分析–复分析_IT分享知识网

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1. 复数

（1）复数共轭、模（绝对值）：

$Re\,z=\frac{z+\bar{z}}{2}$ , $Im\,z=\frac{z-\bar{z}}{2i}$

$\left | z \right |^{2}=z\bar{z}$

$\left | a_{1}a_{2}...a_{n} \right |=\left | a_{1} \right |\cdot \left | a_{2} \right |\cdot \cdot \cdot \left | a_{n} \right |$ , $\left | \frac{a}{b} \right |=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}$

$\left | a+b \right |^{2}=\left | a \right |^{2}+\left | b \right |^{2}+2Re\,a\bar{b}$

$\left | a-b \right |^{2}=\left | a \right |^{2}+\left | b \right |^{2}-2Re\,a\bar{b}$

三角形不等式： $\left | a_{1}+a_{2}+...+a_{n} \right |\leq \left | a_{1} \right |+\left | a_{2} \right |+\cdot \cdot \cdot +\left | a_{n} \right |$ ，等号成立当且仅当任意两个非零项之比为正数

柯西不等式： $\left | \sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} \right |^{2}\leq \sum_{i=1}^{n}\left | a_{i} \right |^{2}\,\sum_{i=1}^{n}\left | b_{i} \right |^{2}$ ，等号当且仅当 $a_{i}$ 与 $\bar{b_{i}}$ 成比例

（2）复数的几何表示

复数的三角形式： $a=r(cos\varphi +isin\varphi )$ ，极角 $\varphi$ 称为复数的幅角 $arg\,a$

复数的指数形式： $a=r(cos\varphi +isin\varphi )=re^{i\varphi }$

幅角公式： $arg(a_{1}a_{2})=arg\,a_{1}+arg\,a_{2},\,\,arg(\frac{a_{1}}{a_{2}})=arg\,a_{1}-arg\,a_{2}$

$a^{n}=r^{n}(cos\,n\varphi +isin\,n\varphi )=r^{n}e^{in\varphi }$

棣莫弗公式： $(cos\varphi +isin\varphi )^{n}=cos\,n\varphi +isin\,n\varphi$

复数的n次方根：

$z^{n}=a=r(cos\varphi +isin\varphi )$

$z=\sqrt[n]{r}\left ( cos\frac{\varphi +2k\pi }{n}+isin\frac{\varphi +2k\pi }{n} \right ),\,\,k=0,1,...,n-1$

（3）曲线复数方程

直线：参数形式 $L=\left \{ z:z=a+bt \right \}$ ，其中a, b为复数，参数 t 取遍所有实数，可改写成 $L=\left \{ z:Im\frac{z-a}{b} =0\right \}$ 。另外 0\right \}”> 为L的左半平面， $\left \{ z:Im\frac{z-a}{b} <0\right \}$ 为L的右半平面。直线的一般式 $a(z+\bar{z})+b(z-\bar{z})+c=0$

圆： $\left | z-a \right |=r$ ，代数形式 $(z-a)(\bar{z}-\bar{a})=r^{2}$ ，或者 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ，指数形式 $z=a+re^{it}\,(0\leq t \leq 2\pi)$

椭圆： $\left | z-a \right |+\left | z-b \right |=2c$ ，代数方程 $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}}+\frac{y^{2}}{a_{2}^{2}}=1$

双曲线： $\left | z-a \right |-\left | z-b \right |=2c$ ，代数方程 $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}}-\frac{y^{2}}{a_{2}^{2}}=1$

抛物线： $\left | z+\bar{z} \right |^{2}=m\left | z-\bar{z} \right |$ ，代数方程 $y^{2}=4mx$

2. 度量空间与C中的拓扑

（1）一般拓扑空间中点的分类：内点、外点、边界点、聚点、孤立点

（2）一般拓扑空间中的点集

开集：E的所有点都是它的内点，则E称为开集

闭集：E的余集 $E^{c}$ 为开集，则E称为闭集。E为闭集等价于E的所有聚点都在E内。

紧集：具有有限覆盖性质的集称为紧致集。即从E的任一开覆盖中必能选出有限个开集 $G_{1},...,G_{n}$ ，使得它们的并集覆盖E， $E\subset \bigcup_{j=1}^{n}G_{j}$

稠密集：稠密表示X的所有点都是E的聚点或E中的点，即 $\bar{E}=X$ ，则称E在X中稠密。直观上稠密表示X的任何局部（即开子集）都有E中的点，E充满了X的各个地方，但E在X中可能还有”缝隙”。

离散集：集合中的所有点都是孤立点，则该集合称为离散集

连通集：若对任意两个不相交的非空集 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ ，满足 $E=E_{1}\cup E_{2}$ ，且 $E_{1}\cap \bar{E_{2}}$ 和 $\bar{E_{1}}\cap E_{2}$ 至少有一个非空，则称E是连通集。E是连通集，等价于E不能表示为两个不相交的非空开集的并；等价于E中任意两点可以用E中的折线连接起来

连通分支：若子集E是X的最大连通子集（即不存在X的连通子集使得E是它的真子集），则E称为X的一个连通分支

域：非空的连通开集称为区域。域是开区间的一般化抽象。复分析中讨论解析函数时一般是定义在域即连通开集上的，因为非连通集求导数时会带来很多额外的问题

（3）一般度量空间中的概念（以复数空间为例）

有界集：有界表示存在一个圈，使得E中所有点都在这个圈内。即存在r>0，使得 $E\subset B(0,r)=\left \{ z \in C:\,\left | z \right |<r \right \}$ 。紧集必是有界集

集合的直径（长度）：E中”最大”的距离，即E中任意两点间距离的上确界， $diamE=sup\left \{ \left | z_{1}-z_{2} \right |:z_{1},z_{2} \in E \right \}$

集合间的距离： $d(E,F)=inf\left \{ \left | z_{1}-z_{2} \right |:z_{1} \in E, z_{2} \in F \right \}$

点到集合的距离： $d(a,F)=inf\left \{ \left | a-z \right |:z \in F \right \}$

（4）可分度量空间：若度量空间S中存在一个可数的稠密子集，则称S是可分的度量空间。可分度量空间中的一个离散集是可数的

（5）完备的度量空间：一个度量空间是完备的，是指每个柯西序列是收敛的。紧致的度量空间必定是完备的，反过来不一定成立。一般欧氏空间是完备的

（6）连续映射：对于映射 $f:S \to {S}'$ ，若对任意0″>，存在 0″>，使得 $d(x,a)<\delta$ 蕴涵 ${d}'(f(x),f(a))<\epsilon$ ，则称f在a处连续

同胚映射（拓扑映射）：映射 $f:S \to {S}'$ 是双射，且和 $f^{-1}$ 都是连续的，则称f是同胚映射

拓扑性质：集合的一种性质如果为这个集的所有拓扑映射所共有，则称它是拓扑性质。紧致性、连通性都是拓扑性质

（7）拓扑空间：对集合X上的一个开子集族 $\tau \subset 2^{X}$ ，它包含空集和X，其中的有限交封闭（有限个集合的交仍在 $\tau$ 中），任意并也封闭，则 $\tau$ 称为X上的一个拓扑，(X, $\tau$ )为拓扑空间。若 $A\in \tau$ ，则称A是该拓扑空间中的一个开集。若 $A^{c}\in \tau$ ，则称A是该拓扑空间中的一个闭集。开（闭）集是相对拓扑空间而言的，在这个拓扑空间里它是开（闭）集，可能它在另一个拓扑空间中就不是开（闭）集了。另外从闭集的定义可以看出所谓开集和闭集只是对同一拓扑空间的不同描述，因为一个空间，你只要定义了什么是闭集（就是全部闭集组成的集族是啥），自然也就定义了什么叫开集。

拓扑空间中的收敛序列：对无穷序列 $\left \{ x_{n} \right \}$ ，如果x的任一邻域包含除有穷个之外的全部 $x_{n}$ ，则称 $x_{n}$ 收敛到x，记作 $x_{n} \to x$

（8）Hausdorff空间：如果任意两个相异的点包含在不相交的开集中，即当 $x \neq y$ 时，存在开集U和V，使得 $x \in U,\,y \in V$ ，并且 $U \cap V=\varnothing$ ，则该拓扑空间称为豪斯多夫空间。在Hausdorff空间中，收敛序列的极限是唯一的

（9）简单曲线（Jordan曲线）：由复值连续函数 $z=\gamma (t)=x(t)+iy(t),\,a\leq t\leq b$ 定义的映射 $\gamma :[a,b]\rightarrow C$ ，表示复平面上的一条曲线。如果仅当 $t_{1}=t_{2}$ 时有 $\gamma (t_{1})=\gamma (t_{2})$ ，则称 $\gamma$ 为简单曲线或Jordan曲线，如果起点和终点重合 $\gamma (a)=\gamma (b)$ ，则称为简单闭曲线，或Jordan闭曲线，围道。

曲线是光滑的：导数 ${\gamma}'(t)$ 存在且连续，若除去有穷个t值外也成立，则为分段光滑的

曲线是正则的：非零导数 ${\gamma}'(t)\neq 0$ 存在且连续，若除去有穷个t值外也成立，则为分段正则的

（10）单连通域：域D称为单连通的，如果D内任意简单闭曲线的内部仍在D内。不是单连通的域称为多连通的。如果域D由n条简单闭曲线围成，则称为D为n连通的。

主要定理：

（1）连通集的性质：每一个集都可以分划分成多个不相交的连通分支的并，并且这种划分方式是唯一的。特别地， $R^{n}$ 中的任一开集的连通分支都是开集，并且连通分支的数目是可数个，即分支与自然数集是一一对应的。

（2）在局部连通可分空间中，每个开集都是可数个不相交区域的并

（3）Cantor区间套定理：度量空间(X, d)是完备的，当且仅当任意满足条件 $F_{1}\supset F_{2}\supset ...\supset F_{n}\supset ...$ 和 $diamF_{n} \to 0$ 的非空闭集序列 $\left \{ F_{n} \right \}$ ，其交集 $\bigcap_{n=1}^{\infty }F_{n}$ 是由一个点组成

（4）Heine-Borel有限覆盖定理：集合E是紧集，当且仅当它是完备的且全有界的（即对任一 0″>，可用有限多个半径为 $\epsilon$ 的球覆盖E）。特别地，在复数域C或一般的欧氏空间上，E为紧集等价于E为有界闭集。

（5）Bolzano-Weierstrass聚点定理：集合E是紧集，当且仅当每个无穷序列具有一个聚点。特别地，在含有无穷远点的扩充复数域上，任一无穷点集至少存在一个聚点。

（6）连续映射的性质：紧致集在连续映射下的象必是紧致的，因而是闭的；紧集上的实值连续函数必有一个极大值和一个极小值（因而是有界的）；紧集上的连续映射必是一致连续的；连通集在连续映射下的象必是连通的。

（7）不相交的闭集和紧集间的距离必大于0

（8）Jordan曲线定理：一条Jordan闭曲线 $\gamma$ 把复平面划分成两个域，其中一个是有界的，称为 $\gamma$ 的内部；另一个是无界的，称为 $\gamma$ 的外部，而 $\gamma$ 是这两个域的共同边界。

3. 复函数

（1）复数序列的收敛

Cauchy列：复数列 $\left \{ z_{n} \right \}$ 称为Cauchy列，如果对任意给定的 0″>，存在正整数N，当m, n>N时，有 $\left | z_{n}-z_{m} \right |<\epsilon$

复数序列收敛的充要条件：序列 $\left \{ z_{n} \right \}$ 收敛的充要条件是 $\left \{ z_{n} \right \}$ 为Cauchy列

函数项序列收敛：序列 $\left \{ f_{n}(x) \right \}$ 在E上一致收敛，当且仅当对每一个 0″>，存在一个 $n_{0}$ ，使得对所有的 $m,n\geq 0$ 和所有的 $x \in E$ ，都有 $\left | f_{m}(x)-f_{n}(x) \right |<\epsilon$

（2）复函数的极限和连续： $\lim_{z\rightarrow z_{0}}f(z)=a$ ，使用 $\epsilon -\delta$ 语言来定义。连续的定义 $\lim_{z\rightarrow z_{0}}f(z)=f(z_{0})$ ，则f在点 $z_{0} \in E$ 处连续

（3）微分（导数）： ${f}'(z_{0})=\lim_{z \to z_{0}}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}=\lim_{\Delta xz\to 0}\frac{f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}$ ，可微必连续。处处连续但处处不可微的复变函数例子 $f(z)=\bar{z}$

（4）解析函数（全纯函数）：如果在域D中的每个点都可微，则称f为域D中的解析函数或全纯函数

（5）调和函数：调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。对域D上的实值函数u，如果u有二阶连续偏导数，且对做任意 $z \in D$ ，满足Laplace方程

$\Delta u=\frac{\partial ^{2}u(z)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}u(z)}{\partial y^{2}}=0$

则称u为D中的调和函数。拉普拉斯方程可改写成 $\Delta u=4\frac{\partial ^{2}u}{\partial z\partial \bar{z}}=0$ 。全纯函数的实部和虚部必定是调和函数

（6）共轭调和函数：对域D上的一对调和函数u和v，如果满足Cauchy-Riemann方程 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\,\,\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$ ，就称u和v为共轭调和函数。全纯函数的实部和虚部就构成一对共轭调和函数

（7）整函数：在整个C上每点都全纯的函数

（8）单叶函数：对定义在域D上的复变函数f，若对D中的任意两不同的点 $z_{1}\neq z_{2}$ ，必有 $f(z_{1}) \neq f(z_{2})$ ，则称f在D内是单叶的。D称为f的单叶性域

（9）有理函数： $R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{a_{0}+a_{1}z+...+a_{n}z^{n}}{b_{0}+b_{1}z+...+b_{m}z^{m}}$ ，定义在扩充复平面上，Q(z)的零点称为R(Z)的极点，在极点处R(z)取值 $\infty$ 。 $R(\infty )$ 定义为 $z \to \infty$ 时的R(z)的极限。 $\infty$ 处的零点或极点定义为 $R(\frac{1}{z})$ 在原点处的零点或极点。因此R(z)的总零点个数或总极点个数都是 $max\left \{ m,n \right \}$ 。这个数称为有理函数的阶。

（10）初等解析函数：

指数函数： ${(e^{z})}'=e^{z}$ ，是整函数，是以 $2\pi i$ 为周期的周期函数

三角函数：根据Euler公式，可以用指数函数来表示。 ${(cosz)}'=-sinz,\,\,{(sinz)}'=cosz$ 都是整函数，都是以 $2\pi$ 为周期的周期函数，都是无界函数

对数函数：指数函数的反函数， $Logz=Log\left | z \right |+iArgz$ ，是一个多值函数。将定义域限制在连通开集z>0上，即正实轴一侧，值域限制在 $\left | Im\,logz \right |<\pi$ 定义的分支上，则成为解析的单值函数。导数为 $\frac{1}{z}$

幂函数： $z^{b}=e^{b\,logz}$ ，是多值函数。用log z的分支来定义的 $z^{b}$ 的分支，它是解析的。特别地，b为自然数时， ${(z^{n})}'=z^{n-1}$ ，它是一个单值的整函数

（11）对数函数的一个分支：设G是C中的连通开集，若 $f:G \to C$ 是一个连续函数，并且对所有的 $z \in G$ ，有 $z=exp\,f(z)$ ，则f称为对数 logz 的一个分支。如果f是 logz 的一个分支，则 logz 的所有分支可表示为 $f(z)+2\pi ki,\,k \in Z$

对数函数的分支是解析的，它是导数是 $\frac{1}{z}$

（12）共形映射：解析函数 $w=f(z):C \to C$ 在其导数不为0的点处是保角的。即若 ${f}'(z_{0})\neq 0$ ，那么在映射 w=f(z) 的作用下，过 $z_{0}$ 点的任意两条光滑曲线的夹角大小和与旋转方向都保持不变。因此解析函数是保角映射（保角变换）。另外在 $z_{0}$ 的邻域内作一个以 $z_{0}$ 为顶点的小三角形，它被f映射为一个曲边三角形，其微分三角形与原小三角形相似，因此这样的映射也称为共形映射。映射的像点间的距离与原像点间的距离的比值极限 $\lim_{z \to z_{0}}\frac{\left | f(z)-f(z_{0}) \right |}{\left | z-z_{0} \right |}=\left | {f}'(z_{0}) \right |$ ，称为f在 $z_{0}$ 处的伸缩率。

（13）分式线性变换（Mobius变换）：一阶有理函数 $\omega =S(z)=\frac{az+b}{cz+d},\,ad-bc\neq 0$ 称为分式线性变换，也叫莫比乌斯变换，或者单应变换。它把 $C_{\infty }$ 映射为 $C_{\infty }$

常用的分式线性变换：平移、伸缩、旋转、反演

（14）交比：对给定的四个点，其中至少有三个点是不相同的，称比值 $\frac{z_{1}-z_{3}}{z_{1}-z_{4}}/\frac{z_{2}-z_{3}}{z_{2}-z_{4}}$ 为这四点的交比，记作 $(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})$

（15）对称点（反演点）：对圆周 $\gamma =\left \{ z:\left | z-a \right |=R \right \}$ ，如果两点 $z_{1},z_{2}$ 位于从圆心a出发的射线上，且满足 $\left | z_{1}-a \right |\left | z_{2}-a \right |=R^{2}$ ，则称 $z_{1},z_{2}$ 关于圆周 $\gamma$ 对称，互称为反演点。注意当 $\gamma$ 退化成直线时，则 $\gamma$ 是线段 $[z_{1},z_{2}]$ 的垂直平分线时，称 $z_{1},z_{2}$ 关于直线 $\gamma$ 对称（反演）。

求点 $z_{1}$ 的对称点： $z_{2}=a+\frac{R^{2}}{\bar{z_{1}}-\bar{a}}$ ，可知圆心的对称点是无穷远点

（16）Apollonius圆：0″>，即到两个定点距离之比为常数的点的轨迹。当k=1时轨迹退化为两点连线的中垂线

（17）Steiner圆族：由复平面上的两个点确定的一类圆周的总称。 $C_{1}$ 表示过两点a, b的圆族， $C_{2}$ 表示由a, b两个极限点确定的Apollonius圆族，所有这些圆构成施泰纳圆族

（18）阶层曲线：对映射，直线族 $x=x_{0}$ 及 $y=y_{0}$ 的在上的象曲线，共同组成一个正交网曲线网。而z平面上的曲线 $u(x,y)=u_{0}$ 及 $v(x,y)=v_{0}$ ，它们也是正交的，分别称为u和v的阶层曲线

（19）基本域：一个域如果在一一对应下映成具有一个或几个割痕的整个平面，则称这个域为基本域

主要定理：

（1）Euler公式： $e^{iz}=cosz+isinz$ ，用幂级数展开来证明

（2）Cauchy-Riemann方程：刻画了复变函数可微的充要条件。对定义在域D上的函数，f在点 $z_{0}=x_{0}+iy_{0} \in D$ 处可微的充要条件是f在 $z_{0}$ 处实可微（即 u, v 在 $(x_{0},y_{0})$ 处可微），且满足Cauchy-Riemann方程 $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_{0})=0$ ，即在 $(x_{0},y_{0})$ 处有

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\,\,\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

在可微的情况下，有 ${f}'(z_{0})=\frac{\partial f}{\partial z}(z_{0})=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$ ，这里的偏导数在 $(x_{0},y_{0})$ 处取值。

证明思路：f(z)可以写成 $f(z)=f(x,y)=f(\frac{z+\bar{z}}{2},-i\frac{z-\bar{z}}{2})$ ，分别对和 $\bar{z}$ 求偏导，可微的条件就是Cauchy-Riemann方程 $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_{0})=0$ ，这等价于上述两个偏微分方程。

（3）函数解析的充要条件：复变函数f(z)是解析函数的充要条件是实部和虚部具有一阶连续偏函数，并且满足Cauchy-Riemann方程 $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$ 。这个方程说明解析函数与 $\bar{z}$ 无关，而仅是的函数。这是解析函数与两个二元实变函数的本质区别

（4）Lucas定理：若复系数多项式 $P(z)=a_{0}+a_{1}z+...+a_{n}z^{n}$ 的所有零点在都在一个半平面内，则导数 {P}'(z) 的所有零点也都在同一半平面内。更精确的， {P}'(z) 的所有零点都位于包含 P(z) 零点的最小凸多边形内。

（5）有理函数的性质：p阶有理函数R(z)有p个零点和p个极点，并且每一个方程R(z)=a恰好有p个根

（6）共轭调和函数的存在性：对单连通域是肯定的。设u是单连通域D上的调和函数，则必存在u的共轭调和函数v，使得u+iv是D上的解析函数

（7）分式线性变换的性质：

不动点：对非恒等变换最多只有两个不动点。

可分解性：分式线性变换只能是平移、伸缩或反演的复合。

保圆性：分式线性变换把圆周变换为圆周（直线看成是过无穷远点的圆周）。

唯一性：有且只有一个分式线性变换把 $C_{\infty }$ 上的三个不同点 $z_{1},z_{2},z_{3}$ 映射为 $C_{\infty }$ 上的另外三个不同点 $w_{1},w_{2},w_{3}$ ，这个变换可写成 $(w,w_{1},w_{2},w_{3})=(z,z_{1},z_{2},z_{3})$

交比不变性：交比是分式线性变换的不变量，即 $(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})=(T(z_{1}),T(z_{2}),T(z_{3}),T(z_{4}))$

四点共圆或共线的充要条件： $Im(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})=0$ ，即交比是实数

（8）分式线性变换的走向不变性：设 $\gamma _{1},\gamma _{2}$ 是 $C_{\infty }$ 中的两个圆周， $z_{1},z_{2},z_{3}$ 是 $\gamma _{1}$ 上有序的三个点，如果分式线性变换T把 $\gamma _{1}$ 映为 $\gamma _{2}$ ，那么它一定把 $\gamma _{1}$ 关于 $z_{1},z_{2},z_{3}$ 走向的右边和左边分别变为 $\gamma _{2}$ 关于 $T(z_{1}),T(z_{2}),T(z_{3})$ 走向的右边和左边

（9）对称点的充要条件：两点a, b关于圆周对称的充要条件上是对圆周上的任意三点，有 $(a,z_{1},z_{2},z_{3})=\overline{(b,z_{1},z_{2},z_{3})}$

（10）对称原理：反演点在分式线性变换下不变。即 $z_{1},z_{2}$ 关于圆周 $\gamma$ 为反演点，则在分式线性变换下的两点关于新的圆周也是反演点。这一性质在做具体变换时非常有用

（11）施泰纳圆族的性质：

过平面上除极限点以外的每一点只有一个 $C_{1}$ 和一个 $C_{2}$

每一个 $C_{1}$ 与每一个 $C_{2}$ 直交

极限点a, b关于每个 $C_{2}$ 都是对称的

如果分式线性变换把 $C_{1}$ 映为自身，则称为双曲型线性变换

如果分式线性变换把 $C_{2}$ 映为自身，则称为椭圆型线性变换

如果分式线性变换只有单个不动点（即重根的情况），称为抛物型线性变换

不是双曲型、椭圆型，又不是抛物型的分式线性变换，称为斜驶型线性变换

4. 复积分

（1）有界变差函数：函数 $\gamma :R\supset [a,b] \to C$ 可写成 $z=\gamma (t)=x(t)+iy(t),\,a\leq t\leq b$ 的形式。若存在一个常数M>0，使得对 [a,b] 上的每一个分割 $P=\left \{ a=t_{0}<t_{1}<...<t_{m}=b \right \}$ ，总有

$v(\gamma ;P)=\sum_{k=1}^{m}\left | \gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1}) \right |\leq M$

则称 $\gamma$ 为有界变差函数。所有这些分割的 $v(\gamma ;P)$ 值的上确界称为 $\gamma$ 的全变差，记作 $V(\gamma )$ ，显然 $V(\gamma )\leq M< \infty$ 。它表示对分割生成的各个复数变差取模，这些模的累积和总是有界的，在这种函数的点集 $\left \{ \gamma (t):a\leq t\leqslant b \right \}$ 表示的有界闭区域上可以进行积分。这个点集称为函数 $\gamma$ 的迹。当 $\gamma$ 是有界变差函数时， $\gamma$ 是可求长的曲线（路径）

（2）复函数在实区间上的积分： $\gamma :[a,b] \to C$ 是有界变差函数， $f:[a,b] \to C$ 是连续函数，如果存在一个复常数I，使得对做每个 0″>，存在 0″>，当一个分割 $P=\left \{ a=t_{0}<t_{1}<...<t_{m}=b \right \}$ 的直径 $\left \| P \right \|=max\left \{ t_{k}-t_{k-1} \right \}<\delta$ 时，有

$\left | I-\sum_{k=1}^{m}f(\tau _{k})[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})] \right |< \epsilon$

数I称为f在[a, b]上关于 $\gamma$ 的积分，记为

$I=\int_{a}^{b}fd\gamma =\int_{a}^{b}f(t)d\gamma (t)$

根据积分法，若 $\gamma$ 是分段光滑函数，则有 $I=\int_{a}^{b}fd\gamma =\int_{a}^{b}f(t){\gamma}'(t)dt$

（3）复积分：若 $\gamma :[a,b] \to C$ 是可求长的曲线，f是定义在 $\gamma$ 的迹上的连续复变函数，则f沿 $\gamma$ 的积分定义为

$\int_{\gamma}f(z)dz=\int_{a}^{b}f[\gamma(t)]d\gamma(t)=\int_{a}^{b}f[\gamma(t)]{\gamma}'(t)dt$

也可以写成实变函数的线积分形式，其中

$\int_{\gamma}f(z)dz=\int_{\gamma}udx-vdy+i\int_{\gamma}vdx+udy$

重要的积分( $\gamma$ 是a为圆心r为半径的圆)：

1\\ 2\pi i,\,n=1 \end{matrix}\right.”>

（4）环绕数（指标）：若 $\gamma$ 是C内的可求长闭曲线，对点 $a \notin \left \{ \gamma \right \}$ ，称

$n(\gamma,a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{z-a}dz$ 为曲线 $\gamma$ 关于点a的环绕数，或指标。

环绕数表示一个曲线路径环绕一个点的次数，即曲线路径上一端到另一端总幅角变化除以 $2\pi$ 。若闭曲线路径是正方向的（区域在左边即逆时针方向），则环绕数是正的；若闭曲线路径是负向的（区域在右边即顺时针方向），则环绕数是负的。

$n(\gamma,a)$ 在 $\gamma$ 确定的各个域内都是一个常数，而在无界域（即包含无穷远点的域）内则等于0

（5）外积运算（楔积）：微分之间的外积运算，外积运算法则

结合律： $dx \wedge (dy \wedge dz)=(dx \wedge dy) \wedge dz$

分配律： $(dx + dy) \wedge dz=dz \wedge dz+dy \wedge dz$

反对称性（反交换性）： $dx\wedge dy=-dy\wedge dx$ ，从而可得 $dx\wedge dx=dy\wedge dy=0$

数乘运算： $(fdx) \wedge dy = f(dx \wedge dy)$

（6）微分形式（外微分形式）：由微分的外积和函数组成的线性组合称为外微分形式。

设P, Q, R, A, B, C, H都为x, y, z的函数，则

$\omega=Pdx+Qdy+Rdz$ 称为一次微分形式（一次没有乘积，与普通的微分形式是一样的）；

$\omega=Ady \wedge dz+Bdx \wedge dz+Cdx \wedge dy$ 称为二次微分形式；
$\omega=Hdx \wedge dy \wedge dz$ 称为三次微分形式

特别地，函数f称为零次微分形式，P, Q, R, A, B, C, H称为微分形式的系数。

微分形式的外积运算：满足分配律，结合律，但不满足交换律。对p次微分形式和q次微分形式有 $\lambda \wedge \mu =(-1)^{pq} \mu \wedge \lambda$

（6）外微分算子：把一个函数的微分概念推广到更高次微分形式的微分。设 $f(x_{1},...,x_{n})$ 是 $R^{n} \to R$ 的函数，对 $R^{n}$ 上的k次微分形式 $\omega=\sum_{j \in I(n,k)}f_{j}dx_{j}$ ，定义其外微分运算d是 $R^{n}$ 上的k+1次微分形式

$d\omega=\sum_{j \in I(n,k)}(\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}}dx_{i} \wedge dx_{j})$ ，其中指标集I(n,k)是自然数中基数为k的有序子集

注意外微分算子和普通微分算子运算方式相同，唯一的不同就是外微分算子运算后进行外积，而普通微分算子运算后进行正常的乘积

0次微分形式：就是函数本身即 $\omega =f$ ，其外微分就是全微分运算 $d\omega =df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$ ，这表明外微分与全微分对d的定义兼容

1次微分形式： $\omega=Pdx+Qdy+Rdz$ ，其外微分为 $d\omega=dP \wedge dx+dQ \wedge dy+dR\wedge dz$

2次微分形式： $\omega=Ady \wedge dz+Bdx \wedge dz+Cdx \wedge dy$ ，其外微分为 $d\omega=dA \wedge dy \wedge dz+dB \wedge dx \wedge dz+dC \wedge dx \wedge dy$

3次微分形式： $\omega=Hdx \wedge dy \wedge dz$ ，其外微分为 $d\omega=dH \wedge dx \wedge dy \wedge dz$

外微分算子的性质：

线性：外微分算子是线性算子

楔积法则：设 $\omega, \eta$ 是两个微分形式，则有 $d(\omega \wedge \eta)=d\omega \wedge \eta+(-1)^{deg\,\omega}(\omega \wedge d\eta)$

Poincare引理：对任何k阶微分形式 $\omega$ ，若其系数具有二阶连续偏微商，则有 $d^{2}\omega=0$ ，这蕴涵了混合偏导数的恒等式

逆定理也成立：若 $\omega$ 是一个p阶外微分式且 $d\omega=0$ ，则存在一个p-1阶外微分形式a，使得 $\omega=da$

（7）复变函数的外微分算子：定义 $dz=dx+idy,\,d\bar{z}=dx-idy$ ，则 $dz,\,d\bar{z}$ 也满足外积的运算规则，且有 $dz \wedge d\bar{z}=-2idx \wedge dy$

外微分算子：用偏微商来定义，即 $d=\partial+\bar{\partial}=\frac{\partial}{\partial z} \wedge dz+\frac{\partial}{\partial \bar{z}} \wedge d\bar{z}$ ，注意算子 $\partial,\,\bar{\partial}$ 满足关系 $\partial ^{2}=\partial \bar{\partial}+\bar{\partial} \partial=0$

0次微分形式：普通函数 $f(z, \bar{z})=f(x+iy)$

1次微分形式： $\omega=fdz+gd\bar{z}$

2次微分形式： $\omega=fdz \wedge d\bar{z}$

（8）支撑集：定义在X上函数f，它的支撑集定义为使f取非零值的点集的闭包，记为 $supp(f)=\overline{\left \{ z \in X:f(z) \neq0\right \}}$

主要定理：

（1）全变差公式（弧长公式）：若 $\gamma :[a,b] \to C$ 是分段光滑函数，则 $\gamma$ 为有界变差函数，并且

$V(\gamma )=\int_{\gamma}\left | dz \right |=\int_{a}^{b}\left | {\gamma\,}'(t) \right |dt=\int_{a}^{b}\sqrt{{x}'(t)^{2}+{y}'(t)^{2}}dt$ ，它就是 $\gamma$ 的长度，也记作 $L(\gamma)$

象曲线的长度：

$L({\gamma}')=\int_{\gamma}\left | {f}'(z) \right |\left | dz \right |=\int_{a}^{b}\left | {f}'(z(t)) \right |\left | {z}'(t) \right |dt$

（2）面积公式：E是平面中的一个点集，其面积由黎曼二重积分确定

$A(E)=\iint_{E}dxdy$

象集如果是一个双向可微映射，则面积为

$A({E}')=\iint_{E}\left | u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x} \right |dxdy$

如果f(z)是一个包含E的开集上的共形映射，则根据Cauchy-Riemann方程，面积为

$A({E}')=\iint_{E}\left | {f}'(z) \right |^{2}dxdy$

（3）长大不等式：若 $\gamma$ 的长度为L， $M=\sup_{z \in \gamma}\left | f(z) \right |$ ，那么

$\left | \int_{\gamma}f(z)dz \right |\leq ML$

（4）Cauchy积分定理：如果f是单连通域D内的解析函数，则对D内任意的可求长闭曲线 $\gamma$ ，都有

$\oint_{\gamma}f(z)dz=0$

证明思路：

1）对一个规定了绕行方向的三角形区域的边界 $\gamma$ ，证明该积分为0的等式，可使用区间套定理

2）对任意多边形，证明该积分等式

3）把可求长闭曲线上的积分化为闭折线的积分来证明

Cauchy积分定理对以下常用的n+1连通域D及边界曲线 $\gamma$ 也成立：设 $\gamma_{0},\gamma_{1},...,\gamma_{n}$ 是 n+1 条可求长的简单闭曲线， $\gamma_{1},...,\gamma_{n}$ 都在 $\gamma_{0}$ 的内部， $\gamma_{1},...,\gamma_{n}$ 中的每一条都在其他 n-1 条的外部，这样的 n+1 条曲线就围成了一个 n+1 连通域D，这个域D的边界 $\gamma$ 由 $\gamma_{0},\gamma_{1},...,\gamma_{n}$ 共 n+1 条曲线组成。 $\gamma$ 的正方向规定为，当我们沿着 $\gamma$ 的正方向运动时，D总是在我们的左边。这时对 $\gamma_{0}$ 来说是逆时针方向，而对 $\gamma_{1},...,\gamma_{n}$ 则是顺时针方向

（5）Cauchy积分公式：设f在域D内解析， $\gamma$ 是D内任意的可求长闭曲线，则对不在 $\gamma$ 上的任一点z，都有

$n(\gamma,z)\cdot f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(w)}{w-z}dw$ ，其中 $n(\gamma,z)$ 是曲线 $\gamma$ 关于点z的环绕数

常用是的环绕数等于1的曲线情况（比如对可求长简单闭曲线围成的单连通域内的任意一点）：

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(w)}{w-z}dw$

Cauchy积分公式说明了任何一个闭合区域上的解析函数在区域内部的值完全由它在区域边界上的值来确定，它是解析函数的积分表示，通过它可以研究解析函数的局部性质。比如可以证明解析函数有任意阶导数，并给出区域内每一点的任意阶导数的积分计算方式。可以把解析函数展开成幂级数。柯西积分公式是复分析中解析函数”微分等同于积分”特性的表现。而在实分析中这样的结果是完全不可能达到的

证明思路：构造另一个圆周上的积分，利用Cauchy积分定理，和长大不等式

（6）积分基本定理：设 $\gamma$ 是开集G内的可求长曲线，其起点和终点分别是 $\alpha ,\,\beta$ ，如果 $f:G \to C$ 是连续函数，且具有原函数 $F:G \to C$ ，则有

$\int_{\gamma}f=F(\beta)-F(\alpha)$
（7）定义在单连通域D的函数f必有原函数，且 $F(z)=\int_{z_{0}}^{z}f(\zeta)d\zeta$ 是f在D内的一个原函数， $z_{0}$ 是D内的一个固定点

（8）平均值公式：f是圆盘B(a, R)内的解析函数，则对任意的 r<R，有

$f(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\left | \zeta -a \right |=r}\frac{f(\zeta)}{\zeta-a}d\zeta=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(a+re^{i\theta})d\theta$

即f在圆周 $\left | \zeta-a \right |=r$ 上的平均值，等于f在圆心处的值

（9）高阶导数公式：设D为由可求长简单闭曲线围成的单连通区域，f在D内解析，在 $\bar{D}=D \cup \partial D$ 内连续，则对任意的 $z \in D$ ，有 $f^{(n)}(z)$ 存在，且

$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}dw$

（10）Schwarz积分公式：设 f=u+iv ，若f在圆盘B(0, R)内解析，则对B(0, R)内任意一点z，有

$f(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{Re^{i\theta}+z}{Re^{i\theta}-z}d\theta +iv(0)$

（11）Cauchy不等式：f是圆盘B(a, R)内的有界解析函数，即对圆内的所有点z有 $\left | f(z) \right |\leq M$ ，则

$\left | f^{(n)}(a) \right |\leq \frac{n!M}{R^{n}}$

（9）Liouville定理：有界的整函数一定是一个常数

（10）代数基本定理：任意非常数的复系数多项式 $f(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{1}z+a_{0}$ 在C中至少有一个零点

（11）Morera定理：如果f是域D上的连续函数，且沿D内任意可求长闭曲线的积分都为0，则f在D上全纯

这是Cauchy积分定理的逆定理。由此可知，有原函数，Cauchy积分定理以及全纯这三个性质之间具有一致性，它们在复变里是等价的！一方面在全纯函数外面病态函数遍地走，另一方面在全纯函数范围内却如此优美和谐

（12）Stokes公式：设D是 $R^{n}$ 中的单连通区域， $\partial D$ 表示D的边界， $\omega$ 是n-1次微分形式，则有

$\int_{D}d\omega=\int_{\partial D}\omega$

它表示高次微分形式 $d\omega$ 在区域上的积分，等于低一次微分形式 $\omega$ 在该区域低一维的边界上的积分。外微分运算和积分是相互抵消的。这个公式可推广到更一般的流形上

（13）复平面上的Stokes公式：若D是可求长简单闭曲线围成的域， $\omega=fdz+gd\bar{z}$ 为一次微分形式， $f,g \in C^{1}(\bar{D})$ ，则有

$\int_{D}d\omega=\int_{\partial D}\omega$

（14）非齐次Cauchy积分公式（Pompeiu公式）：设 $\gamma_{0},\gamma_{1},...,\gamma_{n}$ 是 n+1 条可求长的简单闭曲线， $\gamma_{1},...,\gamma_{n}$ 都在 $\gamma_{0}$ 的内部， $\gamma_{1},...,\gamma_{n}$ 中的每一条都在其他 n-1 条的外部，D是由这 n+1 条曲线就围成了 n+1 连通域，D的边界 $\partial D$ 由这 n+1 条曲线组成。如果 $f \in C^{1}(\bar{D})$ ，则对任意的 $z \in D$ ，有

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(w)}{w-z}dw+\frac{1}{2\pi i}\int_{D}\frac{\partial f(w)}{\partial \bar{w}}\frac{1}{w-z}dw \wedge d\bar{w}$

（15）一维 $\bar{\partial}$ 问题的解：是指在域 D上给定一个函数 f ，要求函数 u，使得在 D 上有

$\frac{\partial u}{\partial \bar{z}}=f(z)$ ，函数u就称为 $\bar{\partial}$ 问题的解。若 $f \in C^{1}(\bar{D})$ ，这样的解是存在的，令

$u(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(w)}{w-z}dw \wedge d\bar{w}$

则 $u\in C^{1}(\bar{D})$ ，且对任意 $z \in D$ ，有 $\frac{\partial u}{\partial \bar{z}}=f(z)$

5. 复变函数的Taylor级数展开

（1）内闭一致收敛：如果函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(z)$ 在域 D 的任意紧子集上一致收敛，就称 $\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(z)$ 在 D 中内闭一致收敛。内闭一致收敛是比一致收敛要弱的条件

（2）Dirichlet级数：若 $\left \{ \lambda_{n} \right \}$ 是严格单调增加，并且以 $\infty$ 为极限的正项数列，则称 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\lambda_{n}z}$ 为Dirichlet级数

（3）收敛半径：如果存在实数 R ，使得幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}z^{n}$ 在 $\left | z \right |<R$ 时收敛，R”> 时发散，则称 R 为幂级数的收敛半径， $\left \{ z \in C:\left | z \right |<R \right \}$ 称为幂级数的收敛圆

（4）零点：设 f 在 $z_{0}$ 点全纯且不恒为零，如果 $f(z_{0})=0,\,f^{'}(z_{0})=0,\,...,f^{(m-1)}(z_{0})=0,\,f^{(m)}(z_{0}) \neq 0$ ，则称 $z_{0}$ 是f 的m阶零点

（5）Bernoulli数：一个有理数列，在许多领域都有很大的应用。

生成函数定义： $\frac{z}{e^{z}-1}=\frac{z}{2}(\coth \frac{z}{2}-1)=\sum_{n=0}^{\infty}B_{n}\frac{z^{n}}{n!}$ ，这里 $B_{n}$ 就是伯努利数

递归定义： $B_{m}=[m=0]-\sum_{k=0}^{m-1}\binom{m}{k}\frac{B_{k}}{m-k+1}$ ，其中[m=0]表示当 m=0 时取0，其余取1， $B_{0}=1$

明确的公式定义： $B_{m}=\sum_{k=0}^{m}\sum_{v=0}^{k}(-1)^{v}\binom{k}{v}\frac{v^{m}}{k+1}$

（6）Euler数：由以下生成函数定义的整数序列 $E_{n}$

$\frac{1}{cosh z}=\frac{2}{e^{z}+e^{-z}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{E_{n}}{n!}z^{n}$

奇数下标的欧拉数全为0，偶数下标的欧拉数正负交替

（7）单叶全纯函数（双全纯函数）：即单叶的全纯函数，它是单射且全纯的函数，也叫双全纯映射。域上的单叶全纯函数在域中任一点的导数非零，因此它是共形映射。全纯函数在导数非零的点的某个邻域内是单叶的。单叶全纯函数f必定有全纯的反函数，且有 $(f^{-1})^{'}(w)=\frac{1}{f^{'}(z)}$

（8）全纯自同构：即把域D映为自身的单叶全纯函数 f(D)=D。域D的全纯自同构的全体记为Aut(D)。Aut(D)在函数复合运算下构成一个群，称为D的全纯自同构群

主要定理：

（1）Cauchy收敛准则：级数 $\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(z)$ 在E上一致收敛的充要条件是对任意的0″>，存在N，对任意的 $m\geq n\geq N$ ，都有 $\left | \sum_{k=n}^{m}f_{k}(z) \right |\leq \epsilon$ 。

（2）Weierstrass控制判别法：对定义在E上的函数列，若从某项开始恒有 $\left | f_{n}(z) \right |\leq Ma_{n}$ （M为一常数），且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)$ 在E上一致收敛。

（3）收敛级数的连续性：设 $\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(z)$ 在 E 上一致收敛到 f(z) 。如果 $f_{n}(z)\,(n=1,2,...,)$ 都是 E 上的连续函数，那么 f(z) 也是 E 上的连续函数。

（4）收敛级数可逐项积分：设级数 $\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(z)$ 在可求长曲线 $\gamma$ 上收敛于 f(z) 。如果 $f_{n}(z)$ 都是连续函数，则积分成立

$\int_{\gamma}f(z)dz=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{\gamma}f_{n}(z)dz$ ，即收敛的函数项级数可以逐项积分

（2）Weierstrass定理：设 D 是域， $f_{n}(z)$ 是一列全纯函数，满足 $\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(z)$ 在 D 上内闭一致收敛于 f(z) （即任意紧子集上一致收敛）。则 f(z) 也是全纯函数，并且 $\sum_{n=1}^{\infty}f^{(k)}(z)$ 在 D 上内闭一致收敛于 $f^{(k)}(z)$ 。

可见，由全纯函数构成的级数只要在域中内闭一致收敛，它的和函数就一定是域中的全纯函数，而且可以逐项求导任意次，这样的结果在实变函数中当然不成立

（3）Cauchy–Hadamard公式：幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^n$ 在以点 $z_{0}$ 为中心，以R为半径的圆 $|z-z_{0}|<R$ 内收敛，其中R按阿达马公式确定 $\frac{1}{R}=\lim_{n \to \infty }sup(\left | a_{n} \right |^{\frac{1}{n}})$ 。在这个圆的外部任何点处幂级数都发散；在这个圆的任何内点处幂级数绝对收敛。在圆上 $|z-z_{0}|=R$ 上的收敛上不确定（有收敛的也有发散的）

（4）幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^n$ 的收敛半径为 $R=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right |$ ，如果右边的权限存在

（5）Abel第一定理：若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^n$ 在某个点 $z_{1}$ 处收敛，则它在 $|z-z_{0}|<|z_{1}-z_0|$ 的圆中都内闭绝对一致收敛。可见，幂级数在收敛圆内确定一个全纯函数。

（6）Abel第二定理：若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^n$ 在多角形域G的每个顶点处都收敛，则它必在闭包 $\bar{G}$ 上一致收敛。特别地，它在 $\bar{G}$ 上连续。该定理可用来判断幂级数在圆周上的各点处的敛散性

（7）全纯函数的Taylor级数表示：若 $f:G \to C$ 是全纯函数， $a \in G,\, R=d(a,\partial G)$ ，则在 $\left | z-a \right |<R$ 内，有展开式

$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(z-a)^{n}$

并且这个级数的收敛半径 $\geq R$ 。系数可以表示为

$f^{(n)}(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw$ ，其中 $\gamma (t)=a+re^{it},\,0\leq t\leq 2\pi$ ，并且 $\bar{B}(a;r)\subset G$

特别地，如果f是一个整函数，则f为幂级数展开式为 $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ ，它的收敛半径为 $\infty$

可见，一个函数在某一点全纯的充要条件是它在这一点可以展开为幂级数

（8）唯一性定理：设D是C中的域， $f_{1},f_{2} \in H(D)$ ，若在D中存在点列 $\left \{ z_{n} \right \}$ ，使得 $f_{1}(z_{n})=f_{2}(z_{n}),\,n=1,2,...$ ， $\lim_{n \to \infty}z_{n}=a \in D$ ，那么在D中 $f_{1}(z)\equiv f_{2}(z)$ 。

这说明，全纯函数由域中有极限的一个点列上的值所完全确定

推论：全纯函数的若局部为零，则可推出整体为零。全纯函数的零点是孤立的，即在零点处存在邻域使得函数在该邻域内不再有其他的零点

（9）幅角原理：设 $f \in H(D)$ ， $\gamma$ 是 D 中一条可求长的简单闭曲线，f 在 $\gamma$ 上没有零点，那么f在 $\gamma$ 内部计算重数后的零点个数，恰好等于 $\gamma$ 对原点的环绕数。设零点 $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ 和它们的阶数分别为 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}$ ，即有

$\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f^{'}(z)}{f(z)}dz=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}$

用幅角原理可以证明复系数 n 次多项式一定恰好有 n 个零点

（10）Rouche定理：设 $f \in H(D)$ ， $\gamma$ 是 D 中一条可求长的简单闭曲线，若当 $z \in \gamma$ 时，有不等式 $\left | f(z)-g(z) \right |<\left | f(z) \right |$ ，那么f和g在在 $\gamma$ 内部有相同的零点个数。Rouch定理主要用于研究函数的零点分布

（11）开映射定理：非常数的全纯函数把域（即连通开集）映射为域

（12）Hurwitz定理：设域 D 中的全纯函数序列 $\left \{ f_{n} \right \}$ 在 D 内闭一致收敛于不恒为零的函数 f 。设 $\gamma$ 为 D 中的可求长简单闭曲线，不经过 f 的零点。则存在 N 使得 n>N 时， $f_{n}$ 与 f 的零点个数相等

（13）最大模原理：设 f 是域D中非常数的全纯函数，则 $\left | f(z) \right |$ 不可能在D内取到最大值。若还满足f在 $\bar{G}$ （G加上其边界 $\partial G$ ）上连续，则 f 的最大模只能在其边界 $\partial G$ 上的某一点取到

由此可知，若在D内有一点a，对D内所有的点都有 $\left | f(z) \right |\leq \left | f(a) \right |$ ，则f是常数。

这个定理一个比较经典的应用是，通过对边界值的估计，可以得到整个区域的估计，因为最大值在边界上，内部不会比边界大。

（14）Schwarz引理：设 f 是单位圆盘 B(0, 1) 中的全纯函数，且满足 f(0)=0，在单位圆盘内 $\left | f(z) \right |\leq 1$ ，则在单位圆盘内有 $\left | f(z) \right |\leq \left | z \right |$ ； $\left | f^{'}(0) \right |\leq 1$ ；如果存在非0的点 $z_{0}$ ，使得 $\left | f(z_{0}) \right |=\left | z_{0} \right |$ 或者 $\left | f^{'}(0) \right |=1$ 之一成立，则存在实数 $\theta$ 使得在单位圆盘内有 $f(z)=e^{i\theta}z$

（15）单位圆盘的全纯自同构：单位圆盘的全纯自同构只能是分式线性变换 $\varphi _{a}(z)=\frac{a-z}{1-\bar{a}z}$ 与旋转变换 $\rho_{\theta}(z)=e^{i\theta}z$ 的复合这种形式，即

$Aut(\left | z \right |<1)=\left \{ e^{i\theta}\frac{a-z}{1-\bar{a}z}:\, \theta \in R, \left | a \right |<1 \right \}$

（16）上半平面的全纯自同构：上半平面 0 \right \}”> 的全纯自同构只能是规范化的分式线性变换，即

$Aut(H)=\left \{ \frac{az+b}{cz+d}:\,a,b,c,d \in R,ad-bc=1 \right \}$

（17）Hadamard三圆定理：设 $0<r_{1}<r_{2}<\infty$ ，函数f在区域 $r_{1}<\left | z \right |<r_{2}$ 内全纯，记最大模的函数 $M(r)=\max_{\left | z \right |=r}\left | f(z) \right |,\,r_{1}<r<r_{2}$ ，则在 $[r_{1},r_{2}]$ 内是 $log\,r$ 的凸函数，即

$logM(r)\leq \frac{log\,r_{2}-log\,r}{log\,r_{2}-log\,r_{1}}logM(r_{1})+\frac{log\,r-log\,r_{1}}{log\,r_{2}-log\,r_{1}}logM(r_{2})$

该定理比较了一个全纯函数在三个不同半径的圆上的最大模的对数的大小关系

（18）Caratheodory不等式：设函数f在圆盘 $\left | z \right |<R$ 内全纯，记最大模的函数 $M(r)=\max_{\left | z \right |=r}\left | f(z) \right |$ ，以及 $A(r)=\max_{\left | z \right |=r}Re\,f(z)$ ， $0\leq r\leq R$ ，则对任意 $r \in [0,R)$ ，都有

$M(r)\leq \frac{2r}{R-r}A(R)+\frac{R+r}{R-r}\left | f(0) \right |$

6. 复变函数的Laurent级数展开

（1）Laurent级数： $\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-z_{0})^{-n}$ ，第一项就是幂级数，称为全纯部分；第二项是负数幂项的级数，称为主要部分。洛朗级数主要用于非单连通域内的全纯函数。整个级数收敛等价于两个级数都收敛。第一项的收敛区域一般就是一个圆，可能有部分边界上的点；对于第二项，我们作代换 $\zeta =\frac{1}{z-z_{0}}$ 后就变成一个幂级数，所以收敛区域是一个圆的外部。如果这两个区域的交集不是空集，那么一定是一个圆环

（2）孤立奇点：奇点是指函数不全纯的点。如果 f 在 $z_{0}$ 处是奇点，且在去心圆盘 $\left \{ z:0<\left | z-z_{0} \right |<R \right \}$ 内全纯，则称 $z_{0}$ 为f的孤立奇点。它分为三类：

可去奇点： $\lim_{z \to z_{0}}f(z)=a$ 存在

极点： $\lim_{z \to z_{0}}f(z)=\infty$ ，如果它是 $\frac{1}{f(z)}$ 的m阶零点，则 $z_{0}$ 称为f(z)的m阶极点

本性奇点： $\lim_{z \to z_{0}}f(z)$ 不存在

（3）超越整函数：不是常数和多项式的整函数。如 $e^{z},\,sinz,\,cosz$ 都是超越整函数

（3）亚纯函数：在域D上除去极点外都全纯的函数。整函数和有理函数都是亚纯函数

（4）留数：函数f在孤立奇点a的邻域 $\left \{ z:0<\left | z-a \right |<r \right \}$ 内的Laurent展开式为 $f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }c_{n}(z-a)^n$ ，其中-1次项的系数 $c_{-1}$ 的值，称为f在a点的留数。记作 $Res(f, a)=c_{-1}$ ，根据Laurent展开的系数，有

$Res(f, a)=c_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}f(\zeta)d\zeta$ ，其中 $\gamma$ 为围绕a且充分接近的可求长闭曲线，可取 $\gamma=\left \{ z:\left | z-a \right |=\rho \right \},\,0<\rho<r$ 。

对a点为无穷点的情况，定义为 $Res(f, \infty)=-\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}f(\zeta)d\zeta$ ，可取 $\gamma=\left \{ z:\left | z \right |=\rho \right \},\,r<\rho<\infty$

这启示我们可以用留数来计算复积分

（5）正则曲线列：对一列可求长简单闭曲线 $\left \{ \gamma_{n} \right \}$ ，其中曲线长度 $l_{n}=\int{\gamma_{n}}\left | dz \right |$ ，与原点的距离 $d_{n}=d(0, \gamma_{n})=\inf_{z \in \gamma_{n}}\left | z \right |$ ，若满足 $\gamma_{n}$ 总是位于 $\gamma_{n+1}$ 的内部，原点位于 $\gamma_{n+1}$ 的内部； $\lim_{n \to \infty}d_{n}=+\infty$ ； $\frac{l_{n}}{d_{n}}$ 有界，则称 $\left \{ \gamma_{n} \right \}$ 为正则曲线列

主要定理：

（1）全纯函数的Laurent级数表示：若函数f在圆环 $D:r<\left | z-z_{0} \right |<R$ 内全纯，则f在D内可展开成唯一的Laurent级数

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^n$

其中 $a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\left | \zeta-z_{0} \right |=\rho}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_{0})^{n+1}}d\zeta,\,r<\rho<R$

逆定理也成立：如果Laurent级数的收敛域为圆环D，则它在圆环D中绝对收敛且内闭一致收敛，它的和函数在D中全纯

（2）可去奇点的充要条件（Riemann）： $z_{0}$ 是 f 的可去奇点的充要条件是 f 在 $z_{0}$ 的某个邻域内有界。即在 $z_{0}$ 附近的Laurent展开式没有主要部分， $a_{-n}=0,n=1,2,...$

（3）极点的充要条件： $z_{0}$ 是 f 的m阶极点的充要条件是 f 在 $z_{0}$ 附近的Laurent展开为 $f(z)=\sum_{n=-m}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^n,\,a_{-m} \neq 0$ ，即Laurent展开式的主要部分只有有限个非零项

（4）本性奇点的Weierstrass定理：若 $z_{0}$ 是 f 的本性奇点，则对任意的 $A \in C_{\infty}$ ，必存在趋于 $z_{0}$ 的复数列 $\left \{ z_{n} \right \}$ ，使得 $z_{n} \to z_{0}$ ，且 $\lim_{n \to \infty}f(z_{n})=A$ 。即本性奇点附近可以以任意精度逼近任意给定值。可见，本性奇点附近的Laurent展开的主要部分必定是无限项

（5）无穷远点的函数特征：无穷远点一定是超越整函数的本性奇点。在无穷远点全纯的整函数一定是常数。如果无穷远点是整函数 f 的一个 m 阶极点，那么 f 是一个 m 次多项式。若无穷远点是亚纯函数 f 的可去奇点或极点，则 f 一定是有理函数。

（6）复平面的全纯自同构是所有一次多项式，即 $Aut(C)=\left \{ az+b: a,b \in R, a \neq 0 \right \}$ 。

扩充复平面的全纯自同构是所有分式线性变换，即 $Aut(C_{\infty})=\left \{ \frac{az+b}{cz+d}:a,b,c,d \in R \right \}$

（7）面积原理：若 $f(z)=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}z^{n}$ 在去心单位圆 $0<\left | z \right |<1$ 内是单射且全纯（即单叶全纯函数），则

$\sum_{n=1}^{\infty}n\left | a_{n} \right |^{2}\leq 1$

（8）Koebe四分之一掩盖定理：若 $f:D \to C$ 是域D上的单叶全纯函数，满足 $f(0)=0,\,f^{'}(0)=1$ ，则f的象集必包含半径为 $\frac{1}{4}$ 的圆盘，即 $f(D) \supset \left \{ z:\left | z \right |<\frac{1}{4} \right \}$

（9）Koebe偏差定理和增长定理：若f是单位圆盘B(0,1)上的单叶全纯函数，满足 $f(0)=0,\,f^{'}(0)=1$ ，则对B(0,1)内任何异于零的点处，都有

$\frac{\left | z \right |}{(1+\left | z \right |)^{2}}\leq \left | f(z) \right |\leq \frac{\left | z \right |}{(1-\left | z \right |)^{2}}$

$\frac{1-\left | z \right |}{(1+\left | z \right |)^{3}}\leq \left | f^{'}(z) \right |\leq \frac{1+\left | z \right |}{(1-\left | z \right |)^{3}}$

（10）Bloch定理：若 $f:D \to C$ 是域D上的全纯函数，满足 $f(0)=0,\,f^{'}(0)=1$ ，则存在一个圆盘S，使得f在S内为单射，且 f(S) 包含半径为 $\frac{1}{72}$ 的圆盘，即 $f(S) \supset \left \{ z:\left | z \right |<\frac{1}{72} \right \}$ 。注意这里的条件中不要求f是单叶的

（11）Bieberbach猜想（单叶函数猜想）：若f是单位圆盘B(0,1)上的单叶全纯函数，满足 $f(0)=0,\,f^{'}(0)=1$ ，且f的Taylor展开式为 $f(z)=z+\sum_{n=2}^{\infty}a_{n}z^{n}$ ，那么 $\left | a_{n} \right |\leq n$ 对所有 $n\geq 2$ 成立，并且 $\left | a_{n} \right |=n$ 成立当且仅当 $f(z)=\frac{z}{(1-e^{i\theta}z)^{2}},\, \theta \in R$

这个猜想最终由de Branges在1984年给出证明。注意单叶函数猜想给出的仅仅是函数为单叶的必要条件, 而远非充分条件

（12）Milin猜想：若f是单位圆盘B(0,1)上的单叶全纯函数，满足 $f(0)=0,\,f^{'}(0)=1$ ，且 $log \frac{f(z)}{z}=z\sum_{n=1}^{\infty}r_{n}z^{n}$ ，则对每个n，都有

$\sum_{k=1}^{n}(n-k+1)(k\left | r_{n} \right |^{2}-\frac{1}{k})\leq 0$

Milin猜想已经由Branges L.de给出证明，该猜想蕴涵了Bieberbach猜想。

（13）Picard小定理：对非常数的整函数f，其值域或者是整个复平面，或者最多除去一个点。它是刘维尔定理（非常数的整函数一定是无界的）的加强版。例如，n次多项式可以n次地取复平面的每一个值（特别地取0这个值n次），而 $e^{z}$ 则除了0外的所有值都可以取到

（14）Picard大定理：全纯函数在其本性奇点的邻域内可以无穷多次地取到每个有穷复数值，最多除去一个例外值

（15）留数计算：若a是f的m阶极点，则

$Res(f,a)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z \to a}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-a)^{m}f(z)]$

可见m=1时，有 $Res(f,a)=\lim_{z \to a}(z-a)f(z)$

特别地，若 $f=\frac{g}{h}$ ，g和h都在a点全纯，且 $g(z) \neq 0,h(a)=0, h^{'}(a) \neq 0$ ，则简化为 $Res(f, a)=\frac{g(a)}{h^{'}(a)}$

另外可去奇点处的留数总是为0，本性奇点处的留数需要通过Laurent展开来计算

（16）留数定理：设 D 是复平面上的一个有界区域，它的边界 $\gamma$ 由一条或若干条简单闭曲线组成。如果 f 在 D 中除去孤立奇点 $z_{1},...,z_{n}$ 外是全纯的，在闭域 $\bar{D}$ 上除去 $z_{1},...,z_{n}$ 外是连续的，那么

$\int_{\gamma}f(z)dz=2\pi i \sum_{k=1}^{n}Res(f,z_{k})$

注意留数定理与Cauchy积分公式是等价的。留数定理把积分计算归结为计算留数，而这是一个微分运算。因此实质上留数定理把积分运算变成了微分运算，从而带来了方便

留数定理计算的常见积分类型：

（17） $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$ 型积分：设f在上半平面 0 \right \}”> 中除去 $a_{1},...,a_{n}$ 外是全纯的，在 $\left \{ z:\,Imz\geq 0 \right \}$ 中除去 $a_{1},...,a_{n}$ 外是连续的，如果 $\lim_{z \to \infty}zf(z)=0$ ，那么

$\int_{-\infty}^{\infty}f(z)dz=2\pi i \sum_{k=1}^{n}Res(f,a_{k})$

（18）Jordan引理：设f在上半圆周的外部区域即 $\left \{ z: R_{0}\leq \left | z \right |<\infty, Imz\geq 0 \right \}$ 上连续，如果有极限 $\lim_{z \to \infty,\, Imz\geq 0}f(z)=0$ ，则对任意的 0″>，有

$\lim_{R \to \infty}\int_{\gamma}e^{i \alpha z}f(z)dz=0$

这里 $\gamma=\left \{ z: z=Re^{i\theta}, 0\leq \theta\leq \pi,R\geq R_{0} \right \}$ ，即更大的上半圆弧

Jordan引理可用于计算以下类型的积分：

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx=2\pi i \sum_{k=1}^{n}Res(e^{i\alpha z}f(z),a_{k})$

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)cos\,\alpha x\,dx=Re\left \{ 2\pi i \sum_{k=1}^{n}Res(e^{i\alpha z}f(z),a_{k}) \right \}$

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)sin\,\alpha x\,dx=Im\left \{ 2\pi i \sum_{k=1}^{n}Res(e^{i\alpha z}f(z),a_{k}) \right \}$

（19）小圆弧引理：设函数 f 在扇形 $G=\left \{ z=a+\rho e^{i\theta}: 0<\rho\leq \rho_{0},\theta_{0}\leq \theta\leq \theta_{0}+\alpha \right \}$ 上连续，如果有极限 $\lim_{z \to a}(z-a)f(z)=A$ ，那么

$\lim_{\rho \to 0}\int_{\gamma}f(z)dz=iA\alpha$

这里 $\gamma=\left \{ z=a+\rho e^{i\theta}:\theta_{0}\leq \theta\leq \theta_{0}+\alpha \right \}$ ，它的方向是沿幅角增加的方向

引理常用于f在实轴上有奇点的情况。一般用法是在奇点周围挖一块扇形区域，对这一块用小圆弧引理。例如以下积分：

Dirichet积分： $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sinx}{x}dx=\pi$

（20） $\int_{0}^{\infty}f(x)dx$ 型积分：这类积分一般来说没那么好计算，许多时候都需要利用函数本身的性质，尤其是当有对数函数的痕迹时。例如

$\int_{0}^{\infty}\frac{x^{p-1}}{(1+x)^{m}}dx=\frac{\pi}{sin\,p\pi}\frac{(1-p)(2-p)...(m-1-p)}{(m-1)!}$ ，其中m是正整数，p不是整数且 0<p<m

$\int_{0}^{\infty}\frac{x}{e^{x}+1}dx=\frac{\pi^{2}}{12}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(n+1)^{2}}$

（21） $\int_{0}^{2\pi}R(sin\theta,cos\theta)d\theta$ 型积分：其中R(X,Y)是X,Y的有理函数。一种方法是作代换 $t=tan\frac{\theta}{2}$ ，根据万能公式

$sin\theta=\frac{2t}{1+t^{2}},\,cos\theta=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\,d\theta=\frac{2}{1+t^{2}}dt$

化为t 的有理函数积分：

$\int_{0}^{2\pi}R(sin\theta,cos\theta)d\theta=2\int_{-\infty}^{\infty}R(\frac{2t}{1+t^{2}},\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}})\frac{1}{1+t^{2}}dt$ 。

另一种方法是使用sin, cos的指数函数公式，令 $z=e^{i\theta}$ ，则有

$cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z}),\,sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}=\frac{1}{2}(z-\frac{1}{z}),\,d\theta=\frac{1}{iz}dz$

化为z的有理函数积分，在单位圆周上进行，再利用留数定理：

$\int_{0}^{2\pi}R(sin\theta,cos\theta)d\theta=\int_{\left | z \right |=1}R(\frac{1}{2i}(z-\frac{1}{z}),\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z}))\frac{1}{iz}dz$

这样可以进一步计算以下三角函数类型的积分：

$\int_{0}^{2\pi}R(sin\,n\theta,cos\,n\theta)d\theta$

$\int_{0}^{2\pi}R(sin\theta,cos\theta)sin\,n\theta\,d\theta$

$\int_{0}^{2\pi}R(sin\theta,cos\theta)cos\,n\theta\,d\theta$

（22） $\int_{a}^{b}(x-a)^{r}(b-x)^{s}f(x)dx$ 型积分：其中 -1,s\neq 0,r+s \in Z”>。如果函数f在C中除 $a_{1},...,a_{n}$ 外全纯，它们都不在区间 [a,b]上，且有极限 $\lim_{z \to \infty}z^{r+s+1}f(z)=A\neq \infty$ ，那么

$\int_{a}^{b}(x-a)^{r}(b-x)^{s}f(x)dx=-\frac{a\pi}{sin\,s\pi}+\frac{\pi}{e^{-s\pi i}sin\,s\pi}\sum_{k=1}^{n}Res(F,a_{k})$

这里， $F(z)=(z-a)^{r}(b-z)^{s}f(z)$

（23）其他一些特殊的积分类型：

$\int_{0}^{\infty}cos(x^{n})dx=\frac{1}{n}\Gamma (\frac{1}{n})cos \frac{2\pi}{n}$

$\int_{0}^{\infty}sin(x^{n})dx=\frac{1}{n}\Gamma (\frac{1}{n})sin \frac{2\pi}{n}$

Fresnel积分： $\int_{0}^{\infty}cos\,x^{2}dx=\int_{0}^{\infty}sin\,x^{2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{8}}$

Poisson积分： $\int_{0}^{\infty}e^{-ax^{2}}cos\,bx\,dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,\cdot e^{-\frac{b^{2}}{4a}}$ ，其中a>0

概率积分： $\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

（24）Mittag-Leffer定理：在域D中任意给定一列无聚点的点列 $\left \{ a_{n} \right \}\,(n=1,2,...)$ ，那么对任意给定的一列自然数 $\left \{ k_{n} \right \}$ ，定义函数

$\psi _{n}(z)=\sum_{j=1}^{k_{n}}\frac{c_{nj}}{(z-a_{n})^{j}}$

则必存在D上的亚纯函数 f，使得f恰好以 $\left \{ a_{n} \right \}$ 为极点集，并且在每个 $a_{n}$ 附近的Laurent展开的主要部分恰好为 $\psi _{n}(z)$ 。

即 $f(z)=u(z)+\sum_{n=1}^{\infty}(\psi _{n}(z)-p_{n}(z))$ ，其中 $\psi _{n}(z)$ 是f(z)在 $a_{n}$ 的主要部分， $p_{n}(z)$ 是多项式， u(z) 是一个整函数

米塔-列夫勒定理是具有给定极点和相应主要部分的亚纯函数的构造性存在定理。

（25）Weierstrass因子分解定理：在域D中任意给定一列无聚点的点列 $\left \{ a_{n} \right \}\,(n=1,2,...)$ ，那么对任意给定的一列自然数 $\left \{ k_{n} \right \}$ ，必存在D上的全纯函数 f(z)，使得 f 以 $\left \{ a_{n} \right \}$ 为其零点集，且每个零点 $a_{n}$ 的阶数恰为 $k_{n}$

（26）插值定理：在域D中任意给定一列无聚点的点列 $\left \{ a_{n} \right \}\,(n=1,2,...)$ ，那么对任意给定的一列多项式

$P_{n}(z)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{nj}(z-a_{n})^{j}$

必存在D上的全纯函数 f(z)，使得 f 在每个 $a_{n}$ 处的Taylor级数的前 $k_{n}+1$ 项恰为 $P_{n}(z)$ 。即恒有

$\frac{f^{(j)}(a_{n})}{j!}=c_{nj},\,j=0,1,...,k_{n}$

（26）整函数的因子分解：设 f 是整函数， $\left \{ \gamma_{n} \right \}$ 是正则曲线列，若 f 的零点集为 $\left \{ a_{n} \right \}$ ，零点的阶数为 $\left \{ k_{n} \right \}$ ， $f(0)\neq 0$ ， $\frac{f^{'}(z)}{f(z)}$ 在 $\bigcup _{n=1}^{\infty}\gamma_{n}$ 上有界，则

$f(z)=f(0)e^{\frac{{f}'(0)}{f(0)}z}\prod_{n=1}^{\infty}\left ( (1-\frac{z}{a_{n}})e^{\frac{z}{a_{n}}} \right )^{k_{n}}$

其中上式右端在 $C\setminus \left \{ a_{n}:n \in N \right \}$ 上内闭一致收敛。这里每一个 $(1-\frac{z}{a_{n}})e^{\frac{z}{a_{n}}}$ 都称为整函数的一个质因子

例如

$sinz=\prod_{n=1}^{\infty}\left ( 1-\frac{^{2}}{n^{2}\pi^{2}} \right )$

（27）Blaschke定理：设 $\left \{ a_{n} \right \}$ 是 $B(0,1)\setminus \left \{ 0 \right \}$ 中互不相同的点列， $\left \{ k_{n} \right \}$ 是一列自然数，若 $\sum_{n=1}^{\infty}k_{n}(R-\left | a_{n} \right |)<\infty$ （即有界），则无穷乘积

$\prod_{n=1}^{\infty}(\frac{R(a_{n}-z)}{R^{2}-\bar{a_{n}}z})^{k_{n}}(\frac{\left | a_{n} \right |}{a_{n}})^{k_{n}}$

必定在 B(0, 1) 上内闭一致收敛于一个全纯函数 $f:B(0,1) \to B(0,1)$ ，并且 f 的零点集和对应阶数恰好为 $\left \{ a_{n} \right \}$ 和 $\left \{ k_{n} \right \}$

7. 解析延拓

（1）解析延拓：设f 是域G上的一个全纯函数，如果存在一个比G更大的域 D( $D\supset G,\,D\neq G$ ) 以及D上的全纯函数F，使得当 $z \in G$ 时有，就说 F 是 f 在域D上的解析延拓（全纯开拓）

（2）正则点：设 f 是域 D 上的全纯函数，对于 $\xi \in \partial D$ ，如果存在 $\xi$ 的邻域 $B(\xi,\delta)$ 及其上的全纯函数g，使得 f(z)=g(z) 对 $z \in D \cap B(\xi, \delta)$ 成立，就称 $\xi$ 是 f 的正则点，否则称 $\xi$ 为 f 的奇点。

自然边界：如果 $\partial D$ 上的每一点都是 f 的奇点，则称 $\partial D$ 为 f 的自然边界

（3）沿曲线的解析延拓：设以 $a=\gamma(\alpha)$ 为起点的平面曲线为 $z=\gamma(t),\,(\alpha\leq t\leq \beta)$ ，起点处的幂级数 $P_{\alpha}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-a)^{n}$ 的收敛半径 R>0，若存在幂级数族 $P_{t}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(t)(z-\gamma(t))^{n}$ ，满足对任意 $t \in [\alpha,\beta]$ ， $P_{t}$ 的收敛圆盘 $B_{t}$ 不退化为一点；对任意 $t_{0} \in [\alpha,\beta]$ ，存在 0″>，当 $t \in (t_{0}-\delta,t_{0}+\delta)$ 时两个幂级数的收敛圆盘总是有重叠 $B_{t} \cap B_{t_{0}} \neq \varnothing$ ，并且在重叠域内它们恒等 $P_{t}\equiv P_{t_{0}}$ ，则称 $P_{\alpha}$ 可以沿曲线解析延拓， $P_{\beta}$ 就是 $P_{\alpha}$ 沿曲线 $\gamma$ 的解析延拓

（4）多值全纯函数：设 f 是域D上的多值函数，即对任意 $z \in D$ ，f(z) 是一非空复数集。若存在以 $a \in D$ 为收敛圆心，以 R>0 为收敛半径的幂级数 $P_{0}$ ，使得 $P_{0}$ 可以沿D中以a为起点z为终点的任意曲线 $\gamma$ 做解析延拓，从a到z的所有这些幂级数的集合记作 $\left \{ P(t) \right \}$ ，定义 $f(z)=\left \{ P(t) \right \}$ ，即 f(z) 这个多值函数是由幂级数 $P_{0}$ 经过解析延拓得到，则称 f 是D上的多值全纯函数

主要定理：

（1）Painleve连续延拓原理：设D是域， $\gamma_{1},...,\gamma_{n}$ 是C中的n条可求长曲线，如果f在D上连续，在开集 $D\setminus \bigcup_{i=1}^{n}\gamm_{i}$ 上全纯，则f在D上全纯

（2）Schwarz对称原理：设域 D 关于实轴对称。如果函数 f 在 0 \right \}”> 上全纯，在 $D\cap \left \{ z:Imz\geq 0 \right \}$ 上连续， $f(D\cap R)\subset R$ ，那么

$F(z)=\left\{\begin{matrix} f(z), & z \in D \cap \left \{ z:Imz\geq 0 \right \} \\ \overline{f(\bar{z})}, & z \in D \cap \left \{ z:Imz< 0 \right \} \end{matrix}\right.$

便是f在D上的解析延拓

（3）推广的Schwarz对称原理：考察 $C_{\infty}$ 的圆周 $\gamma=\left \{ z:\left | z-z_{0} \right |=r \right \}$ ，它的两侧区域分别记为 $C_{\infty}^{+}(\gamma), \, C_{\infty}^{-}(\gamma)$ 。如果域 D 关于 $\gamma$ 对称(即对任意 $z \in D$ ， z 的反演点也在 D 中)，函数 f 在 $D \cap C_{\infty}^{+}(\gamma)$ 上全纯，在 $D \cap (C_{\infty}^{+}(\gamma)\cup \gamma )$ 上连续， $f(D\cap R)$ 包含于 $C_{\infty}$ 的另一个圆周 $\Gamma=\left \{ w:\left | w-w_{0} \right |=\rho \right \}$ 内，对任意的 $z \in D \cap C_{\infty}^{+}(\gamma)$ 都有 $f(z)\neq w_{0}$ ，则存在一个函数F为f在D上的解析延拓，并且把关于 $\gamma$ 互为反演的点映射成关于 $\Gamma$ 互为反演的点

（4）单叶全纯函数的Schwarz对称原理： 考察 $C_{\infty}$ 的圆周 $\gamma=\left \{ z:\left | z-z_{0} \right |=r \right \}$ ，它的两侧区域分别记为 $C_{\infty}^{+}(\gamma), \, C_{\infty}^{-}(\gamma)$ 。如果域 D 关于 $\gamma$ 对称(即对任意 $z \in D$ ， z 的反演点也在 D 中)，函数 f 在 $D \cap C_{\infty}^{+}(\gamma)$ 上单叶全纯，在 $D \cap (C_{\infty}^{+}(\gamma)\cup \gamma )$ 上单叶连续， $f(D\cap R)$ 包含于 $C_{\infty}$ 的另一个圆周 $\Gamma=\left \{ w:\left | w-w_{0} \right |=\rho \right \}$ 内，对任意的 $z \in D \cap C_{\infty}^{+}(\gamma)$ 都有 $f(z)\neq w_{0}$ ，则存在一个单叶全纯函数F为f在D上的解析延拓，并且把互为反演的点映射成互为反演的点

（5）圆环的全纯等价：圆环 $D=\left \{ z:r_{1}<\left | z \right |<r_{2} \right \}$ 与 $G=\left \{ w: R_{1}<\left | w \right |<R_{2} \right \}$ 全纯等价的充要条件是

$\frac{r_{2}}{r_{1}}=\frac{R_{2}}{R_{1}}$

并且此时双全纯映射 $f:D \to G$ 只可能为两种形式：

$f(z)=e^{i\theta}\frac{R_{2}}{r_{2}}z, \, \theta \in R$ 或 $f(z)=e^{i\theta}\frac{r_{1}R_{2}}{z}, \, \theta \in R$

其实这就是位似旋转变换和位似反演变换两种。

特别地，圆环的全纯自同构群为：

$Aut(D)=\left \{ e^{i\theta}z, \, \theta \in R \right \} \cup \left \{ e^{i\theta}\frac{r_{1}r_{2}}{z}, \, \theta \in R \right \}$

（6）幂级数的收敛圆周上必有其奇点。但是不一定有正则点，即存在收敛圆周上全为奇点的幂级数

（7）单值性定理：设 f 是域D上的多值全纯函数， $G \subset D$ 是单连通域， $z_{0} \in G \subset D, \, w_{0} \in f(z_{0})$ ，则必能在G上选出f的一个单值全纯分支g，使得 $g(z_{0})=w_{0}$ ，并且 f 可由 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(z_{0})}{n!}(z-z_{0})^{n}$ 在D上经过解析延拓得到

8. 共形映射（单叶全纯函数）

（1）全纯等价：如果存在单叶全纯函数 $f:D_{1}} \to C$ 使得 $f(D_{1})=D_{2}$ ，即 f 一一地把 $D_{1}$ 映射为 $D_{2}$ ，则 $D_{1}$ 与 $D_{2}$ 称为全纯等价

（2）正规族：域D上一个函数族 $\left \{ f_{n} \right \}$ ，如果其中任意函数序列中都包含一个在D上内闭一致收敛的子列，则称 $\left \{ f_{n} \right \}$ 为正规族

（3）一致有界：函数族 $\left \{ f_{n} \right \}$ 在域D上一致有界，表示对 $\left \{ f_{n} \right \}$ 中的任意函数f和域D中的任意点z，f(z)都有界，即存在常数使得 $\left | f(z) \right |\leq M$ 。若 $\left \{ f_{n} \right \}$ 在D的任意紧致子集一致有界，则称 $\left \{ f_{n} \right \}$ 在D上内闭一致有界。注意一致有界的函数族一定是内闭一致有界的

（4）等度连续：域D上一个函数族 $\left \{ f_{n} \right \}$ ，如果对任意 0″>，都存在 0″>，当D上的两点满足 $\left | z_{1}-z_{2} \right |<\delta$ 时，有 $\left | f(z_{1})-f(z_{2}) \right |< \epsilon$ 对每个函数 $f \in \left \{ f_{n} \right \}$ 都成立，就称函数族在D上是等度连续的

主要定理：

（1）Arzela-Ascoli定理：设K是C中的紧集， $\left \{ f_{n} \right \}$ 在K上一致有界且等度连续，那么 $\left \{ f_{n} \right \}$ 必有子列在K上一致收敛

（2）Montel定理：域D上的全纯函数族是正规族的充要条件是它在D上内闭一致有界

这个定理类似于数学分析中的任意一个有界的数列一定包含收敛子列

（3）Vitali定理： $\left \{ f_{n} \right \}$ 是域D上内闭一致有界的全纯函数族， $\left \{ z_{n} \right \}$ 是D中以 $z_{0}$ 为聚点的点列（即 $\lim_{n \to \infty}z_{n}=z_{0} \in D$ ），若 $\lim_{n \to \infty}f_{n}(z)$ 在 $\left \{ z_{n} \right \}$ 处处存在，则 $\left \{ f_{n} \right \}$ 在D上内闭一致收敛

（4）Riemann映射定理：设G为单连通域且 $G\neq C$ ，对G中任意点a，存在唯一的函数 $f: G \to C$ ，满足 f 是单叶全纯函数，0″>，。

由此可见，任何单连通域，只要不是整个复平面 C，都是相互全纯等价的，并且都可以全纯等价地映射到单位圆盘上。在单连通域内研究共形映射下的某些不变量时，只需在最简单的单连通域即单位圆盘上研究就行了。注意单连通域和多连通域一定不全纯等价，两个多连通域则不一定全纯等价，例如上面说的两个圆环全纯等价是有条件的

称 $R=\frac{1}{{f}'(a)}$ 为G在点a的映射半径

证明思路：

第一步：先证明有一个单叶全纯函数 $\varphi : G \to C$ 使得 $\varphi (G)$ 是有界域

第二步：构造一个符合要求的函数

第三步：证明上面这个函数就是要找的函数

第四步：证明这种函数是唯一的

（5）推广的Liouville定理：设D为异于C的单连通域，整函数f满足 $f(C) \subset D$ ，则f是常值函数

（6）边界对应定理：设 G 是一个由简单闭曲线 $\Gamma$ 围成的域。如果函数 $f:G \to B(0,1)$ 是一个单叶全纯函数，那么 f 的定义可扩充到 $\Gamma$ 上，使得 $f \in C(\bar{G})$ ，并且把 $\Gamma$ 一一地映射为单位圆盘的边界 $\partial B(0,1)=\left \{ z:\left | z \right |=1 \right \}$ ，其中 $\Gamma$ 关于G的正向对应于 $f(\Gamma)$ 关于 B(0,1)的正向

逆定理也成立：设G和D分别是简单闭曲线 $\gamma$ 和 $\Gamma$ 围成的域，如果 $f \in H(G) \cap C(\bar{G})$ ，且把 $\gamma$ 一一地映射为 $\Gamma$ ，那么 f 也把G一一一地映射为D，且保持边界正方向不变

（7）Schwarz-Christoffel公式：存在单叶全纯函数 w=f(z) 把上半平面 0 \right \}”> 一一地映射为多角形域G，把实轴R一一映射为 $\partial G$ ，并且 f 在 $\bar{H}$ 上连续。设G在其顶点 $w_{k}\,(k=1,...,n)$ 处的顶角为 $\alpha _{k}\pi \,(0<\alpha_{k}<2)$ ，实轴上与 $w_{k}$ 对应的点为 $a_{k}$ ，即 $f(a_{k})=w_{k}$ ，那么 f 可表示为

$f(z)=C \int_{z_{0}}^{z}(z-a_{1})^{\alpha_{1}-1}...(z-a_{n})^{\alpha_{n}-1}dz+C_{1}$

其中 $z_{0},C,C_{1}$ 是三个常数

9. 调和函数和次调和函数

（1）平均值性质：设u是域D上的实值连续函数，若对任意 $B(a,r) \subset D$ ，均有

$u(a)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}u(a+re^{i\theta})d\theta$

就称u在D上具有平均值性质。显然D上调和函数具有平均值性质，反过来有平均值性质的函数也必是调和函数

（2）Poisson核：对任意的 $z \in B(0,R)$ ，称

$P(z,Re^{i\varphi})=\frac{1}{2\pi}\frac{R^{2}-\left | z \right |^{2}}{\left | Re^{i\varphi}-z \right |^{2}}$

为圆盘 B(0, R)的Poisson核。它恒大于0，并且是B(0,1)中的调和函数

（3）Green函数：对域D，若 $g:\bar{D}\times \bar{D} \to R$ 满足对任意 $\forall (z,\xi) \in \bar{D} \times \bar{D}$ ，有 $g(z,\xi)=g(\xi,z)$ ；g 在 $(\bar{D} \times \partial D) \cup (\partial D \times \bar{D})$ 上恒为0；对固定的 $\xi \in \bar{D}$ ， $g(z,\xi)+log\left | z-\xi \right |$ 作为z的函数在D上调和，在 $\bar{D}$ 上连续，则称g是域D的Green函数

（4）次调和函数：设 $u:D \to R \cup \left \{ -\infty \right \}$ 是域D上的连续实值函数，若对任意以a为圆心，以r为半径的闭圆盘 $\overline{B(a,r)} \subset D$ ，都有不等式

$u(a)\leq \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}u(a+re^{i\theta})d\theta$

则称u是D上的次调和函数。这个不等式称为次平均值性质，即函数在圆盘内的值不会大于在圆周上的平均值。次调和函数是（下）凸函数概念在平面上的推广

主要定理：

（1）平均值公式：设 u 是圆盘 B(a,R) 中的调和函数，那么对任意的 0<r<R ，有平均值公式

$u(a)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}u(a+re^{i\theta})d\theta$

（2）极值原理：如果u是域D上的非常数的调和函数，则u不能在D的内点取到最大值或最小值

（3）Poisson积分公式：设 u 是圆盘 B(0,1) 中的调和函数，且在 $\overline{B(0,1)}$ 上连续，则对任意的点 $a \in B(0,R)$ ，有

$u(a)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{R_{2}-\left | a \right |^{2}}{\left | Re^{i\varphi}-a \right |^{2}}u(Re^{i\varphi})d\varphi$

它用 u 在圆周 $\left | z \right |=R$ 上的值表示出 u 在圆内任意点 a 的值。

也可以写成对对任意的 $r \in [0,R)$ ，有

$u(re^{i\theta})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2rRcos(\varphi -\theta)+r^{2}}u(re^{i\varphi})d\varphi$

（4）Harnack定理：设 $\left \{ u_{n} \right \}$ 是域D上单调增加的调和函数列，若存在 $z_{0} \in D$ ，使得 $\left \{ u_{n}(z_{0}) \right \}$ 有界，则 $\left \{ u_{n} \right \}$ 在D上内闭一致收敛

（5）Jensen公式：设f在 $\overline{B(0,r)}$ 上全纯， $a_{1},...,a_{m}}$ 是 f 在 B(0,1)中的零点，重零点按重数重复计算，但 $f(0)\neq 0$ ，则有

$log\left | f(0) \right |=-\sum_{k=1}^{m}log \frac{r}{a_{k}}+\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}log\left | f(re^{i\theta}) \right |d\theta$

它是调和函数平均值公式的推广，表示了全纯函数在圆周上的模与其零点模之间的关系

（6）第一边值问题（Dirichlet问题）：在区域 D 的边界 $\partial D$ 上，给定一个连续或逐段连续的函数 u(ξ)，要求出D内的有界调和函数，使其以 u(ξ) 为边界值，也即在u的所有连续点处都等于u(ξ)。

设u是圆周 $\left | z \right |=R$ 上的逐段连续函数，那么u的Possion积分

$P[u](z)=\int_{0}^{2\pi}P(z,Re^{i\theta})u(Re^{i\theta})d\theta=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{R_{2}-\left | a \right |^{2}}{\left | Re^{i\theta}-a \right |^{2}}u(Re^{i\theta})d\theta$

是圆盘 B(0,1)上的Dirichlet问题的唯一解

（7）域D上的调和函数具有平均值性质，反过来有平均值性质的函数也必是调和函数

（8）Weierstrass一致逼近定理：设 f 是 $\partial B(0,R)$ 上的复连续函数，则对于任意 $n \in N$ ，必存在 z 的 n 次多项式 $P_{n}(z)$ 和 $\bar{z}$ 的 n 次多项式 $Q_{n}(\bar{z})$ ，使得 $\left \{ P_{n}(z)+Q_{n}(\bar{z}) \right \}$ 在 $\partial B(0,R)$ 上一致收敛于 f(z)

（9）用Green函数求Poisson核：若g是B(0,1)的Green函数，则对任意 $z \in B(0,R)$ 有

$P(z,Re^{i\theta})=-\frac{1}{2\pi}\lim_{r \to 1}\frac{\partial g(z,rRe^{i\theta})}{\partial r}$

（10）上半平面的Dirichlet问题：设 u 是定义在实轴上的逐段连续函数，如果 $\lim_{t \to \infty}u(t)$ 和 $\lim_{t \to -\infty}u(t)$ 都存在且有限，那么以 u(t) 为边界值的上半平面的Dirichlet问题的解为

0″>

（11）设 u 是单位圆盘中的次调和函数，令

$m(r) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}u(re^{i\theta})d\theta, \,\, 0\leq r <1$

则m(r)是r的非降函数。另外积分平均

$M_{p}(r,u)=\left ( \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left | u(re^{i\theta}) \right |^{p} d\theta \right )^{\frac{1}{p}}$

也是r的非降函数

（12）设 u 是域 D 上的次调和函数， $\varphi$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上递增的下凸函数，那么 $\varphi \circ u$ 也是 D 上的次调和函数。设f是域D上的非零全纯函数，那么 $log \left | f \right |$ 和 $\left | f \right |^{p} \, (0< p< \infty)$ 都是D上的次调和函数

（13）次调和函数的充要条件：设 $u \in C^{2}(D)$ 是一实值函数，那么u是次调和函数的充要条件是，对任意 $z \in D$ ，都有 $\Delta u(z)\geq 0$

10. 多复变函数论初步

（1）多圆柱： $P(a,r)=\left \{ (z_{1},...,z_{n}):\left | z_{j}-a_{j} \right |<r_{j}, \, j=1,...,n \right \}$ 称为 $C^{n}$ 中以 $a=(a_{1},...,a_{n}) \in C^{n}$ 为中心，0″> 为半径的的多圆柱

单位圆柱： $U^{n}=\left \{ (z_{1},...,z_{n}):\left | z_{j} \right |<1, \, j=1,...,n \right \}$

（2）球： $B(a,\rho)=\left \{ (z_{1},...,z_{n}):\sum_{j=1}^{n} \left | z_{j} -a_{j}\right |^{2}<\rho^{2} \right \}$ 称为以 $a=(a_{1},...,a_{n}) \in C^{n}$ 为中心，0″> 为半径的球

单位球： $B^{n}=\left \{ (z_{1},...,z_{n}):\sum_{j=1}^{n} \left | z_{j} \right |^{2}<1 \right \}$

（3）多重幂级数： $\sum_{\alpha_{1},...,\alpha_{n}=0}^{\infty}c_{\alpha_{1}...\alpha_{n}}(z_{1}-a_{1})^{\alpha_{1}}...(z_{n}-a_{n})^{\alpha_{n}}$ 称为n重幂级数，它在点 $b=(b_{1},...,b_{n})$ 处收敛，是指n重幂级数在该点处收敛。也有类似与单复变中的 Abel 定理，多重幂级数可简记为

$\sum_{\alpha}c_{\alpha}(z-a)^{\alpha}$

（4）多复变全纯函数：设 $\Omega$ 是 $C^{n}$ 中的域， $f:\Omega \to C$ 是定义在 $\Omega$ 上的一个复值函数，若对每一点 $a \in \Omega$ ，都存在多圆柱 $P(a,\rho) \subset \Omega$ 和幂级数 $\sum_{\alpha}c_{\alpha}(z-a)^{\alpha}$ ，使得

$f(z)=\sum_{\alpha}c_{\alpha}(z-a)^{\alpha}$

在 $P(a, \rho)$ 中成立，则称f为 $\Omega$ 中的全纯函数

（5）Reinhardt域：设 $\Omega$ 是 $C^{n}$ 中的域，如果对任意 $(z_{1},...,z_{n}) \in \Omega$ 及 $\theta_{1},...,\theta_{n} \in R$ ，必有 $(e^{i\theta_{1}}z_{1},...,e^{i\theta_{n}}z_{n}) \in \Omega$ ，就称 $\Omega$ 是Reinhardt域。显然多圆柱和球都是Reinhardt域

（6）全纯域：不发生Hartogs现象的域称为全纯域。严格地说，设 $\Omega$ 是 $C^{n}$ 中的域，如果不存在比 $\Omega$ 更大的域 ${\Omega}' \supset \Omega$ ，使得 $H(\Omega)$ 中的每全纯函数都能全纯开拓到 ${\Omega}'$ 上去，就称 $\Omega$ 为全纯域。C中的所有域都是全纯域，但 1)”> 中的域不一定是全纯域

（7）全纯映射：设 $\Omega$ 是 $C^{n}$ 中的域， $f_{1},...,f_{n}$ 是 $\Omega$ 上的n个全纯函数，称 $F=(f_{1},...,f_{n})$ 是 $\Omega$ 到 $C^{n}$ 的一个全纯映射

（8）双全纯映射（全纯同胚）：设 $\Omega$ 是 $C^{n}$ 中的域， $F: \Omega \to C^{n}$ 是全纯映射，如果 F 有全纯的逆映射 $F^{-1}$ ，就称F为双全纯映射。如果 F 是把 $\Omega$ 映为自身的双全纯映射，则称为全纯自同构。 $\Omega$ 的全纯自同构全体记作 $Aut(\Omega)$

如果存在双全纯映射把 $\Omega_{1}$ 映射为 $\Omega_{2}$ ，就称 $\Omega_{1}$ 和 $\Omega_{2}$ 全纯等价或全纯同胚

（9）圆型域：设 $\Omega$ 是 $C^{n}$ 中的域，如果对任意 $z \in \Omega$ 及实数 $\theta$ ，均有 $e^{i\theta}z \in \Omega$ ，则称 $\Omega$ 为圆型域。Reinhardt域一定是圆型域，反过来则不一定成立

（10）可递域（齐次域）：设 $\Omega$ 是 $C^{n}$ 中的域，如果对 $\Omega$ 中任意两点a,b，必存在 $\varphi \in Aut(\Omega)$ 使得 $\varphi(a)=b$ ，就称 $\Omega$ 是可递域或齐次域。单位球是 $C^{n}$ 中的可递域

主要定理：

（1）多复变函数全纯当且仅当它对每个自变量都是全纯的

（2）唯一性定理：设 $\Omega$ 是 $C^{n}$ 中的域， $f \in H(\Omega)$ ，如果 f 在非空开集 E 上恒等于零，那么f在 $\Omega$ 上恒等于零

（3）开映射定理：设 $\Omega$ 是 $C^{n}$ 中的域，f是 $\Omega$ 非常数的全纯函数，那么f把 $\Omega$ 中的开集映射成开集

（4）最大模原理：设 $\Omega$ 是 $C^{n}$ 中的域，f是 $\Omega$ 非常数的全纯函数，那么f的模不可能在 $\Omega$ 的内点取得最大值

（5）多圆柱上的Cauchy积分公式：设 $\Omega$ 是 $C^{n}$ 中的域， $f \in H(\Omega)$ ，如果 $\overline{P(a,r)} \subset \Omega$ ，则对任意 $z \in P(a,r)$ ，有

$f(z)=\frac{1}{(2\pi i)^{n}}\int_{\left | \xi_{1}-a_{1} \right |=r_{1}} ... \int_{\left | \xi_{n}-a_{n} \right |=r_{n}}\frac{f(\xi_{1},...,\xi_{n})}{(\xi_{1}-z_{1})...(\xi_{n}-z_{n})}d\xi_{1}...d\xi_{n}$

（6）全纯函数的Laurent 级数展开：设 $\Omega$ 是 $C^{n}$ 中的Reinhardt域，那么对任意的 $f \in H(\Omega)$ 必有唯一的Laurent展开式

$f(z)=\sum_{\alpha \in Z^{n}}a_{\alpha}z^{\alpha}$

其中 $Z^{n}=\left \{ (\alpha_{1},...,\alpha_{n}): \alpha_{1},...,\alpha_{n} \in Z \right \}$ ，上述级数在 $\Omega$ 中内闭一致收敛，且 $a_{\alpha}$ 由f唯一确定

（7）Taylor级数展开：设 $\Omega$ 是 $C^{n}$ 中的Reinhardt域，如果对每个， $\Omega$ 中都有第j个坐标为零的点，那么对任意的 $f \in H(\Omega)$ 必有唯一的幂级数展开式

$f(z)=\sum_{\alpha\geq 0}a_{\alpha}z^{\alpha}$

它在 $\Omega$ 上内闭一致收敛

（8）解析延拓定理（Hartogs现象）：设 $\Omega$ 是 $C^{n}$ 中的Reinhardt域，如果对每个， $\Omega$ 中都有第j个坐标为零的点，那么任意的 $f \in H(\Omega)$ 都可以解析延拓到域

${\Omega}'=\left \{ (\rho_{1}z_{1},...,\rho_{n}z_{n}): (z_{1},...,z_{n}) \in \Omega, 0\leq \rho_{j},j=1,...,n \right \}$

它说明在多复变数空间里有一些开邻域，它们上面的任何全纯函数都可以延拓到外面去，这种现象称为Hartoges现象。这是多复变与单复变的一个主要区别。因为在复平面上任何单连通的开集上都存在一个单复变函数，它不能延拓到这个开集之外。Hartoges现象是多复变数空间所特有的。把不发生Hartogs现象的域称为全纯域

（9）零点的非孤立性：设 $\Omega$ 是 1)”> 中的域， $f \in H(\Omega)$ ，那么f在 $\Omega$ 中的零点一定不是孤立的。这又是多复变与单复变的一个主要区别，在单复变中全纯函数的零点一定是孤立的

（10）全纯域的一个充分条件： $C^{n}$ 中的凸域一定是全纯域

（11）全纯映射的微分：设 $\Omega$ 是 $C^{n}$ 中的域， $F=(f_{1},...,f_{n})$ 是 $\Omega$ 上的全纯映射，那么 F 在 $\Omega$ 中的每一点z处都可微，并且

${F}'(z)=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_{1}(z)}{\partial z_{1}} & ... & \frac{\partial f_{1}(z)}{\partial z_{n}} \\ ... & ... & ... \\ \frac{\partial f_{n}(z)}{\partial z_{1}} & ... & \frac{\partial f_{n}(z)}{\partial z_{n}} \end{pmatrix}$

即全纯映射 F 的导数就是它的 Jacobian 矩阵

（10）Cartan定理：设 $\Omega$ 是 $C^{n}$ 中包含原点的有界域，如果 $F:\Omega \to \Omega$ 是全纯映射，且有，则对任意 $z \in \Omega$ 有 F(z)=z

（11）设 $\Omega_{1},\Omega_{2}$ 是 $C^{n}$ 中包含原点的圆型域，其中 $\Omega_{1}$ 是有界的，如果 $F:\Omega_{1} \to \Omega_{2}$ 是双全纯映射，且 F(0)=0，那么 F 一定是线性映射

（12）Poincare定理：单位多圆柱 $U^{n}$ 与单位开球 $B^{n}$ 拓扑同胚，但 1″> 时不存在它们之间的全纯同胚

11. Riemann Zeta函数与素数定理

（1）Fourier变换及其逆变换：

$\hat{f}(s)=F[f(s)]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\,s\,x}f(x)dx$

$f(x)=F^{-1}[\hat{f}(x)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\,s\,x}\hat{f}(s)ds$
（2）Melli变换及其逆变换：

$G(s)=M[g(s)]=\int_{0}^{\infty}x^{s-1}g(x)dx$

$g(x)=M^{-1}[G(x)]=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}x^{-s}G(s)ds$

（3）Gamma函数： $\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}x^{s-1}e^{-x}dx$ ，它是指数函数 $e^{-x}$ 的梅林变换，常用公式：

欧拉余元公式： $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{sin \pi z}$

勒让德倍元公式： $\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})=2^{1-2z}\pi^{1/2}\Gamma(2z)$

（4）Dirichlet级数： $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n^{s}}$

Dirichlet eta函数： $\eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{s}}$

（5） 黎曼Zeta函数： $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$ ，它是复数 $s=\sigma +it$ 的函数，在 1″> 的域内收敛为一全纯函数

黎曼Xi函数： $\xi (s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$

（6）Jacobi Theta函数： $\theta(t)=\sum_{n \in Z}e^{-\pi n^{2}t}$ ，Theta函数有性质 $\theta(t)=t^{-1/2}\theta(1/t)$ （用Possion求和公式来证）

算术函数（数论函数）：

（7）素数计数函数： $\pi(x)$ ，表示小于等于x的素数个数

（8）Mobius函数：

$\mu(n)=\left\{\begin{matrix} 1, & n=1 \\ (-1)^{k}, & n=p_{1}...p_{k} \\ 0, & otherwise \end{matrix}\right.$

这里 $p_{1},...,p_{k}$ 表示不同的素数，也就是当n有素数的幂作为因子时 $\mu(n)=0$ 。

Mobius函数是积性函数，即m,n互素时，有 $\mu(mn)=\mu(m)\mu(n)$

有恒等式： $\sum_{d|n}\mu(d)=0, \, (n\geq 2)$

（9）Von Mangoldt函数：是一个算术特征函数

$\Lambda(n)=\left\{\begin{matrix} log\,p, & n=p^{m}, m\geq 1 \\ 0, & otherwise \end{matrix}\right.$

有恒等式：

$\sum_{d|n}\Lambda(d)=log(n)$

$\Lambda(n)=-\sum_{d|n}\mu(d)log(d)$

（10）Chebyshev函数：可以写成冯·曼戈尔特函数累加的形式，如下

$\psi(x)=\sum_{p^{m}\leq x}log\,p=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)=\sum_{p\leq x}\left \lfloor \frac{log\,x}{log\,p} \right \rfloor log\,p$

并定义函数（变上限积分形式）： $\psi _{1}(x)=\int_{0}^{x}\psi(u)du$

主要定理：

（1）Possion求和公式：设 f 在带状域 $\left | Imz \right |<a$ 内解析，若存在 A>0，使得对任意 $x \in R, \left | y \right |<a$ ，都有 $\left | f(x+iy) \right |\leq \frac{A}{1+x^{2}}$ ，则有

$\sum_{n \in Z}f(n)=\sum_{n \in Z}\hat{f}(n)=\sum_{n \in Z}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{2\pi inx}dx$

（2）Zeta函数的正规化：Zeta函数在域 1″> 内解析，并且在该域内有

$\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}u^{s/2-1}[\theta(u)-1]du$

证明该等式的关键是作变量代换 $u=\frac{t}{\pi n^{2}}$ ，并注意到 $\frac{\theta(u)-1}{2}=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\pi n^{2}u}$ 即可。可见Zeta函数有简单极点 s=1

定义Xi函数 $\xi (s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$ ，可以把它作为正规化的zeta函数

（3）Zeta函数的积分表示：对 1″> 有

$\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx$

（4）Zeta函数的解析延拓：

方法一：用Xi函数 $\xi (s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$ 作为正规化的zeta函数。Xi函数在 1″> 半平面内解析，在整个复平面上则是亚纯函数，只有 s=0 和 s=1 两个简单极点，并且有对称形式的函数方程

$\xi(s)=\xi(1-s)$

$\overline{\xi(s)}=\xi(\bar{s})$

这样，Zeta函数写成

$\zeta(s)=\frac{\pi^{s/2}\xi(s)}{\Gamma(s/2)}$

它被解析延拓成整个复平面上的亚纯函数，且唯一的极点是简单极点 s=1，注意在另外一个点 s=0 处 $\zeta(s)$ 是解析的

从上述两个对称的Xi函数方程可知，Zeta函数的非平凡零点在临界线的左右两侧一一对应，在实轴的上下两侧也是一一对应的，因此只需要研究临界带的四分之一，即 $\left \{ Re(s)\geq 1/2, \, Im(s)\geq 0 \right \}$ 即可

方法二：使用围道积分和Cauchy定理

作曲线 $\gamma$ 为逆时针环绕负实轴，则解析延拓后在全局具有积分表达式

$\zeta(s)=\frac{1}{2\pi i}\Gamma(1-s)\oint _{\gamma}\frac{z^{s-1}e^{z}}{1-e^{z}}dz$

（5）黎曼函数方程：

$\zeta(s)=2^{s}\pi^{s-1}sin \frac{\pi s}{2}\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$

该方程将点s和1-s处的zeta函数值相关联，特别是将正偶数与负奇数相关联。由sin函数的零点可知所有负偶数点 $s \in -2N=\left \{ -2,-4,-6,... \right \}$ 是zeta函数的零点，称为平凡零点。其他的零点则称为非平凡零点。当s是正偶数时，右边的 $sin \frac{\pi s}{2}\Gamma(1-s)$ 部分不为零，因为 $\Gamma(1-s)$ 有一个简单极点

（6）Zeta函数的Laurent级数展开：ζ 函数是亚纯的，只有一个一阶的单极点 s=1，因此可展开为Laurent级数

$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\gamma_{n}}{n!}(s-1)^{n}$

这里 $\gamma_{n}$ 称为Stieltjes常数，由以下极限来定义

$\gamma_{n}=\lim_{m \to \infty}\left ( \sum_{k=1}^{m}\frac{(ln\,k)^{n}}{k}-\frac{(ln\,m)^{n+1}}{n+1} \right )$

而 $\gamma_{0}$ 就是欧拉常数

Zeta函数零点分布的进展：

（7）黎曼 – 冯·曼戈尔特公式：以 N(T)>0 表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量，则

$N(T)=\frac{T}{2\pi}log \frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi}+O(T)$

（8）Hadamard-Poussin定理（1896）：所有非平凡零点的实部小于1。即 Re(s)=1 上没有非平凡零点，这等价于素数定理

由此可知，所有非平凡零点都位于临界带内

（9）Bohr-Landau定理（1914）：模平方函数 $\left | \zeta(s) \right |^{2}$ 在直线 $Re(s)=\sigma$ 上的平均值为

$\lim_{T \to \infty}\frac{1}{T-1}\int_{1}^{T}\left | \zeta(\sigma+it) \right |^{2}dt$

如果它对 1/2″> 有界，且对 1/2″> 一致有界，则对于任何 0″>，位于 $Re(s)\geq 1/2+\delta$ 的非平凡零点在全部非平凡零点中所占比例为无穷小。更精确地说，位于 $\left \{ Re(s)\geq 1/2+\delta, \, 0\leq Im(s) \leq T \right \}$ 的非平凡零点数目与位于 $\left \{ Re(s)\geq 1/2, \, 0\leq Im(s) \leq T \right \}$ 的非平凡零点数目之比在 $T \to \infty$ 时趋于零

由此可知，包含临界线的无论多小的带状区域内都包含了几乎所有的非平凡零点，表明了临界线为零点汇聚的“中心位置”。证明过程主要用到了Jensen公式及推广

（10）Hardy定理（1914）：ζ 函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上

（11）Hardy-Littlewood定理（1921）：存在常数 0, T_{0}>0″>，使得对所有的 T_{0}”>，ζ 函数位于临界线上且虚部在区间内的非平凡零点数目不小于KT。

从零点所占比例来看，该定理所给出的对临界线上非平凡零点数目下限的渐近估计相对于零点总数来说，其渐近比例为仍然为零

（12）临界线定理（Selberg，1942）：存在常数T，使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数目不小于 KT logT 。这意味着ζ函数在临界线上的非平凡零点在所有非平凡零点中占有一个正密度，所占比例终于超过了0%。

注意临界线对于临界带的测度为0，这说明很有可能所有非平凡零点都在临界线上

（13）Reimman猜想：Zeta函数的所有非平凡零点都位于临界线上

（14）Zeta函数的非零点区： $\zeta(\sigma +it)\neq 0$ ，每当 $\left | t \right |\geq 3$ ，且

$\sigma \geq 1-\frac{1}{57.54(log \left | t \right |)^{\frac{2}{3}}(log \, log \left | t \right |)^{\frac{1}{3}}}$

这是根据解析数论中的Vinogradov中值定理得到的一个结果

（15）其他结果：如果数列 $\left \{ \gamma_{n} \right \}$ 包含了上半平面所有零点的虚部，且升序排列，则有

$\lim_{n \to \infty}(\gamma_{n+1}-\gamma_{n})=0$

（16）林德勒夫猜想：是关于zeta函数在临界线上的增长率的一个猜想。对任何给定的实数 0″>，有

$\zeta(\frac{1}{2}+it)=O(t^{\epsilon})$

下面研究与素数定理相关部分：

（17）欧拉乘积公式： $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=\prod_{p \, prime}\frac{1}{1-p^{-s}}$ ，在 1″> 上公式的两边都是收敛的。它表明了zeta函数与素数的关系。

该公式可用于计算s个数互质的渐近概率，值为

$\prod_{p \, prime}(1-\frac{1}{p^{s}})=\left ( \prod_{p \, prime}\frac{1}{1-p^{-s}} \right )^{-1}=\frac{1}{\zeta(s)}$

（18）素数定理及其证明思路： $\lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x)}{x/log \,x}=1$

第一步：把素数定理转化为 $\psi(x)$ 。如果 $\psi(x)\sim x$ ，则有 $\pi(x) \sim x/log\,x \,\,(x \to \infty)$ ，只需要证下式

$1\leq \lim_{x \to \infty} inf \frac{\pi(x)log\,x}{x} \leq \lim_{x \to \infty} sup \frac{\pi(x)log\,x}{x}\leq 1$

第二步：把 $\psi(x)$ 转化为 $\psi_{1}(x)$ 。如果 $\psi_{1}(x) \sim \frac{x^{2}}{2}$ ，则有 $\psi(x)\sim x$

第三步：把 $\psi_{1}(x)$ 函数转化成黎曼Zeta函数，得到其解析表达式。只需要证对任意 c>1，都有

$\psi_{1}(x)=\int_{0}^{x}\psi(u)du=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{x^{s+1}}{s(s+1)}\left ( -\frac{{\zeta}'(s)}{\zeta(s)} \right )ds$

该步需要用欧拉乘积公式建立冯·曼戈尔特函数与zeta函数的关系，以及冯·曼戈尔特函数与 $\psi_{1}(x)$ 函数的关系：

1″>

$\frac{{\zeta}'(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^{s}}$

$\psi_{1}(x)=\int_{0}^{x}\psi(u)du=\sum_{n\leq x} \Lambda(n)(x-n)$

通过上述关系，运用留数定理，就可以得到上述 $\psi_{1}(x)$ 的解析表达式

第四步：根据上述 $\psi_{1}(x)$ 的解析表示，用 $\epsilon - \delta$ 语言来证 $\lim_{x \to \infty}\frac{\psi_{1}(x)}{x^{2}}=\frac{1}{2}$

这是最难的部分。就是要从 $\psi_{1}(x)$ 解析表示中的积分中分离出主项 $x^{2}/2$ ，然后说明剩余的项都是低阶的。这需要研究Zeta函数的不等式估计。定义函数

$F(s)=\frac{x^{s+1}}{s(s+1)}\left ( -\frac{{\zeta}'(s)}{\zeta(s)} \right )$

对 F(s) 做估计，这需要用到 $\left | \frac{{\zeta}'(s)}{\zeta(s)} \right |$ 的不等式估计

（19）先全纯地延拓到右半平面做估计：令 $H(s)=\zeta(s)-\frac{1}{1-s}$ ，则H(s)在整个右半平面 0″> 内全纯，并且有 $\left | H(s) \right |\leq \frac{\left | s \right |}{\sigma}$

（20）正向估计：对任意 0″>，存在常数 $c_{\epsilon}$ ，使得

如果 $\sigma\geq \sigma_{0}, \, \left | t \right |\geq 1$ ，则 $\left | \zeta(s) \right |\leq c_{\epsilon}\left | t \right |^{1-\sigma_{0}+\epsilon}$ ；

如果 $\sigma \geq 1, \, \left | t \right |\geq 1$ ，则 $\left | {\zeta}'(s) \right |\leq c_{\epsilon}\left | t \right |^{\epsilon}$ 。

该定理反映了ζ 函数的模在 Re(s)=1 附近被 $\left | t \right |^{\epsilon}$ 控制着，对任何一个 0″>，即便在这根线的附近，其增长也是可控的

（21）Zeta函数在 Re(s)=1 上无零点。这会用到以下不等式估计，如果 1,t \in R”>，则有

$log\left | \zeta^{3}(\sigma)\zeta^{4}(\sigma+it)\zeta(\sigma+2it) \right |\geq 0$

（22）反向估计：对任意的 0″>，如果 $\sigma \geq 1, \, \left | t \right |\geq 1$ ，则存在常数 $c_{\epsilon}$ ，使得

$\left | \frac{1}{\zeta(s)} \right |\leq c_{\epsilon}\left | t \right |^{\epsilon}$

其证明用到上面的不等式估计。由此可见对任意的 0″>，存在常数A，使得

$\left | \frac{{\zeta}'(s)}{\zeta(s)} \right |\leq A\left | t \right |^{\eta}$

（19）素数定理的另一种形式： $\lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x)}{Li(x)}=1$

其中 Li(x) 是对数积分函数 $Li(x=\int_{2}^{x}\frac{dt}{ln\,t}$ ，它对 $\pi(x)$ 有更好的渐近估计

一个对 $\pi(x)$ 更好的估计： $\pi(x)=Li(x)+O(xe^{-a\sqrt{ln\,x}}), \, (x \to \infty)$

（20）Zeta函数与算术函数的关系

与因子计数函数的关系：1″>，其中d(n)为n的约数个数

与Mobius函数的关系：1″>

与冯·曼戈尔特函数的关系： $\frac{{\zeta}'(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^{s}}, \,\, Re(s) title=$ 1″>

与Dirichlet eta函数的关系： $\zeta(s)=\frac{1}{1-2^{1-s}}\eta(s)=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{s}}$

与Chebyshev函数的关系： $\psi (x)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{x^{s}}{s}\left ( -\frac{{\zeta}'(s)}{\zeta(s)} \right )ds=x-\sum_{\rho}\frac{x^{\rho}}{\rho}-log2\pi-\frac{1}{2}log(1-x^{2})$ ，其中 $\rho$ 为非平凡零点

与素数计数函数的关系：1″>，该等式表明可以通过另一种途径，即逆梅林变换来证明素数定理

参考书籍：

（1）复变函数论：史济怀，刘太顺

（2）复分析（第3版）：Lars.V.Ahlfors

（3）黎曼Zeta函数性质及证素数定理：https://zhuanlan.zhihu.com/p/

（4）素数定理详细证明：https://zhuanlan.zhihu.com/p/

（5）素数定理证明番外篇：https://zhuanlan.zhihu.com/p/

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