详细分析线性插值的基本知识（附Python代码）

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1. 基本知识

简单且常用的插值方法，主要用于在两个已知数据点之间进行插值

其基本思想是假设两个数据点之间的变化是线性的，从而可以通过计算两个数据点之间的线性方程来估计中间点的值

基本的理论知识如下：

2. Demo

2.1 基本线性插值

def linear_interpolate(x0, y0, x1, y1, x): """ 计算在点 (x0, y0) 和 (x1, y1) 之间，x 处的 y 值。 参数: x0, y0 - 第一个已知点的坐标 x1, y1 - 第二个已知点的坐标 x - 需要插值的 x 坐标 返回: 插值点的 y 值 """ y = y0 + (x - x0) * (y1 - y0) / (x1 - x0) return y # 示例数据点 x0, y0 = 1, 2 x1, y1 = 3, 3 x = 2 # 进行插值计算 y = linear_interpolate(x0, y0, x1, y1, x) print(f"在 x = { 
     x} 处的插值 y 值为: { 
     y}") 

截图如下：

2.2 多个数据插值

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 示例数据点 x_points = [0, 1, 2, 3, 4] y_points = [0, 2, 4, 6, 8] def linear_interpolate(x0, y0, x1, y1, x): """ 计算在点 (x0, y0) 和 (x1, y1) 之间，x 处的 y 值。 参数: x0, y0 - 第一个已知点的坐标 x1, y1 - 第二个已知点的坐标 x - 需要插值的 x 坐标 返回: 插值点的 y 值 """ y = y0 + (x - x0) * (y1 - y0) / (x1 - x0) return y def interpolate(x_points, y_points, x): """ 在一组数据点之间进行线性插值。 参数: x_points - x 坐标的列表 y_points - y 坐标的列表 x - 需要插值的 x 坐标 返回: 插值点的 y 值 """ for i in range(len(x_points) - 1): if x_points[i] <= x <= x_points[i + 1]: return linear_interpolate(x_points[i], y_points[i], x_points[i + 1], y_points[i + 1], x) return None # 插值点 x_new = np.linspace(0, 4, 100) y_new = [interpolate(x_points, y_points, xi) for xi in x_new] # 绘制结果 plt.plot(x_points, y_points, 'o', label='原始数据点') plt.plot(x_new, y_new, '-', label='插值曲线') plt.legend() plt.show() 

截图如下：

更换下数据：

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 示例数据点 x_points = [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20] y_points = [4, 7, 11, 16, 22, 29, 38, 49, 63, 80] def linear_interpolate(x0, y0, x1, y1, x): """ 计算在点 (x0, y0) 和 (x1, y1) 之间，x 处的 y 值。 参数: x0, y0 - 第一个已知点的坐标 x1, y1 - 第二个已知点的坐标 x - 需要插值的 x 坐标 返回: 插值点的 y 值 """ y = y0 + (x - x0) * (y1 - y0) / (x1 - x0) return y def interpolate(x_points, y_points, x): """ 在一组数据点之间进行线性插值。 参数: x_points - x 坐标的列表 y_points - y 坐标的列表 x - 需要插值的 x 坐标 返回: 插值点的 y 值 """ for i in range(len(x_points) - 1): if x_points[i] <= x <= x_points[i + 1]: return linear_interpolate(x_points[i], y_points[i], x_points[i + 1], y_points[i + 1], x) return None # 插值点 x_new = np.linspace(2, 20, 100) # 修改为在数据点范围内进行插值 y_new = [interpolate(x_points, y_points, xi) for xi in x_new] # 绘制结果 plt.plot(x_points, y_points, '-ob', label='原始数据点') plt.plot(x_new, y_new, 'ro', label='插值曲线') plt.legend() plt.show() 

截图如下：

如果想标记插值的点：

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 示例数据点 x_points = [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20] y_points = [4, 7, 11, 16, 22, 29, 38, 49, 63, 80] def linear_interpolate(x0, y0, x1, y1, x): """ 计算在点 (x0, y0) 和 (x1, y1) 之间，x 处的 y 值。 参数: x0, y0 - 第一个已知点的坐标 x1, y1 - 第二个已知点的坐标 x - 需要插值的 x 坐标 返回: 插值点的 y 值 """ y = y0 + (x - x0) * (y1 - y0) / (x1 - x0) return y def interpolate(x_points, y_points, x): """ 在一组数据点之间进行线性插值。 参数: x_points - x 坐标的列表 y_points - y 坐标的列表 x - 需要插值的 x 坐标 返回: 插值点的 y 值 """ for i in range(len(x_points) - 1): if x_points[i] <= x <= x_points[i + 1]: return linear_interpolate(x_points[i], y_points[i], x_points[i + 1], y_points[i + 1], x) return None # 计算插值点 x_interp = 13 y_interp = interpolate(x_points, y_points, x_interp) # 插值点 x_new = np.linspace(2, 20, 100) y_new = [interpolate(x_points, y_points, xi) for xi in x_new] # 绘制结果 plt.plot(x_points, y_points, '-ob', label='原始数据点') plt.plot(x_new, y_new, 'r-', label='插值曲线') plt.plot(x_interp, y_interp, 'go', label=f'插值点 ({ 
     x_interp}, { 
     y_interp:.1f})') plt.legend() plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('线性插值示例') plt.show() # 输出插值点 print(f"插值点 ({ 
     x_interp}, { 
     y_interp:.1f})") 

截图如下：

2.3 二维线性插值

def bilinear_interpolate(x, y, points): """ 执行二维线性插值。 参数: x, y - 插值点的 x 和 y 坐标 points - 四个已知点的坐标和值 [(x0, y0, z0), (x1, y0, z1), (x0, y1, z2), (x1, y1, z3)] 返回: 插值点的 z 值 """ # 确保 points 包含四个点 if len(points) != 4: raise ValueError("需要提供四个点的坐标和值") # 解包点的坐标和值 (x0, y0, z0), (x1, y0, z1), (x0_2, y1, z2), (x1_2, y1_2, z3) = points # 检查点是否构成矩形 if not (x0 == x0_2 and x1 == x1_2 and y0 == y0 and y1 == y1_2 and x0 < x1 and y0 < y1): print(f"输入点不构成矩形: { 
     points}") raise ValueError("点必须构成一个矩形，并且 x 和 y 值分别不同") # 在 x 方向上进行插值 z0_interp = z0 + (x - x0) * (z1 - z0) / (x1 - x0) z1_interp = z2 + (x - x0) * (z3 - z2) / (x1 - x0) # 在 y 方向上进行插值 z_interp = z0_interp + (y - y0) * (z1_interp - z0_interp) / (y1 - y0) return z_interp # 示例数据点 points = [(1, 1, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 3), (2, 2, 4)] x, y = 1.5, 1.5 # 进行插值计算 try: z = bilinear_interpolate(x, y, points) print(f"在 (x, y) = ({ 
     x}, { 
     y}) 处的插值 z 值为: { 
     z}") except ValueError as e: print(e) 

截图如下：