直纹面的简要介绍 以及matlab程序实现

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一. 直纹面的定义

        直纹面是一类特殊的曲面，它可以由一族直线“织成”，即过曲线上每一点都存在过该点的直线落在该曲面上。
        直纹面在几何造型中的应用非常广泛。直纹面是直线段在空间中沿某一定曲线运动所形成的轨迹. 定曲线称为准线，直线段称为母线。如下图：

        设准线为$h(u)$, 母线的方向向量为$l(u)$, 则直纹面的方程为：
       
$$P(u,v)=h(u)+vh(u),$$
其中，$u\in [u_0,u_1],v\in [v_0,v_1].$

       在实际应用中，直纹面还可以表示为
       
$$P(u,v)=(1-v)a(u)+vb(u),$$
其中，$u\in [u_0,u_1],v\in [0,1].$ 显然曲线$a(u),b(u)$为直纹面在$v=0,1$时的两条边界曲线
       
       

二. matlab程序：

function Ruled_surface % 直纹面编程示例： % 直纹面方程：p(u,v) = (1-u)*a(v) + u*b(v) ; % 其中a(v)，b(v)程序中分别取了两个bezier曲线 clear; clc; [U,V] = meshgrid(0:0.02:1,0:0.02:1); %第一条bezier曲线 a(v) rx=[0,1,2,3,4,7]; ry=[0,0,-3,5,6,6]; %控制顶点(0,0),(1,0),(2,-3),... M = 40; hx = 1/M; %将[0,1]区间M等分 x = V; n=length(rx)-1; Rx = 0; Ry = 0; for i = 1:n+1 Rx = Rx + rx(i)*B(x,n,i-1) ; %将控制顶点与Bernstein基函数相乘得到bezier曲线 Ry = Ry + ry(i)*B(x,n,i-1) ; end figure(1) plot(Rx,Ry,'r') %bezier曲线a(v) %第二条bezier曲线 b(v) px=[0,1,2,3,4,6]; py=[0,2,15,5,6,6]; %控制顶点(0,0),(1,2),.... M = 40; hx = 1/M; %将[0,1]区间M等分 x = V; n=length(px)-1; PX = 0; PY = 0; for i = 1:n+1 PX = PX + px(i)*B(x,n,i-1) ; %将控制顶点与Bernstein基函数相乘得到bezier曲线 PY = PY + py(i)*B(x,n,i-1) ; end figure(2) plot(PX,PY,'b') %bezier曲线b(v) %将两条边界bezier曲线带入直纹面方程 X = (1-U).*Rx + U.*PX; Y = (1-U).*Ry + U.*PY ; Z = (1-U).*2 + U.*(33) ; %两种方式画图 figure(3) surf(U,V,Y) figure(5) surf(X,Y,Z) figure(4) mesh(X,Y,Z) end % 第i个bernstein基函数 function y = B(x,n,i) y = N(n,i).*(x.^i).*((1-x).^(n-i)); end % 组合数 Number of combinations function y = N(n,i) y1 = factorial(n); %n的阶乘 y2 = factorial(i)*factorial(n-i); y = y1/y2; end 

可以直接在matlab上运行的。

三. 图像

1.第一条边界bezier曲线：

      
        
2. 第二条边界bezier曲线：

       
3. 最终生成的直纹面

四、更新后的程序：

function Ruled_surface_1 % date : 2020.10.15 % 直纹面编程示例： % 直纹面方程：p(u,v) = (1-u)*a(v) + u*b(v) ; % 其中a(v)，b(v)程序中分别取了两个bezier曲线 % author ： mw_ clear; clc; % 直纹面编程示例： % 直纹面方程：p(u,v) = (1-u)*a(v) + u*b(v) ; % 其中A(v)，B(v)程序中分别取了两个bezier曲线 %A曲线的控制顶点 A0 = [0,0,0]; A1 = [1,1,0]; A2 = [2,0,0]; ax = [A0(1),A1(1),A2(1)]; ay = [A0(2),A1(2),A2(2)]; az = [A0(3),A1(3),A2(3)]; [U,V] = meshgrid(0:0.02:1,0:0.02:1); %B曲线的控制顶点 B0 = [0.5,0,0.5]; B1 = [1,1,2]; B2 = [3,0,1]; bx = [B0(1),B1(1),B2(1)]; by = [B0(2),B1(2),B2(2)]; bz = [B0(3),B1(3),B2(3)]; %A_bezier曲线 x = V; n=length(ax)-1; Ax = 0; Ay = 0; Az = 0; for i = 1:n+1 Ax = Ax + ax(i)*B(x,n,i-1) ; %将控制顶点与Bernstein基函数相乘得到bezier曲线 Ay = Ay + ay(i)*B(x,n,i-1) ; Az = Az + az(i)*B(x,n,i-1) ; end figure(1) plot3(ax,ay,az,'k',ax,ay,az,'m*') hold on plot3(Ax,Ay,Az,'r') %bezier曲线a(v) %B_bezier曲线 x = V; n=length(bx)-1; Bx = 0; By = 0; Bz = 0; for i = 1:n+1 Bx = Bx + bx(i)*B(x,n,i-1) ; %将控制顶点与Bernstein基函数相乘得到bezier曲线 By = By + by(i)*B(x,n,i-1) ; Bz = Bz + bz(i)*B(x,n,i-1) ; end figure(2) plot3(bx,by,bz,'k',bx,by,bz,'m*') hold on plot3(Bx,By,Bz,'r') %将两条边界bezier曲线带入直纹面方程 X = (1-U).*Ax + U.*Bx ; Y = (1-U).*Ay + U.*By ; Z = (1-U).*Az + U.*Bz ; %两种方式画图 figure(3) mesh(X,Y,Z) figure(4) mesh(X,Y,U) %总感觉有点怪怪的 end 

总感觉有问题，如果有人发现有什么问题给我说一下，谢谢！

% date : 2020.10.15 % 直纹面编程示例： % 直纹面方程：p(u,v) = (1-u)*a(v) + u*b(v) ; % 其中a(v)，b(v)程序中分别取了两个bezier曲线 % author ： mw_ clear; clc; % 直纹面编程示例： % 直纹面方程：p(u,v) = (1-u)*a(v) + u*b(v) ; % 其中A(v)，B(v)程序中分别取了两个bezier曲线 %A曲线的控制顶点 % A0 = [0,0,0]; A1 = [1,1,0]; A2 = [2,0,0]; ax = [0,1,2,3,4,6]; ay = [0,2,15,5,6,6]; az = [0,1,0,1,0,0]; [U,V] = meshgrid(0:0.02:1,0:0.02:1); %B曲线的控制顶点 % B0 = [0.5,0,0.5]; B1 = [1,1,2]; B2 = [3,0,1]; bx = [2,1,2,3,4,7]; by = [1,0,-3,5,6,6]; bz = [1,0,1,0,0,3]; %A_bezier曲线 x = V; n=length(ax)-1; Ax = 0; Ay = 0; Az = 0; for i = 1:n+1 Ax = Ax + ax(i)*B(x,n,i-1) ; %将控制顶点与Bernstein基函数相乘得到bezier曲线 Ay = Ay + ay(i)*B(x,n,i-1) ; Az = Az + az(i)*B(x,n,i-1) ; end figure(1) plot3(ax,ay,az,'k',ax,ay,az,'m*') hold on plot3(Ax,Ay,Az,'r') %bezier曲线a(v) %B_bezier曲线 x = V; n=length(bx)-1; Bx = 0; By = 0; Bz = 0; for i = 1:n+1 Bx = Bx + bx(i)*B(x,n,i-1) ; %将控制顶点与Bernstein基函数相乘得到bezier曲线 By = By + by(i)*B(x,n,i-1) ; Bz = Bz + bz(i)*B(x,n,i-1) ; end figure(2) plot3(bx,by,bz,'k',bx,by,bz,'m*') hold on plot3(Bx,By,Bz,'r') %将两条边界bezier曲线带入直纹面方程 X = (1-U).*Ax + U.*Bx ; Y = (1-U).*Ay + U.*By ; Z = (1-U).*Az + U.*Bz ; %两种方式画图 figure(3) mesh(X,Y,Z) figure(4) mesh(X,Y,U) 

更新的程序用到的函数：

% 第i个bernstein基函数 function y = B(x,n,i) y = N(n,i).*(x.^i).*((1-x).^(n-i)); end % 组合数 Number of combinations function y = N(n,i) y1 = factorial(n); %n的阶乘 y2 = factorial(i)*factorial(n-i); y = y1/y2; end