{l}^{*}(x) = g_{l}(x)/\alpha_{l}, l =0,1,\cdots,n gl∗(x)=gl(x)/αl,l=0,1,⋯,n ，则 { g l ∗ ( x ) } l = 0 n \{g_{l}^{*}(x)\}_{l = 0}^{n} {
gl∗(x)}l=0n 构成了 P n P_{n} Pn 的首项系数为 1 1 1 的带权正交多项式基。类似于 G r a m − S c h m i t Gram-Schmit Gram−Schmit 正交化变换，可以得到带权正交基的递推公式：
{ g 0 ∗ ( x ) = 1 , g 1 ∗ ( x ) = x − ( x g 0 ∗ , g 0 ∗ ) / ( g 0 ∗ , g 0 ∗ ) , g k + 1 ∗ ( x ) = ( x − β k ) g k ∗ ( x ) − α k g k − 1 ∗ ( x ) , k = 1 , 2 , ⋯ , n − 1 , \begin{cases} g_{0}^{*}(x) = 1,\ g_{1}^{*}(x) = x – (xg_{0}^{*},g_{0}^{*})/(g_{0}^{*},g_{0}^{*}),\\ g_{k+1}^{*}(x) = (x-\beta_{k})g_{k}^{*}(x) – \alpha_{k}g_{k-1}^{*}(x),\ k = 1,2,\cdots,n-1, \end{cases} {
g0∗(x)=1, g1∗(x)=x−(xg0∗,g0∗)/(g0∗,g0∗),gk+1∗(x)=(x−βk)gk∗(x)−αkgk−1∗(x), k=1,2,⋯,n−1,
其中，
β k = ( x g k ∗ , g k ∗ ) ( g k ∗ , g k ∗ ) , α k = ( g k ∗ , g k ∗ ) ( g k − 1 ∗ , g k − 1 ∗ ) . \beta_{k} = \dfrac{(xg_{k}^{*},g_{k}^{*})}{(g_{k}^{*},g_{k}^{*})}, \ \alpha_{k} = \dfrac{(g_{k}^{*},g_{k}^{*})}{(g_{k-1}^{*},g_{k-1}^{*})}. βk=(gk∗,gk∗)(xgk∗,gk∗), αk=(gk−1∗,gk−1∗)(gk∗,gk∗).
利用公式 ( 6 ) (6) (6) 这一性质，可得如下定理：
定理： 带权正交多项式 g l ( x ) ( l ≥ 1 ) g_{l}(x)(l\geq1) gl(x)(l≥1) 有个互异的是根，并且全部位于区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 内。
证明： 首先由 ( g l , g 0 ) = 0 (g_{l},g_{0})=0 (gl,g0)=0 ，则有 g l ∗ g_{l}^{*} gl∗ 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 内有零点。在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 里，如果有 m ( m < l ) m(m<l) m(m<l) 个不同的零点 x 1 , x 2 , ⋯ , x m x_{1},x_{2},\cdots,x_{m} x1,x2,⋯,xm ，而且是奇次零点，那么一定有多项式 g l ∗ ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ⋯ ( x − x m ) g_{l}^{*}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots(x-x_{m}) gl∗(x−x1)(x−x2)⋯(x−xm) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上保号，这就意味着
∫ a b ρ ( x ) g l ∗ ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ⋯ ( x − x m ) d x > 0 \int_{a}^{b}\rho(x)g_{l}^{*}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots(x-x_{m})dx > 0 ∫abρ(x)gl∗(x−x1)(x−x2)⋯(x−xm)dx>0
这与公式 ( 6 ) (6) (6) 矛盾，所以必然有 m = l m=l m=l。如果其中有偶次重根，在 g l ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ⋯ ( x − x m ) g_{l}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots(x-x_{m}) gl(x−x1)(x−x2)⋯(x−xm) 中除去 x x x 与该根之差，一样可以构造式 ( 9 ) (9) (9)，这与公式 ( 6 ) (6) (6) 矛盾，于是 g l ∗ g_{l}^{*} gl∗ 不存在偶次根，从而再次得出 m = l m=l m=l 。命题得证。
结合递推公式和数学归纳法，容易证明如下结论：
定理： 设 { g l ( x ) } l = 0 n \{g_{l}(x)\}_{l=0}^{n} {
gl(x)}l=0n 为带权正交多项式系。对 l ≥ 1 l\geq 1 l≥1 ，多项式 g l ( x ) g_{l}(x) gl(x) 和 g l + 1 ( x ) g_{l+1}(x) gl+1(x) 的零点必交错，即若 ξ 1 < ξ 2 < ⋯ < ξ l , η 1 < η 2 < ⋯ < η l + 1 \xi_{1}<\xi_{2}<\cdots<\xi_{l},\ \eta_{1}<\eta_{2}<\cdots<\eta_{l+1} ξ1<ξ2<⋯<ξl, η1<η2<⋯<ηl+1 ，分别为 g l ( x ) g_{l}(x) gl(x) 和 g l + 1 ( x ) g_{l+1}(x) gl+1(x) 的零点，则
a < η 1 < ξ 1 < η 2 < ξ 2 < ⋯ < ξ l < η l + 1 < b . a<\eta_{1}<\xi_{1}<\eta_{2}<\xi_{2}<\cdots<\xi_{l}<\eta_{l+1}<b. a<η1<ξ1<η2<ξ2<⋯<ξl<ηl+1<b.
证明： 略
一些例子
勒让德 ( L e g e n d r e Legendre Legendre ) 多项式：
设 ρ ( x ) = 1 \rho(x) = 1 ρ(x)=1 ， { l i ( x ) } 0 n \{l_{i}(x)\}_{0}^{n} {
li(x)}0n 为 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1] 上 P n P_n Pn 的正规正交基，则称 l i ( x ) l_{i}(x) li(x) 为 L e g e n d r e Legendre Legendre 多项式。
l k ( x ) = 1 2 k k ! ⋅ 2 k + 1 2 ⋅ d k d x k [ ( x 2 − 1 ) k ] , k = 0 , 1 , ⋯ , n l_{k}(x) = \frac{1}{2^{k}k!}\cdot\sqrt{\frac{2k+1}{2}}\cdot\frac{d^{k}}{dx^{k}}[(x^{2}-1)^{k}],\ k=0,1,\cdots,n lk(x)=2kk!1⋅22k+1⋅dxkdk[(x2−1)k], k=0,1,⋯,n
l k + 1 ( x ) = ( k + 1 ) ( 2 k + 3 ) k + 1 x l k ( x ) − k k + 1 2 k + 3 2 k − 1 l k − 1 ( x ) , k = 1 , 2 , ⋯ l_{k+1}(x) = \frac{\sqrt{(k+1)(2k+3)}}{k+1}xl_{k}(x)-\frac{k}{k+1}\sqrt{\frac{2k+3}{2k-1}}l_{k-1}(x),\ k=1,2,\cdots lk+1(x)=k+1(k+1)(2k+3)xlk(x)−k+1k2k−12k+3lk−1(x), k=1,2,⋯
C h e b y s h e v Chebyshev Chebyshev 多项式：
区间 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1] 上带权 ρ ( x ) = ( 1 − x 2 ) − 1 / 2 \rho(x) = (1-x^{2})^{-1/2} ρ(x)=(1−x2)−1/2 的 j j j 次正交多项式： T j ( x ) = cos ( j arccos x ) , j = 0 , 1 , ⋯ T_{j}(x) = \cos(j\arccos x),\ j=0,1,\cdots Tj(x)=cos(jarccosx), j=0,1,⋯
第二类 C h e b y s h e v Chebyshev Chebyshev 多项式：
区间 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1] 上带权 ρ ( x ) = ( 1 − x 2 ) 1 / 2 \rho(x) = (1-x^{2})^{1/2} ρ(x)=(1−x2)1/2 的 n n n 次正交多项式： U n ( x ) = sin ( ( 1 + n ) arccos x ) 1 − x 2 , n = 0 , 1 , ⋯ U_{n}(x) = \dfrac{\sin((1+n)\arccos x)}{\sqrt{1-x^{2}}},\ n=0,1,\cdots Un(x)=1−x2sin((1+n)arccosx), n=0,1,⋯
拉盖尔 ( L a g u e r r e Laguerre Laguerre ) 多项式：
区间 [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [0,+∞) 上带权 ρ ( x ) = e − x \rho(x) = e^{-x} ρ(x)=e−x 的 n n n 次正交多项式： L n ( x ) = e x d n d x n ( x n ⋅ e − x ) , n = 0 , 1 , ⋯ L_n(x) = e^{x}\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n}\cdot e^{-x}),\ n=0,1,\cdots Ln(x)=exdxndn(xn⋅e−x), n=0,1,⋯
埃尔米特 ( H e r m i t e Hermite Hermite ) 多项式：
区间 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞) 上带权 ρ ( x ) = e − x 2 \rho(x) = e^{-x^{2}} ρ(x)=e−x2 n n n 次正交多项式： H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n ( e − x 2 ) , n = 0 , 1 , ⋯ H_n(x) = (-1)^{n}e^{x^{2}}\dfrac{d^n}{dx^{n}}(e^{-x^{2}}),\ n=0,1,\cdots Hn(x)=(−1)nex2dxndn(e−x2), n=0,1,⋯
Gauss型求积公式
考虑求积公式
∫ a b ρ ( x ) f ( x ) d x ≈ ∑ k = 1 n A k f ( x k ) \int_{a}^{b}\rho(x)f(x)dx\approx \sum\limits_{k=1}^{n}A_{k}f(x_k) ∫abρ(x)f(x)dx≈k=1∑nAkf(xk)
其中 x i ≠ x j x_{i}\not=x_{j} xi=xj (当 i ≠ j i\not=j i=j 时)。若 A k A_{k} Ak 满足：
A k = ∫ a b ρ ( x ) l k ( x ) d x , l k ( x ) = ∏ j = 1 j ≠ k n x − x j x k − x j A_{k} = \int_{a}^{b}\rho(x)l_{k}(x)dx , \ l_{k}(x) = \prod_{\large j = 1\atop j\not=k}^{n}\dfrac{x-x_{j}}{x_{k} – x_{j}} Ak=∫abρ(x)lk(x)dx, lk(x)=j=kj=1∏nxk−xjx−xj
则称式 ( 13 ) (13) (13) 为插值型的。
容易证明如下定理：
定理： 形如式 ( 13 ) (13) (13) 的求积公式至少具有 n − 1 n-1 n−1 次代数精度的充分必要条件是它是插值型的。
证明：略
定义： 形如式 ( 13 ) (13) (13) 的求积公式具有 2 n − 1 2n-1 2n−1 次代数精度，则称它为 n n n 点 G a u s s Gauss Gauss 型求积公式，积分节点 { x k } \{x_{k}\} {
xk} 称为 G a u s s Gauss Gauss 点。
对于一般的 n n n 直接法求 G a u s s Gauss Gauss 积分公式是比较困难的，由上述定理可得， n n n 点 G a u s s Gauss Gauss 型求积公式 ( 13 ) (13) (13) 必定是插值型的，因此只要找到 G a u s s Gauss Gauss 点 { x k } \{x_{k} \} {
xk}，求积系数 { A k } \{A_{k} \} {
Ak} 就可以按式 ( 14 ) (14) (14) 算得。下面从研究 Gauss 点的基本特性入手来解决 Gauss 公式的构造问题。
定理： 互异节点 x k , k = 1 , 2 , ⋯ , n x_{k}, k=1,2,\cdots,n xk,k=1,2,⋯,n 是 n n n 点 G a u s s Gauss Gauss 求积公式的 G a u s s Gauss Gauss 点的充要条件是 ω n ( x ) = ∏ k = 1 n ( x − x k ) \omega_{n}(x) = \prod\limits_{k=1}^{n}(x-x_{k}) ωn(x)=k=1∏n(x−xk) 与任何次数不超过 n − 1 n-1 n−1 的多项式关于权函数 ρ ( x ) \rho(x) ρ(x) 正交，即成立
∫ a b ρ ( x ) ω n ( x ) ⋅ x j d x = 0 , j = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n − 1. \int_{a}^{b}\rho(x)\omega_{n}(x)\cdot x^{j}dx = 0,\ j = 0,1,2,\cdots,n-1. ∫abρ(x)ωn(x)⋅xjdx=0, j=0,1,2,⋯,n−1.
证明：略
定理： 对于任何正整数 n n n， n n n 点 G a u s s Gauss Gauss 求积公式是存在的，其 G a u s s Gauss Gauss 点就是求积区间上关于权函数正交多项式系 { φ m ( x ) } \{\varphi_{m}(x)\} {
φm(x)} 中 φ n ( x ) \varphi_{n}(x) φn(x) 的零点。
证明：略
省略部分下次再补充。
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