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1、坐标系旋转公式
假设平面有一个点 P P P，在坐标系 X O Y XOY XOY 中的坐标为 ( x , y ) (x, y) (x,y)，在坐标系 X ′ O ′ Y ′ X’O’Y’ X′O′Y′ 中的坐标为 ( x ′ , y ′ ) (x’, y’) (x′,y′) ，坐标原点 O O O和 O ′ O’ O′ 重合，坐标系 X ′ O ′ Y ′ X’O’Y’ X′O′Y′ 相对于 X O Y XOY XOY的旋转角度为 θ \theta θ，逆时针为正，则从 X O Y XOY XOY 到 X ′ O ′ Y ′ X’O’Y’ X′O′Y′ 的坐标变换公式为：
x ′ = x c o s θ + y s i n θ x’ = xcos\theta + ysin\theta x′=xcosθ+ysinθ
y ′ = y c o s θ − x s i n θ y’ = ycos\theta – xsin\theta y′=ycosθ−xsinθ
反之，从 X ′ O ′ Y ′ X’O’Y’ X′O′Y′ 到 X O Y XOY XOY的坐标变换公式为（本质上就是旋转 − θ -\theta −θ）：
x = x ′ c o s θ − y ′ s i n θ x = x’cos\theta – y’sin\theta x=x′cosθ−y′sinθ
y = y ′ c o s θ + x ′ s i n θ y = y’cos\theta + x’sin\theta y=y′cosθ+x′sinθ
2、坐标系平移公式
假设平面有一个点 P P P，在坐标系 X O Y XOY XOY 中的坐标为 ( x , y ) (x, y) (x,y)，在坐标系 X ′ O ′ Y ′ X’O’Y’ X′O′Y′ 中的坐标为 ( x ′ , y ′ ) (x’, y’) (x′,y′)，坐标系 X ′ O ′ Y ′ X’O’Y’ X′O′Y′相对于 X O Y XOY XOY 没有旋转角度， X X X轴与 X ′ X’ X′轴方向相同， Y Y Y轴与 Y ′ Y’ Y′轴方向相同，坐标系原点 O ′ O’ O′相对于原点 O O O 的平移位移在 X X X轴和 Y Y Y轴的分量分别为 d x dx dx和 d y dy dy ，沿 X O Y XOY XOY坐标轴正方向为正，则从 X O Y XOY XOY到 X ′ O ′ Y ′ X’O’Y’ X′O′Y′的坐标变换公式为：
x ′ = x − Δ x x’ = x – \Delta x x′=x−Δx
y ′ = y − Δ y y’ = y – \Delta y y′=y−Δy
反之，从 X ′ O ′ Y ′ X’O’Y’ X′O′Y′到 X O Y XOY XOY的坐标变换公式为（本质上就是平移 − d x -dx −dx 和 − d y -dy −dy）：
x = x ′ + Δ x x = x’ + \Delta x x=x′+Δx
y = y ′ + Δ y y = y’ + \Delta y y=y′+Δy
3、复合变换
假设平面有一个点 P P P，在坐标系 X O Y XOY XOY中的坐标为 ( x , y ) (x, y) (x,y)，在坐标系 X ′ O ′ Y ′ X’O’Y’ X′O′Y′中的坐标为 ( x ′ , y ′ ) (x’, y’) (x′,y′)，坐标系 X ′ O ′ Y ′ X’O’Y’ X′O′Y′相对于 X O Y XOY XOY的旋转角度为 θ \theta θ，逆时针为正，坐标系原点 O ′ O’ O′相对于原点 O O O的平移位移在 X X X 轴和 Y Y Y轴的分量分别为 d x dx dx 和 d y dy dy ，沿 X O Y XOY XOY 坐标轴正方向为正。
如果要从 X O Y XOY XOY变换到 X ′ O ′ Y ′ X’O’Y’ X′O′Y′，考虑一个中间坐标系 X ′ ′ O ′ ′ Y ′ ′ X”O”Y” X′′O′′Y′′，这个坐标系是 X ′ O ′ Y ′ X’O’Y’ X′O′Y′绕原点 O ′ O’ O′旋转 − θ -\theta −θ角度形成的，相当于 X O Y XOY XOY单纯平移 d x dx dx、 d y dy dy，采用先平移 d x dx dx、 d y dy dy再旋转 δ \delta δ的方式，可以推出从 X O Y XOY XOY到 X ′ O ′ Y ′ X’O’Y’ X′O′Y′的坐标变换公式为：
x ′ = ( x − Δ x ) c o s θ + ( y − Δ y ) s i n θ x’ = (x – \Delta x)cos\theta + (y – \Delta y)sin\theta x′=(x−Δx)cosθ+(y−Δy)sinθ
y ′ = ( y − Δ y ) c o s θ − ( x − Δ x ) s i n θ y’ = (y – \Delta y)cos\theta – (x – \Delta x)sin\theta y′=(y−Δy)cosθ−(x−Δx)sinθ
本质上就是从 X O Y XOY XOY先做一次 d x dx dx、 d y dy dy的平移变换，再做一次 θ \theta θ的旋转变换。
反过来，如果要从 X’O’Y’ 变换到 XOY，仍然使用上述的中间坐标系 X ′ ′ O ′ ′ Y ′ ′ X”O”Y” X′′O′′Y′′，采用先旋转 − θ -\theta −θ 角度再平移 − d x -dx −dx、 − d y -dy −dy 的方式，可以推出从 X ′ O ′ Y ′ X’O’Y’ X′O′Y′ 到 X O Y XOY XOY的坐标变换公式为：
x = x ′ c o s θ − y ′ s i n θ + Δ x x = x’cos\theta – y’sin\theta + \Delta x x=x′cosθ−y′sinθ+Δx
y = y ′ c o s θ + x ′ s i n θ + Δ y y = y’cos\theta + x’sin\theta + \Delta y y=y′cosθ+x′sinθ+Δy
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