【数字信号处理】第一、二章 时域离散信号及其频域分析

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前言

一如既往的前言, 有时候真的是太久没写就没有学下去的动力, 持之以恒, 不断积累! 学习其实是很幸福的事情 ⛺️
本篇内容暂时仅包括考试，后续有时间会补充
参考教材《数字信号处理 高西全》

本课的前沿课程是《信号与系统》，但是这个课更加关注于将模拟信号转换为数字信号进行处理，毕竟现在数字电路发展十分迅猛。

本课程的基本内容如下

• 预处理模拟信号，滤波除噪声呀，防止采样后混叠失真，这里涉及“模拟滤波器、数字滤波器”
• 然后就采样呗，这里涉及“采样定理，误差分析，模数转换原理”
• 采样之后就要在数字系统处理，这里涉及“FFT，快速卷积”
• 多采样率信号处理技术，这里涉及高效采样的实现方法

数字信号处理优点多多，留给大家自己品味~

1 时域离散信号和系统

这一章其实就是《信号与系统》里的离散信号部分，但老师当时并没有细讲，原来是放在这一课来了。

我们都只打我处理的信号有模拟信号、数字信号还有时域离散信号，注意区分数字和时域离散信号的区别，前者为时间和幅度都是离散值的信号，后者仅仅是时间上为离散的。

本章主要是学习DT（discrete time）信号的表示方法和典型信号，还有回顾LTI时域系统分析，以及用于描述DT信号的差分方程（线性常系数）

1.1 信号表示与介绍

有三种表示时域离散信号的方法：
最常用的是公式和集合


形象的用图

接下来我们了解一下常用的信号，脉冲序列和阶跃序列是老朋友就不介绍咯。

• 矩形序列是离散的门信号，在后续周期延拓、循环卷积中会经常见到它哦！
• 实指数序列 a的大小直接影响序列的波形。注意a<0的情况。
  它有收敛序列和发散序列
• 复指数序列 这个序列经常用到
  记住以2π为周期
• 周期序列 周期延拓中会用到，如何判断一个序列的周期性也是要点。

周期N为满足正整数的最小数

1.2 LTI系统

这一节不用过多介绍，无非是信号与系统的知识复习，点到为止。

• 基本性质：线性性质、时不变性质，都应该知道怎么判别
• 输入输出卷积计算方法：图解法(就是把n变成m,翻转平移n个单位,相乘求和)、解析法（直接根据公式求，一般用到等比数列求和公式）
  
• 关于h（n）的系统性质：

稳定性：对任意有界输入都有有界输出，即h(n)绝对收敛

因果性：系统输出只取决于过去和现在，即n时刻和n时刻以前。要求

1.3 差分方程——输入输出描述法

把系统看成黑盒，只描述输入输出。模拟系统中用微分方程，那咱们时域离散系统就用差分方程。
另一种方法是把系统内部的结构和输入输出联系,称为状态变量描述法,自行查阅
求解差分方程有

• 迭代法：
• 经典法（类比微分方程解法）分解为零输入响应（用特征方程和差分算子）、零状态响应（由单位脉冲响应和输入卷积得到）
• 变换域法：下一章介绍, z变换法

1.4 处理方法—采样定理

采样可以看做从连续信号中提取很多小段, 用与开关信号相乘的数学模型来表示采样器

这里$采样函数s(t)={\delta }_{T_S}(t)={\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-n{T}_s\right)$
$$\begin{array}{c}\\ f_s(t)=f(t)\cdot \sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-n{T}_s\right)\\ =\sum _{n=-\infty }^{+\infty }f\left(n{T}_s\right)\delta \left(t-n{T}_S\right)\end{array}$$

为了推出我们采样定理的结论, 这里需要转换到频域上去看, 根据FT的乘积卷积性质

F s ( j Ω ) = F T { f ( t ) ⋅ s ( t ) } = 1 2 π F ( j Ω ) ∗ [ Ω s ⋅ ∑ k = − ∞ + ∞ δ ( Ω − k Ω s ) ] = Ω s 2 π ⋅ ∑ k = − ∞ + ∞ F ( j Ω ) ∗ δ ( Ω − k Ω s ) = 1 T s ⋅ ∑ k = − ∞ + ∞ F [ j ( Ω − k Ω s ) ] Ω s = 2 π T s \begin{aligned} F_s(j \Omega) & =F T\{f(t) \cdot s(t)\} \\ & =\frac{1}{2 \pi} F(j \Omega) *\left[\Omega_s \cdot \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta\left(\Omega-k \Omega_s\right)\right] \\ & =\frac{\Omega_s}{2 \pi} \cdot \sum_{k=-\infty}^{+\infty} F(j \Omega) * \delta\left(\Omega-k \Omega_s\right) \\ & =\frac{1}{T_s} \cdot \sum_{k=-\infty}^{+\infty} F\left[j\left(\Omega-k \Omega_s\right)\right] \quad \Omega_s=\frac{2 \pi}{T_s}\end{aligned} Fs​(jΩ)​=FT{
f(t)⋅s(t)}=2π1​F(jΩ)∗[Ωs​⋅k=−∞∑+∞​δ(Ω−kΩs​)]=2πΩs​​⋅k=−∞∑+∞​F(jΩ)∗δ(Ω−kΩs​)=Ts​1​⋅k=−∞∑+∞​F[j(Ω−kΩs​)]Ωs​=Ts​2π​​
注意!!!这里采样信号的幅度被缩减了1/Ts!!!!!

结论
采样信号的频谱是原信号频谱按采样角频率周期化延拓的结果

采样的目的最终是还原吧, 还原的方法就是通过理想低通滤波器, 也可以通过插值函数的方法

PS: 单位阶跃响应$g(n)={\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }h(n)$
$h(n)=g(n)-g(n-1)$

本章出题要点

• 看图写序列，看序列画图
• 判断周期性并求
• 系统性质：线性、时不变、因果、稳定
• $h(n)$描述输入输出关系,$h(n)\ast x(n)$卷积求输出y(n)
• 已知系统差分方程描述求h(n)和g(n)

2 DT信号的频域分析

2.1 时域离散信号的FT

还记得在连续的模拟信号中FT是积分运算，但是在离散的时间域可就用求和$\sum$运算了
但是它们的大多性质还是基本一样的
理解FT本质我推荐大家看知乎这篇帖子, 写的通俗易懂

• FT是把信号分解为无穷多个正弦波之和, 自然要求信号序列绝对可和
• IFT注意这里为积分号,因为时域离散在频域上是连续的信号

注意:正变换FT是在区间[-infty,+infty], 反变换IFT是在[-pi,pi] 上

2.2 DTFT性质

本来写完了, 妈了个逼的电脑抽风忘记保存. 不想写了, 看书吧

2.3 周期离散信号的傅里叶变换

这里也被删掉了, CSDN这保存也是脑瘫, 每保存一次就发布, 我直接点发布文章不好吗

3 Z变换

上来就给定义式是中国教科书的典范了, 凑活看

此处为连接, 一篇讲清楚Z变换和LT的关系的文章, 推荐大家看!

3.1 ZT ROC

• 非指数序列的ROC
  

3.2 ZT性质

1. 线性性质
2. 时移性质 时域延迟多少, 相当于Z平面上旋转多少$e^{-jn}即z^{-n}$
3. 时域反折
4. 
5. \
6. 共轭性质
7. 
8. 
9. 

3.3 逆z变换

就用部分分式展开法, 其他的不说

3.4 ZT分析系统

若DTFT的系统函数为$H(e^{j\omega })$, ZT的为$H(z)$
当Z的ROC包含单位圆的时候(即包含|z|=1)
则$H(e^{j\omega })=H(z)$

• 使用零极点分布判断系统稳定\因果性
  收敛域不包含极点|z|>r – 因果
  收敛域包含单位圆|z|=1 – 稳定
• ZT求解系统输出